Números afortunados: un número afortunado es un número entero $Q_n$, que resulta de la expresión 

$q-P_n = Q_n$

donde $P_n$ es el producto de los primeros $n$ números primos y $q$ es el número primo más pequeño que es mayor que $P_n+1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el menor primo $q$ mayor que $7 = (6+1)$ es $q=11$, entonces

$q-P_2 = Q_2 =11-6=5$,

por lo tanto $5$ es un número afortunado.

Si $n = 8$ tenemos que los primeros $8$ números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19$ cuyo producto es $9.699.690$. El menor primo inmediatamente mayor que $9.699.691$ es $q= 9.699.713$. Por lo tanto

$Q_8=q-P_8=9.699.713-9.699.690=23$

es un número afortunado.

Los números afortunados $Q_n$ pueden ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $Q_{10} ,Q_{12},Q_{17}$ son iguales al número $61$.

Los primeros números afortunados, omitiendo los repetidos para diferentes valores de $n$ son:

$3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, ….$

La autoría del nombre número afortunado es atribuida al antropólogo neozelandés Reo Franklin Fortune (1903-1979), quien ademas conjeturó que todos los números afortunados son primos. Y no sabría si el nombre que dio a estos números tiene qué ver directamente con su apellido.

Números de la suerte: No hay que confundir los números afortunados con los Números de la Suerte que se consiguen mediante una criba, como la conocida Criba de Eratóstenes, ingenioso algoritmo que es eficiente para encontrar los primeros números primos.

En el caso de los números de la suerte la criba consiste en ir tachando inicialmente todos los números que aparecen en las posiciones pares, así nos quedan los impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…$ Como el segundo número que ha quedado es el 3, tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3 y nos quedan ahora los números: $1, 3, 7, 9, 13,…$ Como el siguiente número que quedó es el 7, eliminamos ahora, como antes, todos los que aparecen en las posiciones que son múltiplo de 7 y continuamos en esta forma, así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números de la suerte.

Los primeros números de la suerte son:

$1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127,…$

Números recostados: ahora bien, a partir de los números afortunados podríamos definir otro conjunto similar, que al beneficiarse de la existencia de estos, yo llamaría números recostados y que pueden definirse en forma parecida a los afortunados: un número recostado es un número entero $B_n$, que resulta de la expresión 

$P_n-r = B_n$

donde $P_n$  es, como arriba, el producto de los primeros $n$ números primos y $r$ lo definimos como el número primo más grande que es menor que $P_n-1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el mayor primo $r$ menor que $5 = (6-1)$ es $r=3$, entonces

$P_2 -r= B_2 =6-3=3$

por lo tanto $3$ es un número recostado.

Si $n = 6$ tenemos que los primeros 6 números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13$ cuyo producto es $30.030$. El mayor primo inmediatamente menor que $30.029$ es $r= 30.019$. Por lo tanto

$B_6=P_6-r=30.030-30.019=11$

es un número recostado. Obsérvese que $11$ no es un número afortunado.

Los números recostados $B_n$ también podrían ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $B_6= B_4 =11.$

Los primeros números recostados serían

$3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, …$

y también creo que se puede conjeturar que son todos primos.

Como se observa, en torno a estos nuevos conjuntos podemos proponer una diversidad de conjeturas que ofrecen retos que no son sencillos de resolver.

@MantillaIgnacio

Hay conjeturas, como la de Goldbach, formulada por el matemático alemán Christian Goldbach en 1742, que establece que «todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos», que aún nadie ha podido demostrar ni refutar.

Uno de los matemáticos más sobresalientes y célebres de nuestro tiempo ha sido el británico John Conway, quien falleció en 2020, a causa del Covid, en Princeton donde fue profesor durante sus últimos años de vida. 

El legado de Conway en varias ramas de las matemáticas lo constituyen contribuciones complejas, difíciles de transmitir, pero Conway también incursionó en la matemática recreativa y nos dejó algunos acertijos y juegos fáciles de entender, así como problemas abiertos y conjeturas.

