Los juegos de azar pueden ser de tres clases: de puro azar, de estrategia o mixtos. En el primer grupo pueden incluirse la ruleta, los dados o las loterías. En el segundo, el ajedrez o las damas chinas, y en el tercero el dominó y los juegos de cartas como el poker o el blackjack. Y dentro de los primeros hay unos que son justos y otros que no

lo son, entendiéndose por justo el juego en el que las posibilidades de ganar son las mismas que las de perder, es decir cuando hay un equilibrio y las oportunidades de ganar para cada jugador, cuando participan varios, son las mismas. En términos más formales de dice que un juego es justo si el valor esperado es cero. Este valor se calcula multiplicando cada resultado posible por su probabilidad de ocurrir y luego sumando estos productos.

Para explicar esta idea veamos el siguiente ejemplo, jugando a los dados. Supongamos un juego con un solo dado en el que un jugador puede escoger un número de 1 a 6 y luego lanzar el dado. Si la apuesta que hace el jugador es de $1000, la regla establece que pierde los $1000 cuando al lanzar el dado no sale el número escogido, pero gana $5000 cuando cae en el número escogido, entonces, en este caso la probabilidad de perder es de (5/6) y la probabilidad de ganar es de (1/6); el resultado posible de la apuesta es por lo tanto:

(-1000)(5/6) o (5000)(1/6)

y el valor esperado se calcula sumando los productos de cada resultado por su probabilidad de ocurrir; así que para el caso, el valor esperado es:

(-1000)(5/6) + (5000)(1/6) = 0

y por lo tanto este es un juego justo.

Ahora cambiemos las reglas y planteemos un nuevo juego en el que se realizan tres lanzamientos de un dado de tal manera que la apuesta de $1000 arroje cuatro posibles resultados: 

1. Se pierden los $1000 si no sale el número elegido en ninguno de los tres lanzamientos.
2. Se ganan $1000 si cae el número en uno de los tres lanzamientos.
3. Se ganan $2000 si sale dos veces el número en los tres lanzamientos.
4. Se ganan $3000 si cae el número escogido en cada uno de los tres lanzamientos.

En este caso el valor esperado se consigue, como antes, multiplicando cada resultado posible por su probabilidad de ocurrir y luego sumando estos productos:

1. La probabilidad de que no caiga el número en ningún lanzamiento es de 

2. La probabilidad de que en uno de los tres lanzamientos salga el número elegido es de:

3. La probabilidad de que el número elegido salga en dos de los tres lanzamientos es:

(d)  La probabilidad de que el número elegido salga en los tres lanzamientos es:

El resultado posible de la apuesta es entonces:

(-1000)(0,5787),  (1000)(0,3473), (2000)(0,0695) y (3000)(0,0046)

y el valor esperado será la suma de esos valores:

(1000)(-0,5787 + 0,3473 + 0,1390 + 0,0138) = (1000)(-0,0786) = -78,60

Esto significa que cada apuesta de $1000 representa una pérdida de $78,60; es decir del 7,86% y por lo tanto este no es un juego justo ya que el valor esperado no es cero, pero además es desfavorable porque el valor esperado es negativo (como ocurre en un casino con los juegos de azar puro); así que no sería aconsejable jugar bajo esas reglas. 

Un bonito ejemplo para analizar es el del juego, mundialmente conocido, que no necesita apoyo en dados, cartas, monedas ni artefacto o instrumento alguno, distinto a los dedos de una mano; me refiero al juego denominado como «Pares y Nones». Es el juego utilizado frecuentemente para discernir ciertas disputas como por ejemplo sobre quién hace el saque inicial para comenzar un partido de fútbol. En una de sus variantes el juego consiste en que uno de los dos jugadores elige Pares y el otro Nones (o impares). A continuación, ambos jugadores, que suelen ser los capitanes de los equipos que se van a enfrentar, muestran a la vez su mano, que bien puede estar empuñada (o sea sin ningún dedo extendido) o con uno o más dedos extendidos. Si la suma de los dedos extendidos de las manos de ambos jugadores es par, ganará el jugador que eligió Pares; de lo contrario gana quien eligió Nones.

¿Es este un juego justo? Veamos: para que pueda ser llamado justo, el juego debe ofrecer la misma probabilidad de ganar. La probabilidad aquí no es otra cosa que el cociente entre los casos favorables sobre los casos posibles, tal como lo establece la regla de Laplace. 

