e ≈ 2,7182818285,

y la mayoría de quienes lo usan han aprendido que también es la base de los “logaritmos naturales o neperianos”.

La importancia del Número de Euler e, es la que quiero destacar hoy, dedicando esta nota para contarles, o recordarles, quién es e, de dónde salió y mostrándoles por qué merece un artículo dedicado solamente a él. 

Las primeras referencias de la constante que posteriormente se llamaría e fueron publicadas a comienzos del siglo XVII con el trabajo sobre logaritmos de John Napier (1550-1617) quien observó que los cálculos que involucraban números muy grandes y muy pequeños eran una tarea demasiado difícil, así que comenzó desarrollando un sistema de logaritmos para simplificar los cálculos aritméticos al permitir que la ardua tarea de la multiplicación se redujera a sumas. En otras palabras, Napier descubrió un atajo para calcular exponentes.

Su aplicación inicial tuvo trascendencia en Astronomía principalmente, campo en el que el uso de los logaritmos facilitó los tediosos cálculos a tal punto que dos siglos después, el gran matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) expresó: “Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos”. 

Sin embargo no fue a través de los logaritmos que se descubrió e, y no fue sino hasta 1683, del estudio del interés compuesto que llevó a cabo Jacob Bernoulli, que apareció el número e. A propósito del interés compuesto, se le atribuye a Albert Einstein la cita según la cual: “el interés compuesto es la octava maravilla del mundo… Aquel que lo entiende, gana dinero; aquel que no, lo paga”. Seguramente es otra más de las muchas citas que se le atribuyen a Einstein, sin ser de su autoría.

En detalle, la aparición de e puede explicarse en forma sencilla si se piensa que el interés que se gana por un préstamo, que se recibe al final del tiempo pactado, puede distribuirse para ir cobrándolo cada cierto tiempo de manera que sobre esos rendimientos se cobren también los intereses. 

Más precisamente, con un ejemplo, podemos llegar al número e de la siguiente manera: supongamos que se invierte una unidad monetaria (UM) con un interés del 100% cada 8 años, es decir que el capital inicial se duplica al cabo de un octenio. Pero si en lugar de esto se divide el interés en dos partes y se pagan esos intereses dos veces en el octenio, cada cuatrienio, la cantidad obtenida en el primer cuatrienio es:

 (1 + 1/2) = 1,5 UM 

y en el octenio ahora el total es de: 

(1 +1/2) · (1 + 1/2)  = 2,25 UM

obteniéndose entonces una suma que supera las 2 UM que se reciben con un solo pago de intereses.

Y si ahora dividimos el octenio en 4 períodos (bienios), al igual que la tasa de interés, se obtienen

 (1 + 1/4) · (1 + 1/4) · (1 + 1/4) · (1 + 1/4) =  2,4414… UM

que aumenta aún más la suma final obtenida con uno o dos pagos de intereses.

Y si lo pacto anual, tenemos que el valor al final del octenio es:

(1 + 1/8)⁸ ≈ 2,57 UM

Se observa cómo, a medida que se aumenta la cantidad de períodos de pago, reduciendo proporcionalmente la tasa de interés en el período, aumenta también el total de unidades monetarias que se reciben al final del octenio. Entonces surge la pregunta, ¿crecerá indefinidamente, al infinito? Para obtener esa respuesta hay que imaginar n períodos de capitalización y calcular: 

que es el tope al que podrían crecer las UM. Y ese límite es justamente igual a

2,7182818285… = e.

Bernoulli utilizó el teorema del binomio para aproximar esta constante y esa fue la primera aproximación de e de la historia; sin embargo Bernoulli no relacionó ese número con los logaritmos y no investigó más esta constante, pero lo cierto es que ese trabajo de Bernoulli es el que permite afirmar que una inversión de un capital C a una tasa de interés anual R, con interés compuesto, proporcionará entonces Ce^R unidades monetarias al cabo del primer año y Ce^RN al cabo de N años. 

