e ≈ 2,7182818285,

y la mayoría de quienes lo usan han aprendido que también es la base de los “logaritmos naturales o neperianos”.

La importancia del Número de Euler e, es la que quiero destacar hoy, dedicando esta nota para contarles, o recordarles, quién es e, de dónde salió y mostrándoles por qué merece un artículo dedicado solamente a él. 

Las primeras referencias de la constante que posteriormente se llamaría e fueron publicadas a comienzos del siglo XVII con el trabajo sobre logaritmos de John Napier (1550-1617) quien observó que los cálculos que involucraban números muy grandes y muy pequeños eran una tarea demasiado difícil, así que comenzó desarrollando un sistema de logaritmos para simplificar los cálculos aritméticos al permitir que la ardua tarea de la multiplicación se redujera a sumas. En otras palabras, Napier descubrió un atajo para calcular exponentes.

Su aplicación inicial tuvo trascendencia en Astronomía principalmente, campo en el que el uso de los logaritmos facilitó los tediosos cálculos a tal punto que dos siglos después, el gran matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) expresó: “Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos”. 

Sin embargo no fue a través de los logaritmos que se descubrió e, y no fue sino hasta 1683, del estudio del interés compuesto que llevó a cabo Jacob Bernoulli, que apareció el número e. A propósito del interés compuesto, se le atribuye a Albert Einstein la cita según la cual: “el interés compuesto es la octava maravilla del mundo… Aquel que lo entiende, gana dinero; aquel que no, lo paga”. Seguramente es otra más de las muchas citas que se le atribuyen a Einstein, sin ser de su autoría.

En detalle, la aparición de e puede explicarse en forma sencilla si se piensa que el interés que se gana por un préstamo, que se recibe al final del tiempo pactado, puede distribuirse para ir cobrándolo cada cierto tiempo de manera que sobre esos rendimientos se cobren también los intereses. 

Más precisamente, con un ejemplo, podemos llegar al número e de la siguiente manera: supongamos que se invierte una unidad monetaria (UM) con un interés del 100% cada 8 años, es decir que el capital inicial se duplica al cabo de un octenio. Pero si en lugar de esto se divide el interés en dos partes y se pagan esos intereses dos veces en el octenio, cada cuatrienio, la cantidad obtenida en el primer cuatrienio es:

 (1 + 1/2) = 1,5 UM 

y en el octenio ahora el total es de: 

(1 +1/2) · (1 + 1/2)  = 2,25 UM

obteniéndose entonces una suma que supera las 2 UM que se reciben con un solo pago de intereses.

Y si ahora dividimos el octenio en 4 períodos (bienios), al igual que la tasa de interés, se obtienen

 (1 + 1/4) · (1 + 1/4) · (1 + 1/4) · (1 + 1/4) =  2,4414… UM

que aumenta aún más la suma final obtenida con uno o dos pagos de intereses.

Y si lo pacto anual, tenemos que el valor al final del octenio es:

(1 + 1/8)⁸ ≈ 2,57 UM

Se observa cómo, a medida que se aumenta la cantidad de períodos de pago, reduciendo proporcionalmente la tasa de interés en el período, aumenta también el total de unidades monetarias que se reciben al final del octenio. Entonces surge la pregunta, ¿crecerá indefinidamente, al infinito? Para obtener esa respuesta hay que imaginar n períodos de capitalización y calcular: 

que es el tope al que podrían crecer las UM. Y ese límite es justamente igual a

2,7182818285… = e.

Bernoulli utilizó el teorema del binomio para aproximar esta constante y esa fue la primera aproximación de e de la historia; sin embargo Bernoulli no relacionó ese número con los logaritmos y no investigó más esta constante, pero lo cierto es que ese trabajo de Bernoulli es el que permite afirmar que una inversión de un capital C a una tasa de interés anual R, con interés compuesto, proporcionará entonces Ce^R unidades monetarias al cabo del primer año y Ce^RN al cabo de N años. 

Y podemos volver a preguntarnos cuál es ahora el tiempo necesario para duplicar la inversión. La respuesta se logra igualando

es el tiempo requerido para duplicar la inversión. Si por ejemplo fuese R = 10% anual, entonces eso ocurre en 

N = 6,93147

por lo tanto en 7 años se habrá duplicado la inversión con un interés compuesto del 10% anual.

