Contar bien es esencial. Y, aunque muchos lo consideran una tarea simple, en realidad el acto de contar encierra más sutilezas de las que parece. En realidad, existen numerosos problemas que requieren reflexión antes de responder apresuradamente. Un ejemplo clásico es el siguiente: si en una reunión diez personas se saludan estrechándose la mano, ¿cuántos apretones se realizan en total?

En este caso, para llegar a la respuesta correcta conviene razonar paso a paso. La primera persona estrecha la mano con las otras nueve; la segunda lo hace con ocho, pues el saludo con la primera ya fue contado; la tercera con siete, dado que los dos anteriores ya se registraron; y así sucesivamente: seis para la cuarta, cinco para la quinta, cuatro para la sexta, tres para la séptima, dos para la octava y uno para la novena. Los saludos de la décima persona ya quedaron incluidos en los anteriores.

En total:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

Por tanto, se realizan 45 apretones de mano.

Después de esta breve introducción, pasemos al tema del Mundial de Fútbol 2026, que está a punto de comenzar. El propósito ahora es determinar cuántos partidos se disputarán en el torneo. Antes de hacerlo, conviene recordar que en el último Mundial, celebrado en Catar en 2022, participaron 32 equipos; en cambio, esta vez serán 48 selecciones las que competirán.

En el Mundial pasado se conformaron 8 grupos de 4 equipos cada uno.

Cada grupo disputó un torneo de todos contra todos, y avanzaron a la siguiente ronda 16 equipos, es decir, los dos mejores de cada grupo. Estos equipos se organizaron en 8 parejas y, a partir de allí, el campeonato continuó bajo el formato de eliminación directa: el equipo que perdía quedaba eliminado.

En la ronda inicial, cada grupo de cuatro equipos disputó un torneo de todos contra todos. Siguiendo el razonamiento del ejemplo de los saludos, esto equivale a

3 + 2 + 1 = 6

partidos por grupo. En consecuencia, en la fase de grupos se jugaron:

6 x 8 = 48

partidos.

Posteriormente, para que quedara un único campeón, fue necesario eliminar a 15 de los 16 equipos clasificados, lo que implicó 15 partidos de eliminación directa. El desglose es el siguiente:

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, la fase de eliminación directa sumó:

8 + 4 + 2 + 1 = 15

partidos.

Además, suele disputarse el partido por el tercer puesto: 1 partido.

De este modo, el Mundial de Catar 2022 registró:

48 + 15 + 1 = 64

partidos disputados.

Se observa que $64 = 2^6$; es decir, en un torneo con $2^5 = 32$ equipos se disputan $2^{5+1}$ partidos. Surge entonces la pregunta de si puede generalizarse la fórmula 

$2^{n+1}$

para un torneo con $2^n$ equipos. 

Veamos: 

Si fuesen $2^n$ equipos, entonces se formarían $2^{\,n-2}$ grupos de 4, cada uno con 6 partidos. El total de la fase inicial sería:

$2^{\,n-2} \cdot 6 = 3 \cdot 2^{\,n-1}.$

En la fase de eliminación directa, de los $2^n$ equipos iniciales debe surgir un campeón. Como ya se ha eliminado a la mitad de ellos, esto implica disputar el siguiente número de partidos:

$\frac{2^n}{2} – 1 = 2^{\,n-1} – 1$.

Por lo tanto, el número total de partidos sería:

$3 \cdot 2^{\,n-1} + (2^{\,n-1} – 1) = 4 \cdot 2^{\,n-1} – 1 = 2^{\,n+1} – 1.$

Si además se incluye el partido por el tercer lugar, el total asciende a:

$2^{\,n+1}$

partidos. Por lo tanto, en los torneos con $2^n$ equipos se disputan en total $2^{\,n+1}$ partidos.