Un jugador puede tener 0, 1, 2, 3, 4 o 5 dedos extendidos; o sea 6 posibilidades, que son las mismas del otros jugador. Por lo tanto, en total hay 6×6 = 36 posibilidades. 

Los casos favorables se pueden contar fácilmente: si un jugador ha elegido la opción Pares, entonces los casos favorables tanto para él como para el jugador contrincante que ha elegido Nones son exactamente 18. 

En efecto, para el caso de Pares, son las sumas que dan como resultado uno de los siguientes números pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, que se consiguen con los siguientes números de dedos extendidos de los dos jugadores (la primera componente corresponde uno de los jugadores y la segunda al contrincante):

(0,0), (0,2), (0,4), (1,1), (1,3), (1,5), (2,0), (2,2), (2,4), 

(3,1), (3,3), (3,5), (4,0), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,5)

en total hay 18.

De la misma manera, para el caso de Nones, son las sumas que arrojan como resultado uno de los siguientes números impares: 1, 3, 5, 7, 9, que son también en total 18 y se consiguen con los siguientes números de dedos extendidos de los dos jugadores:

(0,1), (0,3), (0,5), (1,0), (1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (2,5), 

(3,0), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (4,5), (5,0), (5,2), (5,4).

La probabilidad de que la suma del número de dedos extendidos de los dos jugadores sea par es la misma probabilidad de que esa suma sea impar. En cada caso hay 18 casos favorables de 36 posibles y la probabilidad es entonces de 

18/36 = 1/2 

en cada caso, con lo que podemos concluir que este es un juego justo porque cada jugador tiene las mismas posibilidades de ganar.

Pero ¿qué ocurriría si si no fuesen cinco los dedos que se pueden usar? La pregunta puede parecer absurda, pero no lo es, como veremos a continuación. Podría aceptarse una regla adicional y es que el dedo meñique no pueda ser usado por ninguno de los jugadores, por ejemplo; pero más interesante y divertido resulta analizarlo en el mundo de «Los Simpson» como lo leí hace un tiempo, gracias a un artículo publicado en «gaussianos.com» (uno de los mejores portales de matemáticas en español) en el que se pregunta si el juego de «Pares y Nones» jugado por los «Los Simpson» sería un juego justo, teniendo en cuenta que estos personajes solo tienen 4 dedos en cada mano.

En este caso cada jugador tendría la posibilidad de mostrar 0, 1, 2, 3, 4 dedos extendidos; es decir que hay 5×5 = 25 posibles resultados. Para quien se incline por Pares puede ganar en los casos siguientes:

(0,0), (0,2), (0,4), (1,1), (1,3), (2,0), 

(2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,0), (4,2), (4,4)

es decir en 13 posibles resultados.

El jugador con la opción de Nones tiene los siguientes casos favorables:

(0,1), (0,3), (1,0), (1,2), (1,4), (2,1), 

(2,3), (3,0), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)

que en total son 12.

Por lo tanto la probabilidad de ganar para el jugador de opción Pares es 13/25 = 0,52 mientras que la probabilidad de ganar del jugador de opción Nones será 12/25 = 0,48.

Entonces en el mundo de «Los Simpson» el juego de «Pares y Nones» no es justo y es favorable para quien elija la opción Pares.

Este tema de los juegos justos fue estudiado a profundidad desde finales del siglo XIX dando origen al concepto de «Martigala», que es un proceso estocástico de gran utilidad tanto en Pobabilidad como en Economía y Finanzas y que encontró aplicaciones inesperadas en la valoración de opciones.

@MantillaIgnacio

La fascinación por los juegos de azar, así como el deseo de hacerse rico con un golpe de suerte, han incentivado el estudio de algunas áreas de la matemática y en algunos casos ha motivado la investigación a profundidad para identificar maneras de acertar en las apuestas con una mayor probabilidad o para ganar sobre los demás con base en un mejor conocimiento. 

Contrario a nuestra intuición, abundan las paradojas matemáticas que nos muestran resultados inesperados que no son fruto del azar solamente y cuyo estudio pertenece a la fascinante área de la probabilidad. La famosa frase de Einstein: “Dios no juega a los dados”, puede explicar la razón por la que, ante el asombro por algunas respuestas insospechadas, queremos descubrir alguna razón lógica que las aclare y que reafirme la existencia de un gobierno universal regido por leyes naturales que no pueden ser incumplidas.

Como se ha podido documentar, el dado es un invento milenario; en efecto, un antiguo dado persa, descubierto en una excavación arqueológica en la antigua ciudad de Shahr-i Sokhta (ciudad quemada), ubicada al sudeste de Irán, tallado hace más de 5000 años en el hueso de un pie de un animal, así lo confirma. 