Y podemos volver a preguntarnos cuál es ahora el tiempo necesario para duplicar la inversión. La respuesta se logra igualando

es el tiempo requerido para duplicar la inversión. Si por ejemplo fuese R = 10% anual, entonces eso ocurre en 

N = 6,93147

por lo tanto en 7 años se habrá duplicado la inversión con un interés compuesto del 10% anual.

Pero volviendo al origen de e, la razón por la que se llama número de Euler a e se debe a que Leonard Euler usó esa notación para representar esa constante irracional. Sin embargo, no puede asegurarse que sea por tratarse de la primera letra de su nombre o por ser la primera letra de la palabra francesa “exponentiel”.

Sin embargo, cualquiera haya sido la razón, Euler sí utilizaba la letra e para representar la base del sistema de logaritmos naturales, que aun cuando existían desde un siglo antes, no había sido introducida una notación aceptable. El registro más importante del nombre e aparece en una carta que Euler dirige al matemático alemán Chistian Goldbach en 1731 en la que usa la letra e para referirse a “el número cuyo logaritmo hiperbólico es igual a 1”. Este símbolo fue admitido universalmente desde entonces.

Pero lo más relevante y el indudable merecimiento para que se llame constante o Número de Euler a e radica en los numerosos descubrimientos que hizo Euler sobre las propiedades de e en los años siguientes. En particular demostró que e es un número irracional y que puede escribirse como:

y en 1748, apoyado en el trabajo de Bernoulli sobre interés compuesto, dio a conocer una aproximación extraordinaria para la época, con 18 decimales

e = 2,718281828459045235.

Euler dedujo su conocida identidad, de la que se afirma que es la más bella ecuación matemática:

Como se observa, hay muchas razones para que esta constante lleve asociado el nombre de Euler, como si se tratase de su primera cifra decimal.

En 1873 Charles Hermite demostró que e es un número trascendente, es decir que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros no todos nulos. Este es un resultado importante en la historia de las matemáticas, si se tiene en cuenta que la demostración de la trascendencia del número π tardó más tiempo en lograrse, hasta 1882, cuando lo demostró el matemático alemán Ferdinand von Lindemann.

Espero haber contribuido al reconocimiento del número de Euler e, como uno de los grandes números que vale la pena aprender.

@MantillaIgnacio

Tal vez hoy parezcan una herramienta tortuosa y difícil de dominar, pero si comparamos las tablas de logaritmos con los instrumentos de apoyo a los que se podía acudir antes de su aparición, podemos afirmar que fuimos afortunados de disponer de este maravilloso invento. Siempre me he preguntado cómo sería de tediosa la tarea de realizar operaciones aritméticas en la Edad Media por ejemplo. La siguiente frase del eminente matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) así lo demuestra: “Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos”.

De tal magnitud fue el descubrimiento de los logaritmos. Este tuvo lugar solo hasta el siglo XVII y significó un gran avance para las matemáticas en particular y para las ciencias en general, como veremos. Es una herramienta que hoy en día está disponible en cualquier calculadora de bolsillo o teléfono celular común y que tal vez, por eso mismo, no apreciamos en todo su inmenso valor.

El gran matemático escocés John Napier de Merchiston (1550-1617), llamado también Johannes Neper es conocido como el padre de los logaritmos; fue el primero en definirlos y se encargó de popularizarlos; también introdujo el uso de la coma decimal para los cálculos numéricos. Neper fue un matemático que se preocupó especialmente por simplificar los cálculos, por eso ideó también un ábaco, conocido como el “Ábaco Neperiano”. Se trata de un ingenioso invento para realizar operaciones aritméticas, pues permite convertir productos en sumas y divisiones en restas. Para los lectores interesados en el funcionamiento de este sorprendente artefacto, pueden leer el blog https://divermates.es/2014/10/13/abaco-neperiano/. Y los más curiosos, si alguna vez tienen la oportunidad de visitar la ciudad de Bonn en Alemania, pueden deleitarse con un ejemplar y otros instrumentos derivados de este ábaco en el fantástico museo “El Arithmeum”, de esa ciudad. Un modelo expuesto del “Ábaco Neperiano” puede admirarse también en el Museo Arqueológico de Madrid en España.

