La fascinación por los juegos de azar, así como el deseo de hacerse rico con un golpe de suerte, han incentivado el estudio de algunas áreas de la matemática y en algunos casos ha motivado la investigación a profundidad para identificar maneras de acertar en las apuestas con una mayor probabilidad o para ganar sobre los demás con base en un mejor conocimiento. 

Contrario a nuestra intuición, abundan las paradojas matemáticas que nos muestran resultados inesperados que no son fruto del azar solamente y cuyo estudio pertenece a la fascinante área de la probabilidad. La famosa frase de Einstein: “Dios no juega a los dados”, puede explicar la razón por la que, ante el asombro por algunas respuestas insospechadas, queremos descubrir alguna razón lógica que las aclare y que reafirme la existencia de un gobierno universal regido por leyes naturales que no pueden ser incumplidas.

Como se ha podido documentar, el dado es un invento milenario; en efecto, un antiguo dado persa, descubierto en una excavación arqueológica en la antigua ciudad de Shahr-i Sokhta (ciudad quemada), ubicada al sudeste de Irán, tallado hace más de 5000 años en el hueso de un pie de un animal, así lo confirma. 

El juego de los dados fue uno de los más populares de la Edad Media y la fascinación por su práctica se extendió por varios siglos más. A mediados del siglo XVI atraía la atención de quienes gustaban de los juegos de azar en Italia y a esta atracción no escapaban los nobles. Fue así como en el año de 1560 el duque de La Toscana, de quien se dice que era un jugador empedernido, le consultó al célebre matemático Gerolamo Cardano (1501-1576) un problema sobre el juego con tres dados. Cardano  estudió el problema y lo incluyó en su obra titulada Liber de ludo aleae (Libro de los juegos de azar), considerado como el primer tratado de probabilidad. Pero la obra de Cardano solo fue publicada por primera vez en 1663, un siglo después de su redacción.

Galileo Galilei (1564-1642), quien no conoció la obra de Cardano, se interesó en este problema 50 años después de haberlo planteado el duque de Toscana y lo resolvió dando una respuesta convincente que puso fin a la discusión que generaba y despejando toda duda.

El problema, hoy conocido también como “la paradoja de los tres dados”, es el siguiente: el duque de Toscana había observado que en el juego, en el que se lanzaban tres dados y se sumaban los puntos, el resultado 10 aparecía más veces que el 9, lo que a él le parecía absurdo pues ambos números pueden obtenerse de seis formas posibles solamente y en tal caso los dos resultados deberían ser igualmente probables de obtener. En efecto, el duque tenía razón en que hay seis formas de obtener el 9 o el 10 con tres dados:

9 = 1 + 2 + 6       10 = 1 + 3 + 6 

9 = 1 + 3 + 5       10 = 1 + 4 + 5

9 = 1 + 4 + 4       10 = 2 + 2 + 6

9 = 2 + 2 + 5       10 = 2 + 3 + 5

9 = 2 + 3 + 4       10 = 2 + 4 + 4

9 = 3 + 3 + 3       10 = 3 + 3 + 4,

entonces, ¿cuál es la explicación de ese resultado paradójico?

A Galileo se le ocurrió una idea que es genial, como son las soluciones que nos parecen simples, cuando las conocemos; observó que había que tener en cuenta el resultado de cada dado y no solo los números requeridos en la suma, es decir, que, por ejemplo, la tripla (2,1,6), que indica que en el primer dado salió 2, en el segundo 1 y en el tercero 6, se puede producir también en la forma (1,2,6), con 1 en el primer dado, 2 en el segundo y de nuevo 6 en el tercero. Teniendo en cuenta esta observación, la misma tripla de números que suman 9 o 10 puede aparecer ordenada de diferentes formas; así por ejemplo, para la tripla antes indicada tenemos estas posibilidades:

(1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2), (6,2,1).

Si hacemos lo mismo para cada tripla de números que suman 9 o 10, las diferentes formas en las que se puede ordenar cada tripla son las siguiente, indicadas entre paréntesis:

9 = 1 + 2 + 6   (6)       10 = 1 + 3 + 6   (6)

9 = 1 + 3 + 5   (6)       10 = 1 + 4 + 5   (6)

9 = 1 + 4 + 4   (3)       10 = 2 +2 + 6    (3)

9 = 2 + 2 + 5   (3)       10 = 2 + 3 + 5   (6)

9 = 2 + 3 + 4   (6)       10 = 2 + 4 + 4   (3)

9 = 3 + 3 + 3   (1)       10 = 3 + 3 + 4   (3).

Las cuentas que realizó Galileo son esas exactamente, mostrando que el 9 podía aparecer en el lanzamiento de tres dados de 25 formas posibles y el 10 en cambio, de 27 formas posibles, con lo cual quedaba resuelta la duda y explicada la razón por la cual es más probable obtener 10 puntos que obtener 9 puntos al lanzar tres dados.

En realidad el error del duque de Toscana y la creencia generalizada que conducía al mismo error, era pensar que los dados lanzados eran objetos iguales e indistinguibles. Galileo cambió esa hipótesis y con esa sencilla, pero no evidente observación, separando luego los casos favorables a cada suma, hizo un aporte de vital importancia para el estudio de posibles eventos o sucesos equiprobables.

