Nos hemos acostumbrado a oír la palabra probabilidad cuando nos informan qué clima vamos a tener en un día normal y entendemos perfectamente los anuncios que nos informan con porcentajes sobre la posibilidad de lluvias, aunque los meteorólogos no acierten. También, aunque se equivoquen los economistas, oímos frecuentemente sobre las expectativas económicas y las comprendemos perfectamente con los datos que involucran la probabilidad. Cuando se trata de apuestas sobre la victoria de un equipo de fútbol contra otro es inevitable usar las probabilidades, casi siempre basadas en datos estadísticos históricos.

Aunque la aparición de la teoría de la probabilidad aparentemente tuvo un origen muy reciente, con la axiomatización que le dio en 1933 el matemático ruso Andréi Kolmogórov, el estudio de la probabilidad comenzó mucho antes, gracias al interés en los juegos de azar. Se considera que la correspondencia entre los matemáticos franceses Pierre de Fermat y Blaise Pascal en el siglo XVII, en torno al “Problema del Caballero de Méré”, fue el comienzo del cálculo de probabilidades.

Antoine Gombaud – Caballero de Méré (1607-1684), fue un escritor y pensador francés, matemático aficionado, pero especialmente un experto jugador. Su interés y atracción por los juegos de azar le valió para que hoy se le reconozca un lugar en los orígenes del estudio de la teoría de la probabilidad, al plantear dos problemas muy famosos. Sobre uno de ellos, conocido como el “problema de la partida interrumpida”, escribí hace unos meses (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/problema-del-reparto-una-apuesta). 

El segundo problema, que les voy a presentar, fue consultado por el Caballero de Méré al destacado matemático Blaise Pascal hacia 1650. La pregunta fue la siguiente: 

¿Por qué si lanzo un dado 4 veces y apuesto a que en alguno de los lanzamientos sale un 6, tengo más posibilidades de ganar que cuando lanzo dos dados 24 veces y apuesto a que en algún lanzamiento sale un doble 6? ¿Acierto o estoy equivocado?

El Caballero de Méré, como gran jugador que era, había observado que era ligeramente favorable la primera apuesta, pero razonaba diciendo que debía ser igualmente ventajosa cualquiera de las dos apuestas por las siguientes razones: 

La probabilidad de sacar un 6 con un dado en un lanzamiento es 1/6, por lo tanto la probabilidad de sacar un doble 6 con dos dados, es decir un 6 en ambos dados, en un mismo lanzamiento, es igual a multiplicar por 1/6 la probabilidad de sacar un 6 con un dado en un lanzamiento; es decir:

(1/6)(1/6) = 1/36. 

Así que al ser la relación de 4 a 6 la misma que de 24 a 36, las dos apuestas debían coincidir en su probabilidad de ganar.

Como siempre, cuando se conoce la solución de un problema, parece fácil, y en efecto, este problema, hoy en día parece muy sencillo. 

La solución es la siguiente: la probabilidad de que al lanzar un dado no salga un 6 es 5/6 porque hay 5 valores que no son 6, entre 6 valores posibles. Como se lanza 4 veces el dado y los lanzamientos son independientes, entonces la probabilidad de que no salga un 6 en esos 4 lanzamientos es:

(5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6) ≈ 0,48225.

Ahora bien, la probabilidad de que salga al menos un 6 es entonces el resultado de restar a 1 ese valor; es decir:

1-0,48225 = 0,51775.

Por lo tanto, con probabilidad mayor que 1/2, el Caballero de Méré ganaba la apuesta en el primer juego. Examinemos ahora el segundo juego:

Como se procedió antes, calculamos la probabilidad de que no salga el doble 6 y luego restamos ese valor a 1. Como el doble 6 es uno de los 36 casos posibles al lanzar los dos dados, entonces la probabilidad de que no salga el doble 6 en un lanzamiento es 35/36 porque hay 35 valores que no son el doble 6, de los 36 posibles. Como los dados se lanzan 24 veces y los lanzamientos son independientes, entonces la probabilidad de que no salga el doble 6 en 24 lanzamientos será:

(35/36)^24 ≈ 0,50860.