El juego de los dados fue uno de los más populares de la Edad Media y la fascinación por su práctica se extendió por varios siglos más. A mediados del siglo XVI atraía la atención de quienes gustaban de los juegos de azar en Italia y a esta atracción no escapaban los nobles. Fue así como en el año de 1560 el duque de La Toscana, de quien se dice que era un jugador empedernido, le consultó al célebre matemático Gerolamo Cardano (1501-1576) un problema sobre el juego con tres dados. Cardano  estudió el problema y lo incluyó en su obra titulada Liber de ludo aleae (Libro de los juegos de azar), considerado como el primer tratado de probabilidad. Pero la obra de Cardano solo fue publicada por primera vez en 1663, un siglo después de su redacción.

Galileo Galilei (1564-1642), quien no conoció la obra de Cardano, se interesó en este problema 50 años después de haberlo planteado el duque de Toscana y lo resolvió dando una respuesta convincente que puso fin a la discusión que generaba y despejando toda duda.

El problema, hoy conocido también como “la paradoja de los tres dados”, es el siguiente: el duque de Toscana había observado que en el juego, en el que se lanzaban tres dados y se sumaban los puntos, el resultado 10 aparecía más veces que el 9, lo que a él le parecía absurdo pues ambos números pueden obtenerse de seis formas posibles solamente y en tal caso los dos resultados deberían ser igualmente probables de obtener. En efecto, el duque tenía razón en que hay seis formas de obtener el 9 o el 10 con tres dados:

9 = 1 + 2 + 6       10 = 1 + 3 + 6 

9 = 1 + 3 + 5       10 = 1 + 4 + 5

9 = 1 + 4 + 4       10 = 2 + 2 + 6

9 = 2 + 2 + 5       10 = 2 + 3 + 5

9 = 2 + 3 + 4       10 = 2 + 4 + 4

9 = 3 + 3 + 3       10 = 3 + 3 + 4,

entonces, ¿cuál es la explicación de ese resultado paradójico?

A Galileo se le ocurrió una idea que es genial, como son las soluciones que nos parecen simples, cuando las conocemos; observó que había que tener en cuenta el resultado de cada dado y no solo los números requeridos en la suma, es decir, que, por ejemplo, la tripla (2,1,6), que indica que en el primer dado salió 2, en el segundo 1 y en el tercero 6, se puede producir también en la forma (1,2,6), con 1 en el primer dado, 2 en el segundo y de nuevo 6 en el tercero. Teniendo en cuenta esta observación, la misma tripla de números que suman 9 o 10 puede aparecer ordenada de diferentes formas; así por ejemplo, para la tripla antes indicada tenemos estas posibilidades:

(1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2), (6,2,1).

Si hacemos lo mismo para cada tripla de números que suman 9 o 10, las diferentes formas en las que se puede ordenar cada tripla son las siguiente, indicadas entre paréntesis:

9 = 1 + 2 + 6   (6)       10 = 1 + 3 + 6   (6)

9 = 1 + 3 + 5   (6)       10 = 1 + 4 + 5   (6)

9 = 1 + 4 + 4   (3)       10 = 2 +2 + 6    (3)

9 = 2 + 2 + 5   (3)       10 = 2 + 3 + 5   (6)

9 = 2 + 3 + 4   (6)       10 = 2 + 4 + 4   (3)

9 = 3 + 3 + 3   (1)       10 = 3 + 3 + 4   (3).

Las cuentas que realizó Galileo son esas exactamente, mostrando que el 9 podía aparecer en el lanzamiento de tres dados de 25 formas posibles y el 10 en cambio, de 27 formas posibles, con lo cual quedaba resuelta la duda y explicada la razón por la cual es más probable obtener 10 puntos que obtener 9 puntos al lanzar tres dados.

En realidad el error del duque de Toscana y la creencia generalizada que conducía al mismo error, era pensar que los dados lanzados eran objetos iguales e indistinguibles. Galileo cambió esa hipótesis y con esa sencilla, pero no evidente observación, separando luego los casos favorables a cada suma, hizo un aporte de vital importancia para el estudio de posibles eventos o sucesos equiprobables.

Como se puede concluir, los secretos que esconden las matemáticas de los juegos de azar también, como los juegos mismos, no solo nos entretienen sino que además nos enriquecen, especialmente con curiosidades y conocimientos.  

@MantillaIgnacio