Pero el Campeonato Mundial de 2026, que se disputará en México, Estados Unidos y Canadá, contará con 48 equipos, un número que no responde a la forma $2^n$, lo que modifica la fórmula anterior. En efecto, el Consejo de la FIFA aprobó un formato consistente en una fase inicial de 12 grupos de cuatro equipos, de los cuales clasificarán el primero y el segundo de cada grupo. A ellos se sumarán los ocho mejores terceros para completar la etapa de dieciseisavos de final (ronda de 32 equipos). De este modo, el equipo que se consagre campeón deberá disputar ocho partidos, en lugar de siete como ocurría en las últimas ediciones.

Veamos cuántos partidos se disputarán en total.

En la fase inicial, cada grupo de cuatro equipos jugará un torneo de todos contra todos. Siguiendo el mismo razonamiento, se disputarán 6 partidos por grupo, lo que da un total de:

6 x 12 = 72

partidos en la primera fase.

En la etapa posterior a la fase de grupos, clasificarán 32 equipos: los dos primeros de cada grupo más los ocho mejores terceros. Con ellos se inicia la fase de eliminación directa —la llamada ronda de 32—, que en conjunto comprende 32 partidos, incluyendo el encuentro por el tercer puesto. El desglose es el siguiente:

Dieciseisavos de final (32 equipos): 16 partidos

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, esta fase suma 31 partidos, que al añadir el partido por el tercer lugar ascienden a 32.

El resultado global es entonces:

Fase de grupos: 72 partidos

Eliminación directa y tercer puesto: 32 partidos

Total: 72 + 32 = 104 partidos

De este modo, el Mundial 2026 será el primero en la historia con más de 100 partidos disputados.

Si observamos que $48 = 32 + 16 = 2^5 + 2^4$, podemos deducir una fórmula general para un torneo con

$2^n + 2^{\,n-1}$

equipos.

Siguiendo el mismo razonamiento que antes, el número total de partidos se obtiene de la suma de dos componentes:

Fase de grupos: cada grupo está formado por 4 equipos, y en un torneo de todos contra todos se disputan 6 partidos, como ya hemos visto. El número de grupos es:

$\frac{2^n + 2^{n-1}}{4} = \frac{2^n + 2^{n-1}}{2^2} = 2^{-2}(2^n + 2^{n-1}) = 2^{n-2} + 2^{n-3} = (2 + 1) \cdot 2^{n-3} = 3 \cdot 2^{n-3}$.

Por lo tanto, el total de partidos en la fase de grupos es:

$6 \cdot \left(3 \cdot 2^{\,n-3}\right) = 18 \cdot 2^{\,n-3} = 9 \cdot 2^{\,n-2}$.

Eliminación directa más partido por el tercer puesto: en esta fase participan $2^n$ equipos que corresponden a los dos mejores de cada grupo, o sea $3 \cdot 2^{\,n-2}$ y los $2^{n-2}$ mejores terceros. Con este número de equipos, la fase de eliminación directa requiere $2^n – 1$ partidos para determinar al campeón; al añadir el encuentro por el tercer puesto, el total asciende exactamente a $2^n$ partidos.

En consecuencia, el total de partidos es:

$9 \cdot 2^{\,n-2} + 2^n = 2^{\,n-2}(9 + 4) = 13 \cdot 2^{\,n-2}.$

Para el Campeonato Mundial de 2026, con $n=5$, se comprueba que el total de partidos asciende a 104.

Como puede advertirse, las matemáticas están presentes en todos los ámbitos; también se harán visibles en múltiples aspectos relacionados con el fútbol y con el torneo mundial que comenzará el próximo 11 de junio. Y si decides participar en una polla, antes de apostar recurre a la probabilidad y a la estadística como tus mejores consejeras.

@MantillaIgnacio

Hoy quiero compartir con los lectores unos conceptos matemáticos, que aun cuando son bastante simples, poco se conocen.   

Factorial

Empecemos por recordar que el factorial de un número natural n se define como:

n! := n · (n – 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

es decir, es el producto de ese número por todos los naturales que le preceden hasta 1. El factorial del número 0 se define como 

0! := 1.