La probabilidad de sacar al menos un doble 6 en los 24 lanzamientos será:

1-0,50860 ≈ 0,49140

Entonces, con probabilidad menor que 1/2 el Caballero de Méré podía ganar en el segundo juego, lo cual no le era favorable. La probabilidad de ganar en el primer juego resulta casi un 2% mayor que la de ganar en el segundo juego.

Pascal y Fermat dieron la solución a este problema en la correspondencia que se generó entre ambos, pero quien formalizó todos estos argumentos fue el matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695), quien conoció esa correspondencia y publicó en 1657 el trabajo titulado De Ratiociniis in Ludo Aleae (Calculando en juegos de azar), considerado el primer tratado sobre el cálculo de probabilidades.

Finalmente les comparto otra manera de ver por qué razón el problema del Caballero de Méré resulta paradójico.

Al lanzar un dado se pueden obtener 6 resultados diferentes, por lo tanto en 4 lanzamientos podemos obtener:

6 x 6 x 6 x 6 = 1296 resultados diferentes.

¿En cuántos de esos 1296 resultados sale un 6? La respuesta es más fácil de dar calculando en cuántos resultados no sale 6 y restando ese número de los 1296. En efecto, si calculamos de cuántas formas pueden salir los números del 1 al 5 en un lanzamiento, obtenemos como respuesta 5; así que en 4 lanzamientos serán:

5 x 5 x 5 x 5 = 625.

Entonces el número de resultados en los que sale un 6 será:

1296 – 625 = 671.

Por lo tanto la conclusión es que en 4 lanzamientos de un dado hay más resultados en los que sale 6, que resultados en los que no sale 6. Así que la apuesta del Caballero de Méré para el primer juego era ventajosa.

@MantillaIgnacio

Las loterías y los juegos de azar han existido desde la antigüedad, pero es a partir de la Edad Media que se empiezan a estudiar formalmente, dando origen a una importante y muy activa área de la matemática como es la probabilidad. 

Es histórico el interés que despertó durante siglos el famoso problema del reparto de una apuesta, que plantea el reto de repartir correctamente una apuesta en un juego interrumpido. Una versión de este problema, abordado por primera por el fraile franciscano Luca Pacioli en 1494, es la siguiente:

“Dos equipos juegan a la pelota de tal modo que se necesitan un total de 6 tantos para ganar el juego. La apuesta es de 22 ducados, donde cada bando ha puesto 11 ducados. Por un incidente no pueden terminar y el juego se interrumpe cuando un bando ha conseguido 5 tantos y el otro 3. Se quiere saber qué participación del dinero del premio le corresponde a cada bando”

Para determinar cómo debe dividirse la apuesta entre los dos equipos, Pacioli consideró que debía tenerse en cuenta el número máximo de tantos posibles de alcanzar en el juego, que es 11; pues cuando el bando ganador alcanza 6 se acaba el juego y el perdedor habrá alcanzado, a lo sumo 5.

Puesto que se han conseguido 8 tantos cuando se interrumpe el juego, Pacioli resuelve que la apuesta de 22 ducados se hace por 8/11 partes del juego y no por el juego completo. Ahora bien, como el equipo con ventaja ha logrado ya 5 tantos, entonces debe recibir como premio 5/11 de los 8/11; es decir (5/11) / (8/11) = 5/8 partes de la apuesta de 22 ducados, que corresponden a 13,75 ducados.

El otro equipo, que había conquistado 3 tantos, no puede considerarse perdedor porque el juego no pudo terminar como se había pactado, así que debe recibir (3/11) / (8/11) = 3/8 partes; es decir 8,25 ducados.

Esta solución fue aceptada hasta 1556 cuando apareció el matemático, también italiano, Niccolo Tartaglia y estuvo en desacuerdo con Pacioli, pues  con ese criterio, dice Tartaglia, si en el momento de interrumpir el juego el segundo equipo no ha anotado, el de la ventaja se quedaría con todo el premio, aun cuando haya conseguido solamente un tanto. 

Tartaglia propone entonces esta solución: el equipo que va ganando debe recibir lo apostado por él más una cantidad proporcional a lo logrado. La proporción adecuada, acorde con su ventaja, es lo que se le quita a la apuesta que hizo el equipo que va perdiendo y debe ser la diferencia de tantos entre uno y otro dividida por el número de tantos que debe conseguir el ganador; así que para el caso que nos ocupa esta proporción sería de 2/6 = 1/3, y tendríamos que el equipo en ventaja debe recibir:

11 + (1/3) x 11 = (14 + 2/3) ducados.