Pero retomemos el aporte de Neper con la invención de los logaritmos y recordemos qué es un logaritmo. En general, el logaritmo en base b de un número positivo N es la potencia p a la que hay que elevar la base b para que sea igual al número N. 

Lo primero que hay que fijar es la base del logaritmo, que siempre es positiva porque es imposible conseguir un número positivo N multiplicando p veces un número negativo. 

Si la base es 2 por ejemplo, y denotamos con “log₂” al logaritmo en base 2, entonces, a manera de ejemplo:

log₂(32) = 5 

porque 5 es la potencia a la que debe elevarse la base 2 para obtener el número 32; o simplemente porque 

2⁵ = 32. 

Cuando la base es 10 los llamamos logaritmos decimales y se acostumbra escribir simplemente log. Así por ejemplo:

log(1000) = 3.

Un dato curioso es el del matemático y reverendo inglés Henry Briggs, quien publicó en 1624 la primera tabla con los logaritmos decimales de treinta mil números naturales, y cada uno contenía catorce cifras decimales; un trabajo descomunal para la época. Es esta la razón por la que también se les llama “logaritmos de Briggs” a los logaritmos decimales.

Y una base muy importante, bastante utilizada para los logaritmos, es el número de Euler e, que como sabemos es un número irracional y por lo tanto tiene infinitas cifras decimales:

e ≈ 2,71828… 

Cuando la base del logaritmo es este número, el logaritmo se denomina “logaritmo neperiano” en honor a Neper, o también “logaritmo natural” y se denota simplemente como ln, por esa razón

ln(e) = 1.

La utilidad de los logaritmos es muy amplia ya que permiten manejar escalas con cifras muy distantes (quizá algunos lectores recuerden las tareas del colegio que había que presentar en “papel logarítmico”), así por ejemplo para representar en una misma gráfica valores que inician en una escala marcada con el número 10 en un eje y alcanzan el valor de 100.000 en el mismo eje, sería imposible visualizarlos sin pasar a una escala logarítmica que transforma el intervalo entre 10 y 100.000 en otro que va de 1 a 5, cuando se toman los correspondientes logaritmos. 

(Imagen tomada de GeoGebra)

Para comprenderlo mejor recordemos que en la escala de Richter, usada para estimar la intensidad de los temblores de tierra, cada “grado” adicional indica que se multiplica por 10 el valor anterior. Esto significa que un temblor de grado 6 es 100 veces más intenso que el temblor de grado 4 y el terremoto de grado 8 será 10.000 veces más intenso que el temblor de 4. Así, la escala de Richter nos presenta en este caso pocas divisiones, de 4 a 8, para ir de 100 a 10.000.

En realidad en una escala lineal se suma en cada paso, mientras que en una escala logarítmica cada paso corresponde a una multiplicación; esa es una de las propiedades más importantes de los logaritmos, “transformar” productos en sumas (como en el ábaco de Neper):

log(x·y) = log(x) + log(y),

es una especie de telescopio matemático inventado hace 400 años para que podamos apreciar y dominar los cálculos aritméticos como si estuviéramos haciendo “zoom”. De igual manera, en ese sentido los logaritmos transforman divisiones en restas:

log(x/y) = log(x) – log(y).

Ahora bien, si recordamos el significado de un “crecimiento exponencial” que es el que se presenta en los fenómenos naturales que describen el crecimiento de poblaciones biológicas, o el que aparece en el cálculo de intereses bancarios, entre otros muchos ejemplos, podemos imaginar inmediatamente la utilidad que tiene el uso de los logaritmos naturales (de base e) para describir esos crecimientos que involucran a la función exponencial. 

Será tema de otros artículos desarrollar algunos ejemplos para ilustrar en detalle la sorprendente utilidad de los logaritmos.

@MantillaIgnacio