El concepto de factorial es bastante útil; por ejemplo el número de permutaciones de n elementos, es decir el número de formas en las que pueden ordenarse n elementos es exactamente n! Por esta razón ayuda para expresar ciertas fórmulas en problemas de conteo: ¿de cuántas formas podemos elegir k elementos de un conjunto de n elementos? La respuesta es:

Así por ejemplo, si queremos saber de cuántas formas diferentes podemos conformar un comité de 3 personas, seleccionadas de un grupo de 10 personas, la respuesta es:

es decir que podemos conformar 120 comités diferentes, compuestos de 3 personas, elegidas del grupo de 10.

Doble factorial

Menos conocido que el factorial es el concepto de doble factorial, que para un número natural n se denota por medio de n!!, que no debe confundirse con (n!)! y que a diferencia del factorial n!, en lugar de multiplicar todos los números menores o iguales que n, hasta 1, se multiplican solo los naturales menores o iguales que tienen la misma paridad de n; es decir:

Así por ejemplo:

8!! = 8 x 6 x 4 x 2 = 384

7!! = 7 x 5 x 3 x 1 = 105

Por definición también se tiene que:

0!! := 1

La notación de doble factorial se empezó a usar también con el fin de simplificar la expresión de algunas fórmulas como por ejemplo el valor de la integral:

 Y hay también una serie de propiedades cuyas demostraciones proporcionan excelentes ejercicios matemáticos, así por ejemplo:

son bonitos retos para los lectores.

Causa una curiosidad especial comprobar que el doble factorial de dos números enteros consecutivos, digamos 2n-1 y 2n, guarda una relación que involucra al número π, se trata de una aproximación que a medida que n crece es más precisa:

Subfactorial

Si bien n! nos indica, como se dijo antes, el número de permutaciones de n elementos, entre las formas de ordenar n elementos algunas mantienen esos elementos en la misma posición y otras no lo hacen. Por ejemplo, los posibles arreglos del conjunto {1, 2, 3} son: 

mantienen al menos uno de los elementos (escrito en rojo) en la posición original que ocupan en el conjunto {1, 2, 3}, mientras que en los arreglos

{2, 3, 1} y {3, 1, 2}

ningún elemento conserva la posición inicial.

Justamente el subfactorial de n cuenta todas las posibles ordenaciones de n elementos en las que ninguno de los elementos ocupa su posición inicial. Del ejemplo anterior podemos entonces decir que el subfactorial de 3 es igual a 2, ya que hay dos arreglos que satisfacen esta condición. 

El subfactorial de n se denota por medio de !n y también, a mi juicio mejor, como n¡, más usado entre quienes escribimos en español y que evita que el símbolo ! se interprete como el factorial del término que lo precede. Convenido esto, el ejemplo dado indica que:

3¡ = 2

Como en los casos del factorial y el doble factorial, se define

0¡ = 1

Pero, ¿cómo se define en general el subfactorial? 

La fórmula que define el subfactorial de un entero n es la siguiente:

En el ejemplo que se presentó antes, si usamos la fórmula, tenemos que

3¡ = 3! [ 1 + (-1) + 1/2! -1/3! ] = 6 [ 1/2 – 1/6] = 6 [ 2/6 ] = 2.

También puede usarse la fórmula recurrente:

n¡ = n · (n-1)¡ + (-1)ⁿ  para n ≥ 1.

Algunos valores del subfactorial son:

¿Qué uso real tiene el subfactorial? Puede ser una herramienta útil para contar combinaciones o arreglos donde no se permite que algún elemento se encuentre en su posición original. Veamos unos ejemplos:

1. En el conocido juego del amigo secreto con el que se busca repartir regalos entre los miembros de un grupo, se exige que cada uno ofrezca un regalo a alguien del grupo pero con la condición de que nadie reciba su propio regalo; entonces el subfactorial n¡ cuenta el número de formas en que pueden repartirse los regalos dentro de un grupo de n personas.
   
