e ≈ 2,7182818285,

y la mayoría de quienes lo usan han aprendido que también es la base de los “logaritmos naturales o neperianos”.

La importancia del Número de Euler e, es la que quiero destacar hoy, dedicando esta nota para contarles, o recordarles, quién es e, de dónde salió y mostrándoles por qué merece un artículo dedicado solamente a él. 

Las primeras referencias de la constante que posteriormente se llamaría e fueron publicadas a comienzos del siglo XVII con el trabajo sobre logaritmos de John Napier (1550-1617) quien observó que los cálculos que involucraban números muy grandes y muy pequeños eran una tarea demasiado difícil, así que comenzó desarrollando un sistema de logaritmos para simplificar los cálculos aritméticos al permitir que la ardua tarea de la multiplicación se redujera a sumas. En otras palabras, Napier descubrió un atajo para calcular exponentes.

Su aplicación inicial tuvo trascendencia en Astronomía principalmente, campo en el que el uso de los logaritmos facilitó los tediosos cálculos a tal punto que dos siglos después, el gran matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827) expresó: “Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos”. 

Sin embargo no fue a través de los logaritmos que se descubrió e, y no fue sino hasta 1683, del estudio del interés compuesto que llevó a cabo Jacob Bernoulli, que apareció el número e. A propósito del interés compuesto, se le atribuye a Albert Einstein la cita según la cual: “el interés compuesto es la octava maravilla del mundo… Aquel que lo entiende, gana dinero; aquel que no, lo paga”. Seguramente es otra más de las muchas citas que se le atribuyen a Einstein, sin ser de su autoría.

En detalle, la aparición de e puede explicarse en forma sencilla si se piensa que el interés que se gana por un préstamo, que se recibe al final del tiempo pactado, puede distribuirse para ir cobrándolo cada cierto tiempo de manera que sobre esos rendimientos se cobren también los intereses. 

Más precisamente, con un ejemplo, podemos llegar al número e de la siguiente manera: supongamos que se invierte una unidad monetaria (UM) con un interés del 100% cada 8 años, es decir que el capital inicial se duplica al cabo de un octenio. Pero si en lugar de esto se divide el interés en dos partes y se pagan esos intereses dos veces en el octenio, cada cuatrienio, la cantidad obtenida en el primer cuatrienio es:

 (1 + 1/2) = 1,5 UM 

y en el octenio ahora el total es de: 

(1 +1/2) · (1 + 1/2)  = 2,25 UM

obteniéndose entonces una suma que supera las 2 UM que se reciben con un solo pago de intereses.

Y si ahora dividimos el octenio en 4 períodos (bienios), al igual que la tasa de interés, se obtienen

 (1 + 1/4) · (1 + 1/4) · (1 + 1/4) · (1 + 1/4) =  2,4414… UM

que aumenta aún más la suma final obtenida con uno o dos pagos de intereses.

Y si lo pacto anual, tenemos que el valor al final del octenio es:

(1 + 1/8)⁸ ≈ 2,57 UM

Se observa cómo, a medida que se aumenta la cantidad de períodos de pago, reduciendo proporcionalmente la tasa de interés en el período, aumenta también el total de unidades monetarias que se reciben al final del octenio. Entonces surge la pregunta, ¿crecerá indefinidamente, al infinito? Para obtener esa respuesta hay que imaginar n períodos de capitalización y calcular: 

que es el tope al que podrían crecer las UM. Y ese límite es justamente igual a

2,7182818285… = e.

Bernoulli utilizó el teorema del binomio para aproximar esta constante y esa fue la primera aproximación de e de la historia; sin embargo Bernoulli no relacionó ese número con los logaritmos y no investigó más esta constante, pero lo cierto es que ese trabajo de Bernoulli es el que permite afirmar que una inversión de un capital C a una tasa de interés anual R, con interés compuesto, proporcionará entonces Ce^R unidades monetarias al cabo del primer año y Ce^RN al cabo de N años. 

Y podemos volver a preguntarnos cuál es ahora el tiempo necesario para duplicar la inversión. La respuesta se logra igualando

es el tiempo requerido para duplicar la inversión. Si por ejemplo fuese R = 10% anual, entonces eso ocurre en 

N = 6,93147

por lo tanto en 7 años se habrá duplicado la inversión con un interés compuesto del 10% anual.

Pero volviendo al origen de e, la razón por la que se llama número de Euler a e se debe a que Leonard Euler usó esa notación para representar esa constante irracional. Sin embargo, no puede asegurarse que sea por tratarse de la primera letra de su nombre o por ser la primera letra de la palabra francesa “exponentiel”.

