Gracias a algunas famosas pinturas es posible identificar estilos de muebles usados en siglos pasados; así por ejemplo el cuadro de La última cena, de Tintoretto, pintado a finales del siglo XVI nos revela un estilo de mesa y butacas muy particular  

y el Dormitorio de Arles de Van Gogh nos muestra los muebles correspondientes a una austera habitación individual europea de finales del siglo XIX. 

También hay ejemplos de muebles muy particulares, diseñados para cumplir exclusivamente una función, como es el caso de esta ingeniosa silla francesa del siglo XVIII, especialmente diseñada para leer un libro con las manos libres y con soporte para una vela, como fuente de luz, por si si fuese necesario continuar la lectura al anochecer. 

Pero no quiero centrarme en la historia ni en el diseño de muebles sino llamar la atención sobre un detalle que pasa desapercibido y que casi siempre omiten los diseñadores de muebles. Si bien la mayoría de muebles tales como estantes, mesas o sillas tienen cuatro patas; es decir, cuatro puntos de apoyo sobre el suelo, frecuentemente, a pesar de que esas patas tienen la misma longitud, el mueble termina cojeando. 

No se trata de un defecto de fabricación, basta con que el suelo presente un pequeño desnivel para que tengamos una mesa coja balanceándose sin remedio hasta que usemos algún elemento para nivelar la pata que queda en el aire. Los tacos de papel doblado o las cuñas hechas con tapas de botellas de gaseosas y cervezas son las preferidas en los restaurantes y cafeterías populares y se convierten en los correctivos más comunes. 

Sin duda todos hemos experimentado la desagradable experiencia de sentarnos a comer frente a una mesa coja, sin poder evitar que la sopa, el jugo o el café se rieguen cada vez que, sin intención, nos apoyemos en la mesa; y la experiencia es peor aún, cuando además la silla que ocupamos también cojea. Son tan comunes las mesas y sillas cojas, que ya los diseños modernos incluyen tapas atornilladas en las patas para graduarlas y evitar esta molesta situación.

Pero ¿alguna vez se han detenido a examinar muebles de tres patas?

o ¿han observado que los muebles de tres patas no cojean? 

Como siempre, las matemáticas están en todas partes para ofrecernos una explicación; y en este caso la respuesta la encontramos en la geometría euclidiana. En efecto, la razón por la que los muebles de tres patas no cojean es bien clara: un plano es una figura bidimensional formada por un número infinito de puntos y desde hace 2300 años el gran matemático griego Euclides nos enseñó que bastan tres puntos no alineados para definir un plano; más exactamente, Euclides dice que «dados tres puntos no alineados, existe un único plano al que pertenecen». 

Si lo miramos en el caso unidimensional, tal vez convenga comparar esa afirmación con el primer postulado de Euclides que entendemos y aceptamos más fácilmente: «Por dos puntos distintos, se puede trazar una única línea recta».  

Entendiendo el principio enunciado, el plano que contenga tres puntos dados (que no estén sobre una misma línea recta) es único; es decir, no puede haber otro.

Si examinamos una mesa de cuatro patas, hay cuatro puntos de apoyo sobre una superficie, pero solo podemos estar seguros de que tres de sus patas se apoyan en el suelo sobre un mismo plano; es posible que el cuarto punto de apoyo pertenezca a otro plano y basta con que la cuarta pata se apoye sobre un plano distinto para que la mesa pierda estabilidad y empiece a cojear, por pequeño que sea el desnivel del piso. 

En una mesa de tres patas, dos de ellas la posicionan en un mismo eje y la tercera pata, tenga o no la misma longitud, se encarga de estabilizar la mesa adaptándola al eventual desnivel del suelo; es decir, las tres patas siempre tocarán el suelo a la vez, definiendo un único plano con la certeza de que nunca llegará a cojear. 

Sin embargo, es importante aclarar que la superficie de la mesa podría no quedar paralela al plano del suelo porque esos planos no necesariamente son paralelos, pero no importa qué tan irregular sea el suelo, las tres patas siempre formarán un único plano, eliminando ese molesto balanceo.  

Paradójicamente, los objetos de tres patas nos transmiten cierta sensación de inestabilidad.  

Con esta breve nota espero que la próxima vez que cambie sus muebles tenga en cuenta que tres patas son suficientes para evitar la cojera y que, por extraño que parezca, la estabilidad del mueble no se pierde porque le falte una cuarta pata.

@MantillaIgnacio

Se han suprimido conceptos muy útiles y formativos que anteriormente eran de obligatorio aprendizaje y se han distribuidos algunos tópicos en varios grados que aparentemente abarcan más temas; pero al final solo aportan un mar de conocimientos con un centímetro de profundidad.

Me refiero especialmente a los capítulos dedicados a la Geometría Euclidiana, esa que se estudiaba con rigor, como asignatura independiente, cuyo texto guía por muchos años en toda Hispanoamérica fue el libro de Geometría de G. M. Bruño, publicado a comienzos del siglo pasado y que hoy puede descargarse en PDF de manera gratuita. Sí, me refiero a esa geometría que se aprendía usando como herramientas el lápiz, el cuaderno cuadriculado, el borrador, la escuadra, el transportador, la regla, el compás y que, usando tizas de colores, los docentes se esforzaban por explicar con trazos rectos y círculos perfectos en el tablero que luego producía lástima tener que borrarlo.  