Pero volviendo al origen de e, la razón por la que se llama número de Euler a e se debe a que Leonard Euler usó esa notación para representar esa constante irracional. Sin embargo, no puede asegurarse que sea por tratarse de la primera letra de su nombre o por ser la primera letra de la palabra francesa “exponentiel”.

Sin embargo, cualquiera haya sido la razón, Euler sí utilizaba la letra e para representar la base del sistema de logaritmos naturales, que aun cuando existían desde un siglo antes, no había sido introducida una notación aceptable. El registro más importante del nombre e aparece en una carta que Euler dirige al matemático alemán Chistian Goldbach en 1731 en la que usa la letra e para referirse a “el número cuyo logaritmo hiperbólico es igual a 1”. Este símbolo fue admitido universalmente desde entonces.

Pero lo más relevante y el indudable merecimiento para que se llame constante o Número de Euler a e radica en los numerosos descubrimientos que hizo Euler sobre las propiedades de e en los años siguientes. En particular demostró que e es un número irracional y que puede escribirse como:

y en 1748, apoyado en el trabajo de Bernoulli sobre interés compuesto, dio a conocer una aproximación extraordinaria para la época, con 18 decimales

e = 2,718281828459045235.

Euler dedujo su conocida identidad, de la que se afirma que es la más bella ecuación matemática:

Como se observa, hay muchas razones para que esta constante lleve asociado el nombre de Euler, como si se tratase de su primera cifra decimal.

En 1873 Charles Hermite demostró que e es un número trascendente, es decir que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros no todos nulos. Este es un resultado importante en la historia de las matemáticas, si se tiene en cuenta que la demostración de la trascendencia del número π tardó más tiempo en lograrse, hasta 1882, cuando lo demostró el matemático alemán Ferdinand von Lindemann.

Espero haber contribuido al reconocimiento del número de Euler e, como uno de los grandes números que vale la pena aprender.

@MantillaIgnacio

Tal vez hoy las tablas de logaritmos nos parezcan una herramienta engorrosa y difícil de dominar. Sin embargo, si las comparamos con los métodos de cálculo disponibles antes de su aparición, resulta evidente que quienes pudimos utilizarlas fuimos verdaderamente afortunados. A menudo me he preguntado cuán tediosa debía de ser la realización de operaciones aritméticas en la Edad Media o incluso en épocas posteriores. La siguiente observación del eminente matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) da una idea clara de la enorme revolución que supuso la invención de los logaritmos: «Al reducir a unos pocos días el trabajo de cálculo de varios meses, los logaritmos parecían haber duplicado la vida de los astrónomos».

Tal fue la magnitud de este descubrimiento. La invención de los logaritmos no llegó sino hasta comienzos del siglo XVII, y supuso un avance extraordinario para las matemáticas en particular y para las ciencias en general, como veremos a continuación. Hoy esta herramienta está incorporada en cualquier calculadora de bolsillo e incluso en el teléfono celular más sencillo. Quizá por esa misma familiaridad hemos dejado de apreciar su verdadero alcance y el inmenso valor que tuvo para el desarrollo científico.

El gran matemático escocés John Napier de Merchiston (1550-1617), también conocido por la forma latinizada de su nombre, Johannes Neper, es considerado el padre de los logaritmos. Fue el primero en definirlos y quien más contribuyó a su difusión. Además, introdujo el uso sistemático de la coma decimal en los cálculos numéricos. Su preocupación constante por simplificar las operaciones aritméticas lo llevó a idear otros ingeniosos instrumentos de cálculo, entre ellos el llamado «ábaco neperiano». Este dispositivo permitía transformar multiplicaciones en sumas y divisiones en restas, reduciendo considerablemente el esfuerzo necesario para efectuar cálculos complejos. Los lectores interesados en conocer su funcionamiento pueden consultar el artículo publicado en el blog Divermates. Y quienes tengan la oportunidad de visitar la ciudad alemana de Bonn podrán contemplar un ejemplar, junto con otros instrumentos derivados de este invento, en el extraordinario museo Arithmeum. Un modelo del ábaco neperiano también se exhibe en el Museo Arqueológico Nacional de Madrid.