Como se puede concluir, los secretos que esconden las matemáticas de los juegos de azar también, como los juegos mismos, no solo nos entretienen sino que además nos enriquecen, especialmente con curiosidades y conocimientos.  

@MantillaIgnacio

Existe una antigua discusión sobre el origen de las matemáticas. Hay quienes defienden la tesis según la cual las matemáticas son solo una invención más de la humanidad y hay quienes sostienen que se trata de un descubrimiento (aún inconcluso) de la humanidad. Galileo Galilei (1564 – 1642) no evadió esta discusión y aunque no respondió directamente si las matemáticas las descubrimos o las inventamos, dejó como respuesta la célebre cita: 

“Las matemáticas son el lenguaje con el cual Dios ha escrito el universo”.

Si aceptamos esta convicción de Galileo, todos diríamos entonces que Dios tampoco las inventó. Los ateos estarían de acuerdo porque no existe Dios (se cumple vacíamente) y los creyentes porque están de acuerdo con Galileo, con lo cual Dios no las inventó, pero sí en cambio las ha usado para ponernos en la tarea de descubrirlas. 

Las matemáticas están presentes y seguirán presentes, bien sean invención o descubrimiento y habrá nuevos inventos para quienes las consideren un invento y nuevos descubrimientos para quienes las consideran descubrimiento porque son dinámicas y cada día nos asombran con sus axiomas, reglas, métodos y aplicaciones que parecen permear todo lo que nos rodea, como un lenguaje de comunicación universal, tal como las concibió Galileo.

Las matemáticas están en casi todo nuestro mundo moderno, se esconden o aparecen para influir en computadores y teléfonos celulares, en las redes de comunicación, en los algoritmos de las cadenas de servicios y de seguridad bancaria y hasta en la comprensión de la propagación de una epidemia como la que estamos viviendo.

No podríamos imaginar un mundo sin matemáticas y sin números; aunque estos son objetos intangibles, son indestructibles; no son una moda, son parte de las mayores riquezas de la humanidad, a disposición del que los necesite. Podrían ser semejantes a unos fósiles vivientes que no envejecen con el paso de los siglos.

En la discusión entre quienes creen que las matemáticas fueron descubiertas y quienes afirman que son inventadas hay argumentos muy convincentes y persuasivos de cada lado. Yo me inclino más por la opinión de que hay de las dos cosas: el número π, por ejemplo, es un objeto matemático que nadie se inventó; fue descubierto al observar que tomando cualquier círculo y dividiendo lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro se obtiene siempre la misma cantidad: una constante que no es entera, un poco mayor que 3, pero que no se puede expresar como una fracción de enteros, como se demostró luego. El invento fue llamar π a esa constante y representarla con esa letra griega que ya había sido inventada con anterioridad.

También puede darse un proceso distinto, podemos inventar una teoría nueva o un nuevo objeto, que adquiere el rango de concepto matemático porque satisface todos los requisitos que exige el engranaje lógico, operacional y axiomático de las matemáticas; puede estar totalmente alejado del mundo real y sobrevivir solamente en la mente de los matemáticos por muchos años, como sucedió con la Teoría de Grupos – una robusta área del Álgebra Abstracta -, la Teoría de Grafos o el concepto de Fractal, por ejemplo; pero aparece de repente una aplicación que ni siquiera el inventor pudo imaginar que existiría; en tal caso ese viejo invento se confunde entonces con un descubrimiento asombroso que se adelantó a su tiempo en el mundo real y que alguna mente brillante y prodigiosa fue capaz de formular antes de pensar en su aplicación futura.

Pero aún suponiendo que los inventos no tuvieran aplicación alguna, eso no les quita validez y sobre todo belleza.

También es común denominar invento a las matemáticas que no se les ve aplicación inmediata; se cree que todo lo que no sea descubrimiento o tenga aplicación es inútil; algo ideado para unos pocos que quieren de esa manera entretenerse de forma exclusiva mientras alguien más encuentra su uso o que se trata de una invención incomprensible, diseñada para un limitado grupo de matemáticos que quieren así impedir el entendimiento y torturar a quien desee comprenderlo.

Seguramente, si hay vida inteligente en otra galaxia, allí también tendrán que usar números, posiblemente con una base diferente a la decimal y probablemente su forma de hacer aritmética sea aún ineficiente como lo sería la nuestra si aún usáramos los números romanos (sin el cero) para multiplicar, por ejemplo: CXIV por XXIII. Y tal vez en ese mundo externo hayan combinado su intuición geométrica con precisión aritmética para crear algo como el álgebra y de acuerdo con sus leyes físicas (¿observando la caída de una fruta?) hayan formulado sus propias leyes “universales” y descubierto o inventado también un cálculo como el diferencial.

Invención o descubrimiento, las matemáticas no se pueden evitar, están en todas partes y si se ha peleado con ellas, es mejor reconciliarse cuanto antes y descubrir su lado más divertido. 

@MantillaIgancio