No pretendo que volvamos a esas herramientas solamente, aunque no comparto la idea de jubilar la escritura a mano; no hay duda de que hoy las gráficas pueden ser computarizadas y con programas como “Geogebra” es fácil mejorar el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos; también con la asistencia de la Inteligencia Artificial puede facilitarse hoy su comprensión, pero quiero llamar la atención sobre la necesidad de que al menos se les dé a conocer y se les permita disfrutar a los niños y jóvenes, de la Geometría Euclidiana en forma integral e independiente, sin prohibir las herramientas y ayudas modernas que quieran utilizar para que sea aún más atractiva para su propio deleite.  

Los conceptos, postulados, figuras, axiomas, teoremas, corolarios y demostraciones de la Geometría Euclidiana constituyen la mejor visión de las matemáticas. No debemos reemplazar tal riqueza con una dispersa y superficial noción en el bachillerato; es como vivir en el penthouse del piso 30 y cubrir las ventanas para ocultar la vista y evitar la luz. 

Los tópicos más conocidos de la Geometría Plana están contenidos en el famoso libro “Elementos”, que nos dejó el matemático griego Euclides, obra escrita hace más de 23 siglos, pero hay también resultados y aplicaciones que han sido descubiertos recientemente y que pueden incentivar a los jóvenes a cultivar el estudio de las matemáticas con nuevos retos, usando herramientas modernas. Menciono solo la abundante oferta de juegos electrónicos, que basan sus diseños y presentación en conceptos geométricos.

Después de Euclides y a lo largo del tiempo, desde la invención de la imprenta en 1450, han aparecido incontables ediciones del trabajo de Euclides, como esta bella publicación:

que usa para las demostraciones solamente ilustraciones como estas:

Tampoco la investigación y los resultados en Geometría Euclidiana después de Euclides cesó; incluso el emperador Napoleón Bonaparte hizo un original aporte al formular y demostrar el conocido “Teorema de Napoleón” sobre el que hace unos años escribí (ver: https://www.elespectador.com/opinion/columnistas/ignacio-mantilla/el-teorema-de-napoleon-column-729818)

Ahora bien, no podría cerrar este llamado para recuperar la enseñanza de la Geometría Euclidiana sin ofrecer al menos un buen ejemplo, como lo haré continuación. Pero antes un poco de contexto: comúnmente los matemáticos sentimos mayor aprecio por un teorema en particular en cada área estudiada, y ese teorema favorito lo podemos escribir y demostrar de memoria; así por ejemplo, en mi caso, el Teorema de Punto Fijo de Banach es mi favorito del Análisis Matemático y el Teorema de Infinitud de los Números Primos, demostrado por Euclides usando el método de reducción al absurdo, es mi favorito de la Teoría de Números. 

En el caso de la Geometría Euclidiana también tengo mi favorito, y no es el Teorema de Pitágoras, sino uno, bastante menos famoso y poco conocido. Se trata de un resultado de una extraordinaria sencillez que tiene múltiples aplicaciones, me refiero a un bonito resultado publicado hace 200 años, más exactamente en 1822, o sea después de 2000 años de Euclides, conocido como el “Teorema de Poncelet”, de autoría del matemático e ingeniero militar francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867), quien estuvo en una prisión rusa entre 1812 y 1814 tras participar en la campaña napoleónica. De este período prolífico son sus trabajos publicados años después. El teorema mencionado es el siguiente:

Teorema de Poncelet

En un triángulo rectángulo la suma de los catetos a y b es igual a la suma de la hipotenusa c y el doble del radio R de la circunferencia inscrita. O sea:

a + b = c + 2R.

La demostración de este fascinante resultado es sencilla. Basta observar la siguiente figura en donde están presentes dos resultados que son conocidos:  

1. Los dos segmentos de rectas tangentes, trazados desde un mismo punto exterior a un círculo, tienen la misma longitud; por lo tanto los segmentos que unen los vértices de los ángulos no rectos del triángulo y los puntos de tangencia con la circunferencia son, en cada caso, de la misma longitud; es decir m en un caso y n en el otro. 
2. El cuadrilátero que forman los dos radios que unen el centro de la circunferencia con los puntos de tangencia en los catetos a y b del triángulo y los dos segmentos que desde estos puntos de tangencia unen el vérttice del ángulo recto del triángulo, es un cuadrado de lado R.

Ahora la demostración resulta trivial pues:

a + b = (m + R) + (R + n) 

         = m + n + 2R

         = c + 2R.

Una de las imágenes más bellas de la Geometría Euclidiana se obtiene usando precisamente el Teorema de Poncelet. En efecto: por el Teorema de Pitágoras se sabe que el triángulo de lados (3, 4, 5) es un triángulo rectángulo (3² + 4² = 5²); esta es la tripla pitagórica más conocida y lo que resulta alucinante es que el círculo que puede inscribirse en ese triángulo, tiene un área de π unidades cuadradas. La prueba de esta bella relación resulta inmediata usando el Teorema de Poncelet, porque: 

3 + 4 = 5 + 2R,

entonces el radio R del círculo debe ser R = 1, y reemplazando en la fórmula del área del círculo:

A = π·R² = π·1² = π.

¿No es esto sorprendente? Prácticamente puede definirse el número π como el área del círculo que puede inscribirse en la primera tripla pitagórica (3, 4, 5).

Así como se afirma que la ecuación más bella de las matemáticas es la Ecuación de Euler: 

Finalizo con una frase del matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1639): 

“Donde haya materia existe geometría”.

@MantillaIgnacio