La familia está conformada por los padres, ya mayores, junto con su hijo y la esposa de este. Tras avanzar por un estrecho camino abandonado, que el padre conocía desde su infancia, han logrado alcanzar la frontera y, ya entrada la noche, deben cruzar un puente para ponerse a salvo en el país vecino.

La oscuridad de la noche obliga a utilizar una linterna para cruzar. Por fortuna, la familia dispone de una, incluida por la madre en el equipaje a última hora, antes de abandonar la casa con premura. La luz resulta imprescindible para alcanzar el otro lado, pues todo está en penumbras y el puente se encuentra en mal estado.

Adicionalmente, la familia enfrenta varios inconvenientes: la persecución a la que está sometida les concede únicamente quince minutos para atravesar el puente. Por otra parte, debido a su estado y estrechez, este solo soporta el paso de dos personas al mismo tiempo. Considerando las limitaciones físicas y el cansancio, el padre requiere 5  minutos para cruzar, la madre necesita 8, mientras que el hijo lo logra en apenas 1 minuto y su esposa en 2.

Como se indicó previamente, el puente solo soporta el paso de dos personas a la vez, y cuando avanzan juntas lo hacen al ritmo del más lento. La linterna no puede lanzarse de un extremo al otro, de modo que cada vez que dos personas crucen, alguien debe regresar con ella para acompañar a quienes aún esperan. Este procedimiento debe repetirse hasta que todos hayan alcanzado el otro lado.

¿Lograrán atravesar todos en 15 minutos o menos tiempo?

Una estrategia que parece lógica es que el más rápido de la familia, el hijo (H), sea quien acompañe a cada uno de los demás a través del puente. Procedamos primero con los más veloces, siguiendo estos pasos: 

Primer paso: El padre (P), la madre (M), el hijo (H) y la esposa (E) se ubican a la entrada del puente.

Segundo paso: H y E cruzan el puente al ritmo del más lento —el de E—, de modo que demoran 2 minutos en alcanzar la otra orilla.

Tercer paso: E permanece esperando a los demás, mientras H regresa al punto de partida con la linterna; lo hace en 1 minuto, de manera que en total han transcurrido 3 minutos.

Cuarto paso: H y P cruzan ahora el puente, pero necesitan 5 minutos, que es el tiempo requerido por P; al llegar a la otra orilla y reunirse con E, habrán transcurrido en total 8 minutos desde el inicio.

Quinto paso: Como antes, H regresa al punto de origen en 1 minuto y se reencuentra con M, la más lenta del grupo. Para ese momento ya han transcurrido 9 minutos.

Sexto paso: Cuando M y H intentan cruzar el puente, la linterna se agota antes de conseguir el objetivo, pues necesitarían 8 minutos y, desde el inicio, sumarían 17 minutos.

Por lo tanto, la estrategia anterior falla.

¿Cómo ayudar a la familia en apuros con una estrategia exitosa?

Veamos la siguiente alternativa para minimizar el tiempo de recorrido. Parece natural arriesgar enviando a las personas más lentas en un solo viaje. El primer esquema propuesto es el siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. H regresa → 1 minuto (total: 3 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 11 minutos).

4. E regresa → 2 minutos (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).

Como se observa, esta estrategia resultó exitosa.

Una solución adicional del acertijo es la siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. E regresa → 2 minutos (total: 4 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 12 minutos).

4. H regresa → 1 minuto (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).
   
   

Las dos últimas estrategias exitosas, conseguidas en cinco viajes, permiten a la familia ponerse a salvo.

Podemos ahora plantearnos el reto de generalizar el problema a un grupo arbitrario de personas, con ritmos de cruce distintos y un tiempo límite, manteniendo invariable la capacidad del puente. Se trata de un problema que, sin duda, encuentra sustento en la conocida teoría de grafos; así, un sencillo acertijo de lógica puede conducir a la formulación de teoremas más generales.

@MantillaIgnacio

Aunque por su nombre, Albert Einstein sería su inventor, en realidad no se sabe a ciencia cierta quién es el autor. También se le atribuye su creación al escritor británico Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), más conocido por su seudónimo de Lewis Carrol, autor de la novela “Alicia en el país de las maravillas”, quien además de escritor era lógico matemático.