Sin embargo, cualquiera haya sido la razón, Euler sí utilizaba la letra e para representar la base del sistema de logaritmos naturales, que aun cuando existían desde un siglo antes, no había sido introducida una notación aceptable. El registro más importante del nombre e aparece en una carta que Euler dirige al matemático alemán Chistian Goldbach en 1731 en la que usa la letra e para referirse a “el número cuyo logaritmo hiperbólico es igual a 1”. Este símbolo fue admitido universalmente desde entonces.

Pero lo más relevante y el indudable merecimiento para que se llame constante o Número de Euler a e radica en los numerosos descubrimientos que hizo Euler sobre las propiedades de e en los años siguientes. En particular demostró que e es un número irracional y que puede escribirse como:

y en 1748, apoyado en el trabajo de Bernoulli sobre interés compuesto, dio a conocer una aproximación extraordinaria para la época, con 18 decimales

e = 2,718281828459045235.

Euler dedujo su conocida identidad, de la que se afirma que es la más bella ecuación matemática:

Como se observa, hay muchas razones para que esta constante lleve asociado el nombre de Euler, como si se tratase de su primera cifra decimal.

En 1873 Charles Hermite demostró que e es un número trascendente, es decir que no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros no todos nulos. Este es un resultado importante en la historia de las matemáticas, si se tiene en cuenta que la demostración de la trascendencia del número π tardó más tiempo en lograrse, hasta 1882, cuando lo demostró el matemático alemán Ferdinand von Lindemann.

Espero haber contribuido al reconocimiento del número de Euler e, como uno de los grandes números que vale la pena aprender.

@MantillaIgnacio

Pero la obra de Euler no solo es abundante, también es profunda, propia de un genio que generosamente y sin descanso mostró su talento en cada nuevo proyecto, que resolvió problemas que se creía que eran insolubles, desarrollando una espléndida carrera y gozando de una extraordinaria reputación. 

Aun cuando Euler perdió la visión de uno de sus ojos antes de cumplir 30 años de edad y sus últimos 15 años de vida estuvo completamente ciego, sus discípulos e hijos ayudaron para que no nos privásemos de sus aportes en esos últimos años; ellos escribían exactamente lo que les dictaba Euler y su facilidad para los números y especialmente su capacidad de realizar mentalmente cálculos con grandes números fue aún más notable.

Uno de los problemas que resolvió Euler, y que sirve de ejemplo para reconocer su talento, es el conocido bajo el nombre de “Problema de Basilea”, que consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números enteros positivos, es decir, calcular:

Este problema había sido planteado por primera vez en 1644, en la obra “Novae Quadraturae Arithmeticae” de Pietro Mengoli, y antes de Euler fue muy popular porque grandes matemáticos como Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli, Daniel Bernoulli, Gottfried Leibniz, James Stirling, Abraham de Moivre, John Wallis, entre otros, intentaron sin éxito dar con su solución; lo que había convertido el problema en un famoso reto matemático. 

En 1735, con 28 años de edad, Leonard Euler encontró la solución del problema y el 5 de diciembre del mismo año, la presentó en la Academia de San Petersburgo. El problema acabó teniendo nombre propio: “Problema de Basilea” porque era esta ciudad suiza de residencia tanto de los Bernoulli como de Euler.

La solución dada por Euler se basa en una idea sumamente ingeniosa. Considera la función seno que toma infinitas veces el mismo valor, como si fuese un polinomio, imaginando entonces un supuesto “polinomio infinito” con infinitas raíces. Euler conocía el desarrollo de la función seno en serie de Taylor, que es de donde parte: 

Puesto que la función seno se anula en los múltiplos de π, se expresa esta suma como: 

Como para cada n se tiene que

puede entonces escribirse esta expresión, como si se tratase de un polinomio, en la forma

Euler dividió luego esta expresión por x obteniendo: 

que como se sabe, no se anula en cero (en efecto, el límite cuando x tiende a cero vale 1, o sea que C = 1), pero que para todos los demás valores, tiene exactamente las mismas raíces de la función seno, o sea los múltiplos de π. 

Euler pudo entonces expresar la suma como producto infinito, al igual que se hace con los polinomios, pero en este punto Euler recibió bastantes críticas a su metodología expuesta, resaltándole la falta de rigor, ya que el tratamiento de un producto infinito como si fuese un polinomio no era aceptable. Johann Bernoulli presentó como contraejemplo la función 

que tiene las mismas raíces y sin embargo la expresión como producto infinito es diferente. No obstante, la intuición que dominaba a Euler, no le hizo desistir de su metodología, y aunque hubiese cosas pendientes por demostrar, sabía que el resultado que iba obteniendo con valores aproximados le conducían a la solución correcta.

