A Franklin se le atribuye la frase «Las tres cosas más difíciles de esta vida son guardar un secreto, perdonar un agravio y aprovechar el tiempo». Esto último parece haberlo tomado muy en serio: entre sus aficiones estaba entretener a sus amigos con pasatiempos de su propia invención. Uno de los más conocidos, los cuadrados mágicos, guarda cierto parecido con el sudoku, pues exige acomodar números siguiendo reglas precisas.

Ese gusto por los números era algo más que un pasatiempo. Franklin sentía una especial inclinación por las matemáticas y se desenvolvía en ellas con destreza. Prueba de ello es una de sus creaciones menos divulgadas, que hoy quiero compartir con ustedes: un cuadrado mágico de construcción sorprendente.

El Cuadrado Mágico de Benjamin Franklin tiene 8 filas y 8 columnas, como un tablero de ajedrez, y en cada una de las 64 casillas se ubica un número natural entre 1 y 64, sin repetición; es decir que en el tablero están todos los números del 1 al 64, pero están colocados de forma tal que cumplen las siguientes condiciones:

1. Los números de cada fila suman 260
2. Los números de cada columna suman 260
3. En cualquier subcuadrado de orden 2×2 que se elija, la suma de los números que ocupan las 4 casillas del subcuadrado es igual a 130 (la mitad de la suma de las filas y columnas)
4. En cualquier subcuadrado de orden 4×4 que se elija, la suma de los números que ocupan las 16 casillas del subcuadrado es igual a 520 (el doble de la suma de las filas y columnas).

En la siguiente figura se puede apreciar el cuadrado que construyó Franklin y comprobar las reglas enunciadas, teniendo en cuenta que la tarea puede ser dispendiosa, pues en total son 49 subcuadrados de orden 2×2 que cumplen la regla 3, así como 25 subcuadrados de orden 4×4 que satisfacen la regla 4.

(Fuente:  Marco Vinicio Vásquez Bernal, Revista de investigación “Pensamiento Matemático”,  Volumen IV, Número 2, 2014) 

Lo curioso es que las diagonales principales no suman 260, sino 228 (= 260 – 32) y 292 (= 260 + 32), cuya suma sí es 520.

Y eso no es todo: el cuadrado guarda otras propiedades asombrosas. Por ejemplo, los cuatro números de las esquinas, sumados con los cuatro del centro, dan también 260, igual que cada fila y cada columna: 52 + 45 + 16 + 17 + 54 + 43 + 10 + 23 = 260. Puede comprobarlo en la siguiente imagen, tomada de arescronida.wordpress.com.

Obsérvese también que las esquinas por un lado y el centro por otro suman 130 cada grupo.

Más sorprendente aún: la propiedad anterior se cumple en cada uno de los subcuadrados de 4×4 que pueden trazarse en el tablero. En cualquiera de ellos, las cuatro casillas de las esquinas, junto con las cuatro del centro, suman 260. La siguiente imagen, tomada de arescronida.wordpress.com, destaca con colores algunos ejemplos, y en cada uno la suma de las casillas del mismo color da 260, igual que en las filas y columnas.

Esta propiedad se cumple en los 25 subcuadrados de 4×4.

Hay todavía otra regularidad, que se aprecia mejor con lápiz en mano. Tomemos cuatro casillas que descienden en diagonal desde la esquina superior izquierda y, a continuación, las cuatro que ascienden hasta la esquina superior derecha: las ocho casillas dibujan una «V». Sus números son 52, 3, 5, 54, 43, 28, 30 y 45, y suman 260. Lo mismo sucede con la «V» invertida que parte de la esquina inferior izquierda: 16 + 63 + 57 + 10 + 23 + 40 + 34 + 17 = 260. Curiosamente, las dos diagonales principales, las rectas, no cumplen esta regla: suman 228 y 292. En cambio, estas diagonales quebradas sí, y lo hacen en todas las posiciones en que pueden trazarse.

Franklin nunca reveló cómo construyó este cuadrado. Sin embargo, sus propiedades despertaron la curiosidad de los matemáticos, que se preguntaron cómo lograr piezas así. Hoy se sabe que pueden construirse cuadrados de orden n con las propiedades del de Franklin siempre que n sea múltiplo de 8, y que al crecer el tamaño aparecen propiedades nuevas y sorprendentes.

Inventar pasatiempos, acertijos y entretenimientos numéricos es un arte exigente, pero también apasionante y divertido. Lograr que cualquier persona, sin formación especial, se interese en ellos es aún más difícil. Muchos se limitan a repetir una misma tarea cambiando las cantidades, sin aportar una idea nueva. Plantear un reto verdaderamente original, como la construcción de este cuadrado, merece admiración.

Benjamin Franklin brilló como político, científico e inventor, pero su ingenio con los números muestra que también habría podido destacar como matemático. Sus cuadrados mágicos, hechos para entretener a sus amigos, lo confirman. Quizá sea esa la mejor manera de aprovechar el tiempo, una de las tres cosas que, según se le atribuye, más cuestan en esta vida: convertirlo en un rato de ingenio compartido.

@MantillaIgnacio