«Debe traer una fotocopia de la cédula ampliada al 150 %», indicó.

Entonces pregunté:

«Perdón, ¿usted quiere que el área sea aumentada al 150 % o que la longitud de los lados se amplíe al 150 %?»

El funcionario me miró con lástima y respondió:

«Usted es el primer cliente que no me entiende».

«De acuerdo —dije—, pero ¿podría explicarme exactamente qué necesita que haga?»

El hombre suspiró y replicó con impaciencia:

«Vea, señor, no se haga el chistoso; eso es lo mismo. Pero tranquilo, que en la fotocopiadora de la esquina saben cómo hacer la copia ampliada y allá le explican, si quiere».

Luego, mirando hacia otro lado, gritó:

«¡Siguiente!».

Hice caso y fui a la fotocopiadora a pedir, tal como indicó el funcionario, una copia ampliada al 150 %, sin hacer preguntas. Con la copia ya en la mano recordé que en otras ocasiones también había tenido que enviar una versión ampliada de mi cédula, pero como entonces tenía secretaria, ella se ocupaba del asunto y nunca me había detenido a pensar en el detalle. Sin embargo, en plena calle saqué la cédula original y, al compararla con la copia de marras, deduje que el aumento correspondía a un 50 % en la longitud de los lados, no en el área, y que a eso se refería la ampliación solicitada.

En el trayecto de regreso a la oficina —donde mi trámite seguía suspendido, pendiente de la entrega de la copia aumentada— pensé en cuál podría ser el origen o la utilidad de exigir una «copia al 150 %». No podía ser un argumento de calidad, pues la copia en tamaño original era más nítida y la foto y los datos se veían con mayor claridad.

La única razón, concluí, debía ser histórica: quizá algún funcionario, en algún momento, no veía bien y necesitaba letras más grandes «al 150 %», y aquella ocurrencia terminó convertida en norma.

«Bien podrían dotar a todos de lupas con aumento 1.5 y evitarnos este paseo», pensé mientras avanzaba por la acera, copia en mano y teoría burocrática en mente.

Cuando regresé con la fotocopia de mi cédula, «ampliada al 150 %», me acerqué a la ventanilla y, aprovechando que no había nadie más en la fila, le expliqué al funcionario que me había atendido que soy matemático y profesor; por lo tanto, me sentía en la obligación de sacarlo de su error sobre cómo se aumenta el área de un rectángulo.

El hombre me miró con los ojos ligeramente desorbitados, incrédulo pero respetuoso, así que me escuchó.

Después de unos minutos, el funcionario ya prestaba atención a lo que yo escribía en la hoja de papel: una breve explicación acompañada de dibujos de figuras geométricas para aclararle el asunto. Cuando finalmente me dijo que había entendido, concluí recomendándole la lectura de un artículo que escribí sobre la historia del famoso problema planteado en la antigua Grecia, consistente en la duplicación del cubo, es decir, en determinar las dimensiones de un cubo cuyo volumen sea exactamente el doble del de otro cubo dado.

Pero mi sorpresa fue aún mayor cuando me dijo que no olvidara firmar sobre la copia ampliada de la cédula, con nombre y número de cédula.

«Pero si es una copia de la cédula; ahí están esos datos», respondí.

Su réplica fue inmediata:

«No importa, así son las reglas».

Finalmente me despedí; el funcionario me agradeció la explicación, me pidió que le regalara la hoja con la explicación y los dibujos y, antes de que me alejara, me preguntó:

«¿Eso con lo que usted escribe tan chévere es una pluma, cierto?».

No es mi intención hoy controvertir estas disposiciones tan absurdas, pero sí quiero aprovechar la anécdota para aclarar —como lo hice con el funcionario— qué significa ampliar el área de un rectángulo al 150 %, y dejar claro que eso no es lo mismo que aumentar la longitud de sus lados al 150 %.

El problema que planteo es el siguiente: ¿en qué porcentaje debe aumentarse la longitud de cada lado para que el área de un rectángulo se incremente al 150 %? Podemos suponer —como ocurre con la fotocopia de la cédula— que cada lado se va a aumentar en el mismo porcentaje, de modo que se conserve la proporción original entre los lados del rectángulo. Pero antes de explicar la solución, conviene poner el tema en contexto.

La cédula de ciudadanía tiene dimensiones iguales a las de una tarjeta de crédito, y esas medidas tienen un origen matemático relacionado con la proporción dorada, o número de oro φ, aproximadamente igual a 1,61803398… Las dimensiones de la cédula no son, por lo tanto, un capricho de algún registrador criollo: se trata de un plástico con forma de rectángulo (ligeramente redondeado en las esquinas) que mide 8,560 cm de largo y 5,398 cm de ancho —equivalentes a 3 ⅜ pulgadas por 2 ⅛ pulgadas—. Cuando sus lados se amplían al 150 %, el nuevo rectángulo obtenido mide 12,840 cm de largo por 8,097 cm de ancho. Esa es la medida que corresponde a la cédula «ampliada al 150 %» que me solicitaron; eso sí, por el capricho de algún funcionario que logró imponer ese requisito en cuanto trámite vayamos a realizar.

Ahora bien, el área de la cédula se incrementa en más del doble —exactamente en 2,25 veces el área original— cuando sus lados se amplían al 150 %. Si lo que queremos es aumentar el área al 150 %, veamos en qué porcentaje deben incrementarse los lados de la cédula.

El problema puede resolverse de manera general: si el rectángulo original tiene lados de longitud a y b, y llamamos P el porcentaje buscado, entonces el área del nuevo rectángulo será:

(P × a)(P × b) = (P²)(a × b). 

Como debe ser el 150%, tenemos

(P²)(a × b) = (1,5)(a × b).

Por lo tanto 

P² = 3/2, es decir que 

P =  (√6)/2 ≈ 1,225. 

Así que los lados deben aumentarse en aproximadamente un 22,5 % para que el área crezca al 150 %.

Como puede concluirse, el error consiste en afirmar que, al aumentar en un 50 % la longitud de los lados de la cédula, también se incrementa en un 50 % el área de la copia.

Cuando vaya usted, apreciado lector, a realizar un próximo trámite, no olvide llevar una copia de su cédula «ampliada al 150 %».

@MantillaIgnacio