Euler disponía de estas dos expresiones diferentes para la misma función,

entonces igualó los coeficientes de los términos del mismo grado como si se tratase de comparar dos polinomios, pero quedándose solamente con el coeficiente de x², pues los demás no los necesitaba. Al deshacer los paréntesis en la expresión e igualar, la comparación del coeficiente de x² en la izquierda de la igualdad con los coeficientes resultantes de x², a la derecha, lleva a la siguiente igualdad:

La euforia que podemos imaginar que sintió Euler al ver que el problema estaba prácticamente resuelto debió ser monumental, pues con esto:

y por lo tanto la solución al problema de Basilea es:   

¡EUREKA!

En esta solución, como lo hemos dicho, Euler utiliza resultados no demostrados, que posteriormente justificaría formalmente. Después de Euler vendrían otras demostraciones, pero ya con la certeza de conocer el valor encontrado por Euler al cual converge esa serie y que sorprendentemente incluye al número π.

Este bello problema y el procedimiento usado por Euler muestra no solo su genialidad para encontrar caminos inimaginables para resolver problemas, sino la importancia de tener fe en la intuición que nos guía muchas veces hasta la terquedad, cuando abordamos problemas o realizamos cálculos, esa intuición que no debe permitirnos desviar nuestra atención ante posibles generalizaciones aparentemente indebidas que pueden justificarse después.

@MantillaIgnacio

Sería imposible ponernos de acuerdo sobre quién es el escritor favorito o la escritora más admirada o sobre cuál es el mejor libro que hemos leído. También ocurre lo mismo si intentamos lograr un consenso sobre quién es el mejor cantante o el mejor compositor de música clásica. Igualmente difícil es poner de acuerdo a los matemáticos sobre cuál es el matemático o la matemática más importante de la historia; pero sin duda, si se hiciera una encuesta, en los primeros cinco lugares de la lista de nuestros matemáticos favoritos, figurará Leonhard Euler, el suizo nacido en la ciudad de Bassel (Basilea) en el año 1707.

Euler trabajó la mayor parte de su vida en dos ciudades: San Petesburgo y Berlín. Perdió la visión en un ojo cuando realizaba estudios sobre cartografía y posteriormente, durante sus últimos siete años de vida, estuvo completamente ciego. Euler ha sido el matemático más prolífico de la historia; durante los 25 años de su permanencia en Berlín, la tercera parte de su vida, publicó alrededor de 380 artículos. El ritmo vertiginoso, nunca más visto, al que Euler produjo matemáticas del más alto nivel, no dio tiempo para dar a conocer todos sus trabajos hasta décadas después de su fallecimiento; en efecto, tras su muerte a la edad de 76 años en 1783, las Academias de Berlín y de San Petesburgo siguieron publicando trabajos inéditos de Euler durante los siguientes 50 años. 

Si me dedicara solamente a mencionar algún aporte de Euler a las matemáticas en una columna cada semana, tendría material suficiente para más de 20 años.

Pero si resulta difícil, como decía al comienzo, ponernos de acuerdo sobre un autor, un libro o una composición, en el caso de las matemáticas hay consenso en que la ecuación más bella es la identidad de Euler, que resulta ser una expresión que recoge, como si se tratase de agrupar a grandes estrellas, a cinco números sobre los que también hay consenso, que son de la mayor importancia para las matemáticas, cinco protagonistas insustituibles de las matemáticas, pero que aparentemente no guardan una relación especial. Estos cinco son: primero, el módulo para la suma, la súper estrella: el cero. El segundo es el módulo para el producto, pieza clave de la aritmética, el número 1. Dos famosos irracionales y trascendentes, ambos con sus infinitas cifras decimales: el número π que todos conocemos y que es fundamental en la geometría y el número de Euler e, esencial en el cálculo y el análisis matemático. Y completa este quinteto maravilloso el número imaginario i, definido como la raíz cuadrada de -1, sin el cual no podríamos tener el conjunto de los números complejos, una celebridad del álgebra y de la ingeniería.

Antes de escribir la ecuación más bella que les estoy anunciando, hay que dar un breve contexto que permita admirarla y maravillarse: Euler logró encontrar una fórmula básica para escribir las potencias complejas, relacionando la función exponencial con las funciones trigonométricas conocidas, de tal manera que cualquier número con exponente complejo pudiese escribirse de manera simple como otro complejo. Esto lo logró Euler con una fórmula que permite expresar siempre la parte imaginaria de la función exponencial así:

Como x es real y no complejo, entonces el exponente complejo queda expresado en la forma conocida de un número complejo z = a+ib, pero siendo a = cosx y b = senx.

Y ahora la identidad de Euler: obsérvese que si x = π, como desde el colegio sabemos, gracias a la trigonometría, que cos(π) = -1 y sen(π) = 0, entonces la fórmula (*) se convierte en:

o lo que es lo mismo:

y esta es la famosa identidad de Euler; la más bella ecuación de las matemáticas que reúne esas cinco estrellas que les mencioné antes y las presenta como un solo objeto fantástico y simple a la vez. 

@MantillaIgnacio