   
2. Este es un bonito problema para usar el subfactorial: hay 5 estudiantes, residentes de medicina, que tienen que hacer turnos nocturnos juntos en un hospital y al terminar esa jornada nocturna, siempre se reúnen a desayunar en la cafetería del hospital, en la que deben formar una fila para hacer el pedido y pagar. Un buen día el director del hospital, al verlos en la fila, les ofrece pagarles el desayuno diario, siempre y cuando todos los días siguientes se organicen en la fila de una forma diferente sin que ninguno de ellos esté en la misma posición que está ocupando ahora. El director se imaginó que debería invitarles a desayunar una semana, pero ¡oh sorpresa! Uno de los estudiantes, que había estudiado 4 semestres de matemáticas, le dice: “gracias director, me ahorraré el valor del desayuno durante mes y medio”. ¿Por qué? ¿Cuántos días deberá el director del hospital pagar el desayuno de los 5 residentes?
   
   Respuesta para el incrédulo director: 5¡ = 44.
   
   
3. Otro problema bastante conocido es el siguiente: al asistir a la ópera, 10 caballeros que llevaban sombrero lo dejan en el perchero al ingresar al teatro. Al salir, después de la función, cada uno toma un sombrero al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los caballeros recoja el sombrero con el que ingresó?
   
   Respuesta: (10¡) / (10!) = 1.334.961 / 3.628.800 = 0,368; es decir 36,8%

Estos conceptos de factorial, doble factorial y subfactorial, como puede observarse, son de una gran riqueza, utilidad e interés para resolver los problemas de conteo y para el cálculo de probabilidades.

@MantillaIgnacio

Es importante saber que en ocasiones tiene mayor valor el método descubierto para contar, que el resultado mismo de un conteo; las técnicas y estrategias empleadas son comúnmente fuente de investigación estadística que conduce a fórmulas que posteriormente se aplican universalmente.

Algunos problemas frecuentes de conteo se centran en determinar de cuántas formas se pueden combinar los elementos de conjuntos dados. Así por ejemplo resulta importante saber cuántas placas para los carros pueden asignarse en Colombia, combinando tres letras y tres dígitos como se hace actualmente, o de cuántas formas diferentes un cliente puede ordenar una comida en un restaurante que ofrece 5 entradas, 7 platos principales y 3 postres o de cuántas distintas maneras pueden acomodarse 9 personas en una mesa circular.

Más sencillo es dar respuesta a otras preguntas, también frecuentes, tales como ¿de qué manera puedo calcular cuánto cabello tiene una persona en su cabeza? Una respuesta ampliamente aceptada es que basta conocer la densidad de cabello por centímetro cuadrado de cuero cabelludo. Pero este tipo de preguntas puede conducir a algunas afirmaciones más interesantes, desde el punto de vista matemático, y fácilmente demostrables tales como: “Hay al menos dos personas en Colombia que tienen exactamente el mismo número de pelos en su cabeza”. En efecto, si se ha estimado que una persona puede tener como máximo 300.000 pelos en la cabeza y la población colombiana supera los 50.000.000, es trivial, por el “principio del palomar”, probar que dos personas, como mínimo, tienen el mismo número de pelos en su cabeza.

Para el conteo de personas presentes en aglomeraciones, marchas, concentraciones, muchedumbres o manifestaciones, la técnica es en esencia la misma de la densidad de cabello, sin embargo no hay fórmulas únicas: cuando se trata de espectáculos, eventos deportivos o culturales, el numero de asistentes puede calcularse a través de la boletería vendida o mediante la ocupación y capacidad de las graderías. Así por ejemplo, el coliseo romano, construido entre los años 70 d. C. y 80 d. C. que tiene como base una elipse de 524 metros de perímetro y tenía una altura de 48 metros, disponía de las graderías que servían de asiento para los espectadores ofreciendo un aforo original de 50.000 personas.

