Tal vez hoy las tablas de logaritmos nos parezcan una herramienta engorrosa y difícil de dominar. Sin embargo, si las comparamos con los métodos de cálculo disponibles antes de su aparición, resulta evidente que quienes pudimos utilizarlas fuimos verdaderamente afortunados. A menudo me he preguntado cuán tediosa debía de ser la realización de operaciones aritméticas en la Edad Media o incluso en épocas posteriores. La siguiente observación del eminente matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) da una idea clara de la enorme revolución que supuso la invención de los logaritmos: «Al reducir a unos pocos días el trabajo de cálculo de varios meses, los logaritmos parecían haber duplicado la vida de los astrónomos».

Tal fue la magnitud de este descubrimiento. La invención de los logaritmos no llegó sino hasta comienzos del siglo XVII, y supuso un avance extraordinario para las matemáticas en particular y para las ciencias en general, como veremos a continuación. Hoy esta herramienta está incorporada en cualquier calculadora de bolsillo e incluso en el teléfono celular más sencillo. Quizá por esa misma familiaridad hemos dejado de apreciar su verdadero alcance y el inmenso valor que tuvo para el desarrollo científico.

El gran matemático escocés John Napier de Merchiston (1550-1617), también conocido por la forma latinizada de su nombre, Johannes Neper, es considerado el padre de los logaritmos. Fue el primero en definirlos y quien más contribuyó a su difusión. Además, introdujo el uso sistemático de la coma decimal en los cálculos numéricos. Su preocupación constante por simplificar las operaciones aritméticas lo llevó a idear otros ingeniosos instrumentos de cálculo, entre ellos el llamado «ábaco neperiano». Este dispositivo permitía transformar multiplicaciones en sumas y divisiones en restas, reduciendo considerablemente el esfuerzo necesario para efectuar cálculos complejos. Los lectores interesados en conocer su funcionamiento pueden consultar el artículo publicado en el blog Divermates. Y quienes tengan la oportunidad de visitar la ciudad alemana de Bonn podrán contemplar un ejemplar, junto con otros instrumentos derivados de este invento, en el extraordinario museo Arithmeum. Un modelo del ábaco neperiano también se exhibe en el Museo Arqueológico Nacional de Madrid.

Pero volvamos al aporte más trascendental de Neper: la invención de los logaritmos. Antes de examinar las extraordinarias aplicaciones de esta herramienta, conviene recordar qué es exactamente un logaritmo. En términos generales, el logaritmo en base $b$ de un número positivo $N$ es el exponente $p$ al que debe elevarse la base $b$ para obtener el número $N$. Dicho de otro modo, si $b^{p}=N$, entonces $p=\log_{b}(N)$.

Por ejemplo, como $2^{5}=32$, se tiene que $\log_{2}(32)=5$.

Lo primero que hay que fijar es la base del logaritmo, que debe ser un número positivo distinto de 1. Gracias a esta condición, para cada número positivo existe un único exponente que permite obtenerlo como potencia de la base. Por esta razón, los logaritmos se definen únicamente para bases positivas.

Cuando la base es 10, los llamamos logaritmos decimales y se acostumbra a escribir simplemente log. Así, por ejemplo, log(1000) = 3 porque $10^{3}=1000$.

Un dato curioso es el del matemático y reverendo inglés Henry Briggs, quien publicó en 1624 la primera tabla de logaritmos decimales, con treinta mil números naturales y catorce cifras decimales cada uno. Fue un trabajo descomunal para la época. Por esta razón, a los logaritmos decimales también se les llama «logaritmos de Briggs».

Otra base muy importante, bastante utilizada en los logaritmos, es el número de Euler, e, que es un número irracional y, por lo tanto, tiene infinitas cifras decimales:

e ≈ 2,71828…

Cuando la base del logaritmo es este número, el logaritmo se denomina «logaritmo neperiano», en honor a Neper, o también «logaritmo natural», y se denota simplemente como ln. Por esa razón:

ln(e) = 1

La utilidad de los logaritmos es muy amplia, ya que permiten manejar escalas con cifras muy distantes (quizá algunos lectores recuerden las tareas del colegio que debían presentarse en «papel logarítmico»). Por ejemplo, representar en una misma gráfica valores que van desde 10 hasta 100.000 en un mismo eje sería imposible sin pasar a una escala logarítmica. Esta transforma el intervalo entre 10 y 100.000 en otro que va de 1 a 5, al tomar los correspondientes logaritmos.

(Imagen tomada de GeoGebra)

Para comprenderlo mejor, cabe recordar que en la escala de Richter, usada para estimar la intensidad de los movimientos sísmicos, cada «grado» adicional indica que el valor anterior se multiplica por 10. Esto significa que un temblor de grado 6 es 100 veces más intenso que uno de grado 4, y que un temblor de grado 8 será 10.000 veces más intenso que uno de grado 4. Así, la escala de Richter presenta en este caso pocas divisiones, de 4 a 8, para ir de 100 a 10.000.

En realidad, en una escala lineal se suma en cada paso, mientras que en una escala logarítmica cada paso corresponde a una multiplicación. Esa es una de las propiedades más importantes de los logaritmos: «transformar» productos en sumas (como en el ábaco de Neper):

log(x·y) = log(x) + log(y)

Es una especie de telescopio matemático, inventado hace 400 años para apreciar y dominar los cálculos aritméticos como si se estuviera haciendo «zoom». De igual manera, en ese sentido, los logaritmos transforman divisiones en restas:

log(x/y) = log(x) – log(y).

Ahora bien, si se recuerda el significado de un «crecimiento exponencial» —el que se presenta en los fenómenos naturales que describen el crecimiento de poblaciones biológicas, o el que aparece en el cálculo de intereses bancarios, entre otros muchos ejemplos—, es fácil imaginar la utilidad que tiene el uso de los logaritmos naturales (de base e) para describir esos crecimientos que involucran la función exponencial.

En definitiva, la aritmética que se utiliza a diario —ya sea en una calculadora de bolsillo o en el computador más potente— no es más que una red de aproximaciones cuidadosamente elegidas para representar un universo numérico infinito con recursos finitos. Los logaritmos y las escalas que de ellos se derivan son solo una muestra de cómo las matemáticas han sabido tender puentes entre lo exacto y lo manejable. Comprender esas aproximaciones, sus límites y su utilidad, es quizá la mejor forma de apreciar cómo se sostiene buena parte de la ciencia y la tecnología modernas.

@MantillaIgnacio