El acertijo se basa en 15 pistas que ponen a prueba la capacidad de deducción para encontrar su solución descubriendo la correspondencia entre cinco grupos de pistas. 

En el planteamiento original hay algunos datos que pueden modificarse para hacer el acertijo más actual y real. Por ejemplo dos de los grupos originales de pistas corresponden a tipos de bebidas y a marcas de cigarrillos que me voy a permitir modificar y los reemplazaré por diferentes deportes y profesiones respectivamente, lo cual no altera la esencia del reto, de manera que la formulación de esta versión del acertijo que les presento como “acertijo de Einstein” se resume así:

En cinco casas de distintos colores sobre una misma calle viven cinco caballeros de distintas nacionalidades, viven en una casas distintas, tienen profesiones diferentes y practican, cada uno, un deporte diferente. Además, cada uno de ellos convive en su residencia con una mascota diferente.

Ese es básicamente el enunciado inicial del acertijo. Lo que se debe resolver, tras seguir las pistas que enunciaré a continuación, es quién tiene como mascota un pez. 

Las pistas son las siguientes:

1. El Inglés vive en la casa Roja
2. El Sueco tiene Perro 
3. El Danés juega Tenis
4. El Noruego vive en la primera casa
5. El Alemán es Periodista
6. La casa Verde queda inmediatamente a la izquierda de la casa Blanca
7. El dueño de la casa Verde practica el Ciclismo
8. El Médico tiene Pájaros
9. El dueño de la casa Amarilla es Arquitecto
10. El hombre que vive en la casa del centro practica la Natación
11. El Abogado vive al lado del que tiene un Gato
12. El hombre que tiene un Hámster vive al lado del Arquitecto
13. El Ingeniero practica el Fútbol  
14. El Abogado es vecino del que juega Golf
15. El Noruego vive al lado de la casa Azul.

Las 15 pistas revelan que las 5 nacionalidades de los señores del acertijo son:

Inglés
Sueco
Danés
Noruego
Alemán

Los colores de las casas son:

Rojo
Verde
Amarillo
Azul
Blanco

Las mascotas de los residentes son:

Perro 
Pájaros
Gato
Hámster
Pez

Los deportes que practican los señores son

Tenis
Ciclismo
Natación
Fútbol
Golf

Y finalmente sus profesiones son:

Periodista
Médico
Arquitecto
Abogado
Ingeniero

La tarea consiste en ir descubriendo el color de la casa donde vive la persona de cada nacionalidad y conocer su profesión, así como el deporte que practica, hasta llegar a conocer la respuesta final a la pregunta: ¿quién es el que tiene como mascota el pez?

En este punto usted como lector, si lo desea, puede abandonar la lectura y tratar de resolver el acertijo. Yo voy a exponer y a compartir a continuación, paso a paso, la solución que he encontrado.

El método que se me ha ocurrido para resolver el acertijo es construir una tabla en la que en la primera columna aparecen las cinco nacionalidades, cada una encabezando una fila con cuatro celdas adicionales en las que aparecerán las demás pistas: colores de casas, mascotas, deportes y profesiones. Naturalmente la tabla se irá llenando a medida que vayamos descubriendo la correspondencia entre los grupos de pistas, enfocándonos en obtener la respuesta final, es decir en descubrir la nacionalidad del dueño del pez. 

Con las primeras tres pistas y la quinta pista se puede iniciar a llenar la tabla, pues se deduce que:

Ahora bien, si la pregunta que debe responderse se refiere al dueño del pez, es natural suponer que seguramente la casilla con el pez será la última de la tabla que podremos llenar. Así que en el procedimiento que voy a seguir, la columna de mascotas será muy probablemente la más difícil de descubrir.

Nota: En adelante escribiré en mayúscula y cursiva el nombre de cada pista cuando se mencione, para facilitar así su seguimiento lógico.