Pero volvamos al aporte más trascendental de Neper: la invención de los logaritmos. Antes de examinar las extraordinarias aplicaciones de esta herramienta, conviene recordar qué es exactamente un logaritmo. En términos generales, el logaritmo en base $b$ de un número positivo $N$ es el exponente $p$ al que debe elevarse la base $b$ para obtener el número $N$. Dicho de otro modo, si $b^{p}=N$, entonces $p=\log_{b}(N)$.

Por ejemplo, como $2^{5}=32$, se tiene que $\log_{2}(32)=5$.

Lo primero que hay que fijar es la base del logaritmo, que debe ser un número positivo distinto de 1. Gracias a esta condición, para cada número positivo existe un único exponente que permite obtenerlo como potencia de la base. Por esta razón, los logaritmos se definen únicamente para bases positivas.

Cuando la base es 10, los llamamos logaritmos decimales y se acostumbra a escribir simplemente log. Así, por ejemplo, log(1000) = 3 porque $10^{3}=1000$.

Un dato curioso es el del matemático y reverendo inglés Henry Briggs, quien publicó en 1624 la primera tabla de logaritmos decimales, con treinta mil números naturales y catorce cifras decimales cada uno. Fue un trabajo descomunal para la época. Por esta razón, a los logaritmos decimales también se les llama «logaritmos de Briggs».

Otra base muy importante, bastante utilizada en los logaritmos, es el número de Euler, e, que es un número irracional y, por lo tanto, tiene infinitas cifras decimales:

e ≈ 2,71828…

Cuando la base del logaritmo es este número, el logaritmo se denomina «logaritmo neperiano», en honor a Neper, o también «logaritmo natural», y se denota simplemente como ln. Por esa razón:

ln(e) = 1

La utilidad de los logaritmos es muy amplia, ya que permiten manejar escalas con cifras muy distantes (quizá algunos lectores recuerden las tareas del colegio que debían presentarse en «papel logarítmico»). Por ejemplo, representar en una misma gráfica valores que van desde 10 hasta 100.000 en un mismo eje sería imposible sin pasar a una escala logarítmica. Esta transforma el intervalo entre 10 y 100.000 en otro que va de 1 a 5, al tomar los correspondientes logaritmos.

(Imagen tomada de GeoGebra)

Para comprenderlo mejor, cabe recordar que en la escala de Richter, usada para estimar la intensidad de los movimientos sísmicos, cada «grado» adicional indica que el valor anterior se multiplica por 10. Esto significa que un temblor de grado 6 es 100 veces más intenso que uno de grado 4, y que un temblor de grado 8 será 10.000 veces más intenso que uno de grado 4. Así, la escala de Richter presenta en este caso pocas divisiones, de 4 a 8, para ir de 100 a 10.000.

En realidad, en una escala lineal se suma en cada paso, mientras que en una escala logarítmica cada paso corresponde a una multiplicación. Esa es una de las propiedades más importantes de los logaritmos: «transformar» productos en sumas (como en el ábaco de Neper):

log(x·y) = log(x) + log(y)

Es una especie de telescopio matemático, inventado hace 400 años para apreciar y dominar los cálculos aritméticos como si se estuviera haciendo «zoom». De igual manera, en ese sentido, los logaritmos transforman divisiones en restas:

log(x/y) = log(x) – log(y).

Ahora bien, si se recuerda el significado de un «crecimiento exponencial» —el que se presenta en los fenómenos naturales que describen el crecimiento de poblaciones biológicas, o el que aparece en el cálculo de intereses bancarios, entre otros muchos ejemplos—, es fácil imaginar la utilidad que tiene el uso de los logaritmos naturales (de base e) para describir esos crecimientos que involucran la función exponencial.

En definitiva, la aritmética que se utiliza a diario —ya sea en una calculadora de bolsillo o en el computador más potente— no es más que una red de aproximaciones cuidadosamente elegidas para representar un universo numérico infinito con recursos finitos. Los logaritmos y las escalas que de ellos se derivan son solo una muestra de cómo las matemáticas han sabido tender puentes entre lo exacto y lo manejable. Comprender esas aproximaciones, sus límites y su utilidad, es quizá la mejor forma de apreciar cómo se sostiene buena parte de la ciencia y la tecnología modernas.

@MantillaIgnacio