Las marchas o concentraciones son más difíciles de estimar, y especialmente cuando tienen un tinte político se dan a conocer al público unos números que generan muchas dudas, pues es frecuente que los opositores reduzcan intencionalmente las cifras y también que los simpatizantes las exageren, pues como bien lo conocemos de la sabiduría popular: “el ojo del amo engorda el ganado”. 

Estamos acostumbrados a recibir información como: “150.000 personas se concentraron en Londres para asistir al funeral de la reina”, “15.000 estudiantes protestan en París contra las reformas académicas”, “un millón de personas salieron a la calle en Buenos Aires para recibir a su selección de fútbol”. ¿Pero cómo se estiman esas cifras y qué tan confiables son? El público se deja influenciar por sus creencias y sus deseos para aceptar la verdad. Si una multitud apoya una buena causa se acepta la exageración, mientras que la subestimación se condena como intencional y con fines políticos.

En el caso de multitudes móviles, el análisis de imágenes fotográficas puede llevar a una estimación más precisa, este es un método que mejora cada día, pero que tiene en contra las leyes que prohíben las fotografías no autorizadas de las personas. Como es obvio, mediante este método algunas personas podrían ser identificadas como manifestantes, contra su voluntad.

Informar sobre el tamaño de una multitud es un desafío y un deber que los periodistas enfrentan continuamente, y si se busca la estimación precisa de la multitud hay que acudir a una fórmula simple y natural: 

superficie x densidad.

Conociendo el área del espacio, es decir su tamaño en metros cuadrados, lo siguiente es aproximar la ocupación, determinando qué proporción del espacio está ocupado, ¿es el 100 por ciento, el 60 o el 75 por ciento? A continuación se puede usar la llamada fórmula de Jacobs, un profesor de periodismo de la Universidad de California, Berkeley, quien creó una tabla básica de densidad, así: 

1. En una “multitud fluida” hay una persona por cada 0,93 metros cuadrados.
2. En una “multitud densa” hay una persona por cada 0,42 metros cuadrados.
3. En una “multitud muy densa” hay una persona por cada 0,23 metros cuadrados.

Aun cuando las definiciones de la fórmula de Jacobs pueden parecer un tanto caprichosas, fueron obtenidas mediante observaciones para ese fin y orientan sobre la forma de clasificar una multitud. También nos permite calcular la ocupación máxima que puede tener un espacio destinado para las manifestaciones de multitudes.

Con estas consideraciones, veamos el ejemplo de la Plaza de Bolívar de Bogotá, lugar de frecuentes concentraciones, y estimemos su verdadera capacidad, en el caso de albergar una “multitud muy densa”.

El área total de la plaza, incluyendo las áreas de las calles que la limitan, o sea de las carreras 8 y 7, así como las escaleras de la catedral, fue estimada en 13.903 metros cuadrados, de acuerdo con un estudio publicado por la Universidad de Los Andes en el año 2014 y eso no ha cambiado. Si se trata, como hemos supuesto, de una “multitud muy densa” que ocupa por completo esa área, habrá entonces 10 personas por cada 2,3 metros cuadrados, lo que arroja un total de:

T = (10)(13.903)/(2,3) = 60.447,8

Por lo tanto su capacidad máxima no puede superar las 60.448 personas y cuando la Plaza de Bolívar esté colmada “muy densamente”, incluyendo todas las áreas antes mencionadas, lo correcto será anunciar una cifra redonda, y afirmar entonces que hay 60.000 personas. 

Naturalmente el conteo en el caso de las multitudes puede tener algún margen de error, pero no es en modo alguno aceptable que se nos den cifras que difieran hasta en un 50% como ocurre cada vez que se presentan marchas y concentraciones y nos informan por diferentes medios cuántas personas participaron.

@MantillaIgnacio