• Empecemos por descubrir el color de la casa del Noruego.
  Como el Noruego vive en la primera casa (pista 4), no vive en la del centro y por lo tanto tampoco practica la Natación (pista 10).
  Como el Danés juega Tenis (ver tabla), al Noruego le queda la opción del Fútbol, el Golf o el Ciclismo.
  Pero hay que observar que si el Noruego vive en la primera casa, como ya lo dijimos, no tiene ninguna otra casa vecina a su izquierda, por lo tanto no puede vivir en la casa Verde (pista 6) y como vive junto a la casa Azul (pista 15) y el Inglés vive en la casa Roja (ver tabla), solo le queda la opción de la casa Blanca o la casa Amarilla.
  Pero su casa no puede ser la casa Blanca pues esta no es la primera ya que la casa Verde queda inmediatamente a su izquierda (pista 6), así que el Noruego vive en la casa Amarilla.

• Descubramos ahora la profesión del Noruego.
  Es trivial ahora, a partir de la pista 9, que el Noruego es Arquitecto.
  
• Averigüemos cuál deporte practica el Noruego.
  Con los datos que tenemos, podemos deducir que el Noruego no practica el Ciclismo (pista 7), tampoco la Natación (pista 10), y tampoco es el que juega Fútbol (pista 13).
  Además el Noruego no practica el Tenis porque este lo juega el Danés (ver tabla), así que la única posibilidad que queda es que el Noruego juega Golf.

Con los descubrimientos sobre el Noruego, nuestra tabla contiene ahora la siguiente información, que usaremos cuando sea necesario de aquí en adelante:

La siguiente meta que nos vamos a fijar es descubrir la información sobre el Danés.

• La casa Azul es la segunda casa (pista 15) y el Abogado es el único vecino del Noruego (pista 14), por lo tanto el Abogado vive en la casa Azul.
  
• El que tiene un Hámster vive al lado del Arquitecto (pista 12), y el Arquitecto es el Noruego (ver tabla), o sea que el Abogado tiene un Hámster.
  
• Ya sabemos que el Abogado vive en la casa Azul y tiene el Hámster, luego no puede ser Sueco, que tiene Perro (ver tabla), ni Inglés, que vive en la casa Roja (ver tabla), así que el Abogado es Danés o Alemán, pero el Alemán es Periodista (ver tabla), entonces el Abogado es Danés.

Agregamos la nueva información obtenida a la tabla; ya sabemos todo sobre el Danés, y tenemos que:

Nos enfocamos ahora en el Inglés y el Sueco.

• Puesto que el Abogado vive en la casa Azul y esta es la segunda casa (única vecina de la casa Amarilla), como lo habíamos deducido antes de la pista 15, entonces el que vive en la casa del centro es el otro vecino del Abogado.
  ¿Qué color tiene la casa del centro?
  Como la casa Verde está exactamente a la izquierda de la casa Blanca (pista 6), entonces la casa del centro debe ser la casa Verde o la casa Roja, pero si la casa Verde fuese la del centro entonces su ocupante practicaría el Ciclismo (pista 7), pero la pista 10 dice que el que vive en la casa del centro practica Natación, luego no puede ser la casa Verde la del centro, por lo tanto la casa del centro es la casa Roja, a su derecha está la casa Verde y luego la casa Blanca al final.
  Como el inglés vive en la casa Roja (ver tabla) y acabamos de probar que esa es la del centro, se deduce, de la pista 10, que el Inglés practica la Natación.
  
• De la tabla, el Médico debe ser Sueco o Inglés, que son las nacionalidades que aún no hemos descubierto, pero el Médico tiene Pájaros (pista 8) y el Sueco tiene Perro (ver tabla), luego el Médico no es Sueco, entonces el Médico es Inglés.
  
• La única profesión que queda por asignar es la de Ingeniero y la única nacionalidad es la de Sueco, por lo tanto el Ingeniero es Sueco.

Hasta aquí conocemos ya la profesión de cada uno, de acuerdo con su nacionalidad. 

Directamente de las pistas iniciales podemos agregar dos atributos más:

• De la pista 8, el Médico tiene Pájaros.
  
• También sabemos, de la pista 13, que el Ingeniero practica el Fútbol.
  