El equipo en desventaja debe recibir entonces el resto de la apuesta; es decir:

22 – (14 + 2/3) = (7 + 1/3) ducados.

La solución de Tartaglia, aproximando los centavos, es entonces dar al equipo en ventaja 14,67 ducados y al otro 7,33 ducados.

Es claro que las soluciones aritméticas al problema, dadas por Pacioli y Tartaglia, no tienen en cuenta lo que hubiera podido ocurrir en el caso en el cual el juego no se hubiera interrumpido abruptamente. Especialmente no se tiene en cuenta la posibilidad que tiene cada uno de ganar. Pero esto no es algo fácil de imaginar; menos aún de incluirlo en una fórmula. 

El primero en advertirlo es el gran matemático italiano Gerolamo Cardano, quien falleció en 1576 pero dejó una obra en la que señala que en la solución debe tenerse en cuenta el número de tantos que a cada jugador le hacen falta para ganar en la eventualidad de que el juego continuara. El uso de esta nueva idea es un paso hacia el pensamiento probabilístico.

Haciendo caso a Cardano tenemos que considerar que al equipo en ventaja solo le falta un punto para ganar, mientras que al otro le faltan 3. Entonces 3 -1 = 2 es la ventaja del uno sobre el otro. De cuatro marcadores finales posibles (6-3, 6-4, 6-5, 5-6) un bando tiene 3 posibilidades de ganar, mientras que el otro sólo tiene 1, entonces las cuentas para el equipo en ventaja son: 

Posibilidades = (favorables)/(posibles) = (3/4).

Como la ventaja cuando se suspende el juego es 2, entonces el factor por el que debe multiplicarse la apuesta debe ser:

(3/4) x 2 = 6/4 = 3/2.

 Luego al primer equipo le corresponde

(3/2) x 11 = 16,5 ducados.

Al segundo equipo le correspondería entonces recibir el resto de la apuesta, o sea 5,5 ducados.

Cardano dedica buena parte de su obra al estudio de los juegos de azar, pero desafortunadamente su trabajo “Liber de ludo aleae” solo fue publicado hasta 1663, mucho tiempo después de su muerte. En ese tratado Cardano aborda el problema de cómo establecer correctamente las apuestas en el juego de dados y logra identificar la necesidad de conceptos matemáticos tales como la probabilidad, que serían precisados y estudiados ampliamente después. 

Hubo que esperar un siglo desde Tartaglia para que grandes matemáticos como los franceses Fermat y Pascal, estimulados indirectamente por las preguntas formuladas por un experto jugador empedernido, el Caballero de Merè, dieran la misma solución correcta, siguiendo razonamientos diferentes, en términos de la probabilidad condicional de ganar de cada jugador.

De acuerdo con esta solución, el equipo en ventaja tiene, como ya lo dijimos, 3 opciones de ganar de las 4 posibles; pero en cada opción el equipo en ventaja solo tiene la mitad de las posibilidades de lograr el tanto que le falta, entonces la siguiente es su probabilidad de ganar:

1/2 + (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2)(1/2) = 7/8.

Por lo tanto le corresponden 

(7/8) x 22 = 19,25 ducados,

mientras que al segundo equipo solo le corresponden 2,75 ducados de la apuesta de 22 ducados.

Posteriormente el matemático holandés Christiaan Huygens profundiza en los trabajos de Pascal y Fermat, introduce el concepto de valor esperado o esperanza matemática y confirma la solución dada por ellos, poniendo así fin al reto. Huygens abona el terreno para el nacimiento de la teoría de la probabilidad que consolidó el matemático ruso Andrei Kolmogorov a principios del siglo pasado. 

Una reflexión final que quiero transmitir a los lectores es que problemas sencillos o aparentemente sin importancia o aplicación inmediata, que solo nos divierten, pueden ser, como en el caso del problema del reparto, la motivación para llegar a grandes teorías. Así son las maravillosas matemáticas: puras, aplicadas, abstractas y útiles.

@MantillaIgnacio