Un ejemplo de uno de esos retos es la conjetura conocida bajo el nombre de «la escalada hasta un primo», que consiste en escoger un número entero positivo cualquiera que sea mayor que 1 y seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer el número elegido en sus factores primos. Esto es posible siempre, gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que «cada número entero mayor que 1 es primo o puede expresarse como un producto único de números primos, salvo por el orden de los factores». Ejemplo, si el número elegido es 40, los primos de su descomposición son 2, 2, 2 y 5, ya que
   
   40 = 2³ · 5.
   
   
2. El segundo paso consiste en tomar esos números primos y sus exponentes, ordenarlos de menor a mayor tal como aparecen en la descomposición y concatenarlos formando un nuevo número. En el ejemplo, el nuevo número es el proveniente de 40 = 2³ · 5. O sea:
   
   235.
   
   
3. A partir de aquí, repetir los dos pasos anteriores con el nuevo número hasta conseguir un número primo. Para el ejemplo:
   
   235 = 5 · 47
   
   y aquí termina la escalada del número 40 hasta un primo porque el nuevo número formado con los factores primos 5, 4 y 7 es el número 547 que es primo.

Con esto podemos ahora formular y comprender mejor la conjetura de Conway conocida como «escalada hasta un primo»: Conway conjeturó que el paso 3 siempre es posible, es decir que cualquier número entero mayor que 1, sometido a este procedimiento, acabaría devolviendo un número primo. Es más, cuando propuso la conjetura llegó a ofrecer 1.000 dólares a quien demostrara su veracidad o falsedad.

Decidir sobre su veracidad o falsedad no es sencillo; hay números que parecen servir de contraejemplos, pero que no lo son; sin embargo su escalada hasta un primo sí constituye una tarea sumamente extensa y tediosa como para creer, al cabo de muchos pasos, que se trata de un contraejemplo; tal es el caso del número 20 por ejemplo, que requiere más de 100 pasos para escalar hasta un primo. Y frente a estos números, después de tantos pasos que hasta se había llegado a creer que se trataba de un contraejemplo y al final no lo era, viene la pregunta: ¿será verdadera la conjetura?

Se le atribuye a un aficionado a las matemáticas, de nombre James Davis, haber demostrado a mediados del año 2017, que la conjetura de Conway «escalada hasta un primo» es falsa. Davis logró encontrar un contraejemplo: el número 

d = 13.532.385.396.179 

que se devuelve a sí mismo al ser descompuesto en números primos, entrando en un bucle sin fin del que no podrá salir un primo. En efecto,

d = 13.532.385.396.179 = 13 · 53² · 3853 · 96179

y obsérvese que el proceso de escalar buscando un primo lo convierte en él mismo, pues el número 2 ocupa el quinto lugar entre sus dígitos y también esa posición como exponente del primo 53 en la descomposición del número, así que d es como un punto fijo que no consigue «escalar» hasta un número primo. 

Naturalmente este no es el único contraejemplo, y teniendo ya uno, a partir de él podemos construir otros. Por ejemplo, si tomamos los 4 dígitos de d, que siguen a los dos primeros (13) tenemos el número 5323 que es primo y si el dígito siguiente (8) lo usamos como exponente, entonces podemos aprovechar que el número que forman los últimos dígitos que quedan (5396179) también es primo, para escribir el número:

D = 13 · 5323⁸ · 5396179 = 45.214.884.853.168.941.713.016.664.887.087.462.487 

que al ser descompuesto en sus factores primos es el mismo número inicial anterior d, por lo tanto D es otro contraejemplo, un número que no puede escalar hasta un primo.

Generalmente el reto de demostrar la veracidad o la falsedad de una conjetura es grande. No siempre es fácil dar con un contraejemplo o con una demostración; ni siquiera es sencillo decidirse por lo uno o por lo otro y en la mayoría de los casos solo la intuición del matemático le induce a buscar la prueba o en cambio el contraejemplo.

@MantillaIgnacio