  Echemos ahora un vistazo para saber cómo va la tabla de los descubrimientos:
  

Para descubrir el deporte que practica el Alemán, basta observar que:

• Como el Danés juega Tenis, el Inglés practica la Natación, el Noruego juega Golf y el Ingeniero practica el Fútbol (ver tabla), entonces el único posible deporte para el Alemán es el Ciclismo, así que el Alemán practica el Ciclismo.
  

Vamos a asignar las casas que aún faltan: 

• Por la pista 7, el dueño de la casa Verde practica el Ciclismo, entonces, de acuerdo con el último descubrimiento, el Alemán vive en la Casa Verde.
   
• Solo queda por asignar un color de casa, que trivialmente es para el Sueco; así que el Sueco vive en la casa Blanca.

Ahora la tabla se ve así:

Y ahora busquemos la respuesta descubriendo a quién pertenecen las mascotas que faltan por descubrir:

• De acuerdo con la información obtenida en la tabla, la mascota del Noruego no es el Hámster, tampoco es el Perro, ni tiene Pájaros, por lo tanto el Noruego tiene el Gato o el Pez. Pero el Abogado vive al lado del que tiene un Gato (pista 11) y los vecinos del Abogado son los que ocupan la casa Amarilla y la casa Roja, es decir el Noruego y el Inglés, pero se sabe que el Inglés tiene Pájaros (ver tabla), entonces el Noruego tiene el Gato.
  
• Ahora solo falta por descubrir la mascota del Alemán que no tiene otra opción que el pez. Entonces el Alemán tiene el Pez.

Y hemos encontrado la respuesta buscada: el Pez es la mascota del Alemán

Y el acertijo descifrado en su totalidad se resume así:

Espero que este divertido acertijo haya sido entretenido para los lectores y que algunos lo hayan resuelto por otros medios, porque el procedimiento no es el único posible, aun cuando sí lo es la respuesta.

@MantillaIgancio

Para convertir este acertijo en una oportunidad de descubrir una estrategia, reduciré inicialmente el problema a ocho monedas y, además, para mayor facilidad, supondré que de antemano se sabe que la moneda defectuosa pesa un poco más. El nuevo reto consiste en averiguar, en no más de dos pesadas, cuál es la moneda falsa.

Para resolver este problema, numeramos las monedas del 1 al 8 y colocamos en la balanza dos grupos de tres monedas: en el platillo izquierdo las {1, 2, 3} y en el derecho las {4, 5, 6}. Pueden darse tres situaciones:

• •Si pesa más el grupo {1, 2, 3}: la moneda falsa está allí. Se pesan únicamente las monedas {1} y {2}, colocando cada una en un platillo distinto. Si una resulta más pesada, esa es la falsa; si pesan lo mismo, la falsa es la {3}.

• •Si pesa más el grupo {4, 5, 6}: se procede de manera análoga, pesando las monedas {4} y {5}. Si una pesa más, esa es la falsa; en caso contrario, la falsa es la {6}.

• •Si ambos grupos pesan igual: la moneda defectuosa no está en ninguno de ellos, por lo que debe ser la {7} o la {8}. Se pesan estas dos y la más pesada será la falsa.

Hemos considerado todos los casos posibles y, en no más de dos pesadas, logramos identificar la moneda falsa.

Ahora pasemos al caso de las doce monedas, pero considerémoslo en la forma más sencilla: suponiendo, como antes, que la falsa pesa más que las auténticas y que disponemos de hasta tres pesadas. Con estas condiciones, se pueden colocar en un platillo de la balanza las monedas {1, 2, 3, 4, 5, 6} y en el otro las {7, 8, 9, 10, 11, 12}. La balanza necesariamente se desequilibrará, y el grupo más pesado contendrá la moneda falsa. Esta primera pesada permite reducir la incertidumbre a solo seis monedas, que son las que se encuentran en el platillo de mayor peso. Supongamos que ese platillo corresponde al primer grupo; si fuera el segundo, el procedimiento es análogo.

En la segunda pesada se toman tres de esas monedas ({1, 2, 3}) y se colocan en un platillo, mientras que las otras tres ({4, 5, 6}) se ponen en el otro. De este modo, el problema se reduce a considerar únicamente las tres monedas que resulten más pesadas.

En la tercera pesada, al quedar tres monedas sospechosas, se comparan las {1} y {2}. Si un platillo se inclina, allí se encuentra la moneda falsa; si hay equilibrio, la falsa es la {3}.

Hasta aquí hemos resuelto el acertijo en su forma simplificada. Pasemos ahora al caso general de las doce monedas, en el que no sabemos de antemano si la falsa pesa más o menos que las auténticas. Ojalá, en este punto, los lectores intenten encontrar la solución antes de conocerla.

Procedemos formando tres montones de cuatro monedas cada uno y comparamos los grupos {1, 2, 3, 4} y {5, 6, 7, 8}, colocando cada uno en un platillo de la balanza. El resultado puede ser:

1. Los platillos están en equilibrio.

La moneda falsa se encuentra entre las cuatro monedas {9, 10, 11, 12}, que no fueron pesadas, y aún disponemos de dos oportunidades para identificarla.

Usamos una moneda auténtica (por ejemplo, la {1}) y realizamos la siguiente pesada colocando en un platillo las monedas {1, 9} y en el otro las {10, 11}.

• A. Si hay equilibrio, la defectuosa es la {12}. En la última pesada la comparamos con la {1} para determinar si      pesa más o menos.
  
  
• B. Si {1, 9} pesa menos que {10, 11}, entonces o bien {9} es falsa y pesa menos, o bien {10} o {11} es falsa y pesa más. En la última pesada comparamos {10} con {11}: si hay equilibrio, la falsa es {9} y pesa menos; si no, la más pesada es la defectuosa.
  
  
• C. Si {1, 9} pesa más que {10, 11}, se aplica el mismo razonamiento anterior, pero con los papeles invertidos.
  
  

2. Los platillos están desequilibrados.

En este caso tenemos ocho monedas sospechosas y cuatro auténticas. Supongamos que el platillo con {1, 2, 3, 4} es el más alto (menor peso). Agregamos una moneda buena, la {9}, al grupo de las ocho y formamos tres montones de tres monedas cada uno: {1, 5, 9}, {2, 3, 7} y {4, 6, 8}.

En la segunda pesada comparamos los dos primeros montones:

• A. Si hay equilibrio, la falsa está en {4, 6, 8}. En la última pesada comparamos {6} y {8}: si hay equilibrio, la defectuosa es {4} y pesa menos; si no, la más pesada es la falsa.
  
  
• B. Si {1, 5, 9} pesa más que {2, 3, 7}, entonces o bien la {5} es falsa y pesa más, o bien {2} o {3} es falsa y pesa menos. Comparamos {2} y {3}: si una pesa menos, esa es la defectuosa; si hay equilibrio, la falsa es la {5}.
  
  
• C. Si {1, 5, 9} pesa menos que {2, 3, 7}, significa que o bien la {1} pesa menos o bien la {7} pesa más. En la última pesada comparamos cualquiera de ellas con una moneda auténtica ya identificada, y así determinamos cuál es la falsa y si pesa más o menos.

Hemos considerado ya todos los casos posibles y, con tres pesadas, hemos logrado identificar la moneda falsa y determinar si pesa más o menos que las auténticas, dando así solución completa al reto planteado.

Este mismo acertijo puede intentarse con trece monedas. Aunque es posible identificar la moneda falsa en solo tres pesadas, en este caso no siempre será posible determinar si la defectuosa pesa más o menos que las auténticas.

@MantillaIgancio

De esta práctica surgió un famoso acertijo, conocido bajo el nombre de “problema de Josefo”, en honor al historiador y autor del libro “De bello Judaico” (“La guerra de los judíos”), Flavio Josefo (37 – 95).

Se dice que Josefo, que era judío, logró sobrevivir al castigo que impuso la Roma de Nerón para controlar la rebelión judía, gracias a las matemáticas. En efecto, se cuenta que en el año 66, cuando tuvo lugar la insurrección judía en Galilea, Josefo y otros 39 compañeros fueron cercados hasta que tuvieron que resguardarse en una cueva en la que lograron esconderse por un tiempo. Cuando se sintieron descubiertos y acorralados, acordaron que no permitirían ser convertidos en esclavos y que ante el inminente apresamiento era mejor morir. 

Fue entonces cuando Josefo, aprovechando que la mayoría rechazaba la inmolación como solución, propuso a sus compañeros un juego para que entre ellos seleccionaran a las víctimas y a los verdugos, pero escogidos unos y otros al azar, siguiendo un ritual matemático de tal manera que ninguno pudiera negarse a actuar contra su propio compañero aunque se tratase de su mejor amigo, hasta morir todos asesinados por la espada amiga, salvo el último que sería el único que debía inmolarse.

Josefo y los 39 simpatizantes formaron un círculo ubicándose en forma aleatoria y determinaron al azar a uno de ellos como el primero. Éste debía matar al segundo y pasarle la espada al tercero quien acabaría con la vida del cuarto; luego la espada la tomaría el quinto para asesinar a quien ocupara la sexta posición y así sucesivamente. De esta forma el azar y solo el azar elegiría al judío que no tendría más remedio que suicidarse. 

La fama de la trágica historia y el nombre del juego se debe a que evidentemente Flavio Josefo esperaba poder salir con vida de la cueva, así que se ofreció para coordinar el inicio del juego y una vez supo quién sería el primero calculó rápidamente la posición del último hombre en morir para colocarse allí; pero cuando habían muerto todos sus compañeros, decidió entregarse a los romanos en vez de inmolarse. 

Otra versión dice que el orden de ejecución fue determinado por Josefo, quien quería salir con vida de allí en compañía de su mejor amigo y que rápidamente, gracias a sus habilidades matemáticas, logró la ubicación correcta de ambos para que fueran ellos dos los últimos en el proceso y así poder entregarse a los romanos en lugar de matarse entre ellos. Esta sabia e interesada decisión habría permitido que Josefo sobreviviera y que su problema trascendiera en el tiempo.

 Naturalmente después de 2000 años la historia ha sido contada con múltiples variantes, pero como acertijo matemático es bastante interesante plantear el reto de averiguar qué posición debe ocupar el único sobreviviente al “eliminarse” (no matarse) uno por uno a todos los demás participantes del juego, en orden, señalando cada N personas la siguiente víctima, dentro de un grupo conformado por M jugadores organizados en un círculo (M > N).

Por ejemplo con un círculo de M = 12 personas y eliminándose cada N = 3, tendríamos:

1 elimina a 3

4 elimina a 6

7 elimina a 9

10 elimina a 1

Ahora quedan 8 sobrevivientes, a saber: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11. 

En la siguiente ronda:

1 elimina a 4

5 elimina a 8

y ahora el turno es de 10 para que elimine el tercero entre los siguientes sobrevivientes:

10, 11, 1, 2, 5, 7.

Entonces:

10 elimina a 1

2 elimina a 7 

y nuevamente 10 tiene el turno para eliminar al tercero de la lista que queda conformada así:

10, 11, 2, 5

Por lo tanto:

10 elimina a 2

5 elimina a 11 

y solo quedan 10 y 5 como sobrevivientes.

Como el turno para la siguiente eliminación la tiene 5, de continuar la regla, entonces 5 debe ahora autoeliminarse y el único sobreviviente sería 10; pero también puede pactarse un acuerdo para que ambos sobrevivan, como ocurrió en una de las versiones de la historia de Josefo.

La solución general del problema con las constantes M y N así definidas no es trivial y puede usted, como tarea, intentar resolverlo para M = 40, N = 2, tal como lo hizo Josefo y así verificar que él se tuvo que haber ubicado en la posición 17 del círculo conformado junto con sus otros 39 compañeros. Observe que en este caso, en la primera ronda todos los que ocupan una posición par, son eliminados. 

Finalmente un ejercicio para entretenerse: si tal como se narra en la historia, Josefo se salvó junto con su mejor amigo, ¿en qué posición del círculo debía estar su mejor amigo?

@MantillaIgnacio