Establecer el objetivo de la educación es el primer punto que habría que abordar en esta importante discusión. Y creo que, como en muchas definiciones, resulta más fácil identificar inicialmente todo lo que no es su objetivo. En este sentido, me parece importante retomar el pensamiento del gran matemático y filósofo británico Bertrand Russell (1872-1970), Premio Nobel de Literatura (1950), quien, en su ensayo Sobre educación, publicado en 1926, compartió ideas y reflexiones que aún mantienen una vigencia indiscutible.

Entre las afirmaciones más relevantes de Russell, me identifico con ese concepto según el cual el proceso educativo no debe convertirse en un instrumento para moldear a los niños y jóvenes ni para someterlos a un adoctrinamiento, privándolos de su independencia y su libertad, e impidiendo el desarrollo de su inteligencia. La misión primera debe limitarse a educar los instintos, de modo que puedan producir un carácter constructivo y no destructivo; pero el objetivo de la educación debe ser formar seres humanos independientes y capaces. Para lograrlo, el proceso educativo debe evitar la influencia de «rebaño» en los jóvenes, y alejarlos de la tendencia a la comodidad que brinda el conformismo.

Desde temprano, al niño debe tratársele como a un adulto en potencia, respetando su personalidad y buscando su independencia. Russell resalta que la curiosidad, la amplitud de criterio, la creencia de que el conocimiento es posible —aunque difícil—, la paciencia, la habilidad, la concentración y la exactitud son los aspectos que la educación debe acentuar.

No obstante, los prejuicios de los padres de familia, de los educadores, de los directivos, de las iglesias y de los gobiernos son tantos que constituyen la principal fuente de los errores que afloran con frecuencia en los planes de estudio, aun cuando no sean intencionados. Y esta influencia alcanza, por supuesto, también a la educación superior. Así, por ejemplo, podría señalarse, como ya lo hizo Russell hace cerca de 100 años, que uno de los defectos más frecuentes de la educación superior moderna es el de intentar convertirla en un puro entrenamiento para adquirir ciertas habilidades, sin preocuparse por ensanchar la mente mediante un examen imparcial del mundo.

Uno de los aspectos más interesantes que abordó Russell fue el siguiente: se ocupó de reflexionar sobre el concepto de utilidad y, especialmente, sobre la importancia de lo que muchos llaman el «conocimiento inútil». A la pregunta de si es cierto que solamente el conocimiento útil es valioso, agregó de inmediato esta otra: ¿es igualmente cierto que el conocimiento valioso siempre es útil? Y, para aclararlo, expone la siguiente ilustración a partir de la obra de Shakespeare: «La comprensión de Hamlet puede no ser de gran utilidad práctica, pero da al hombre un dominio mental del que sería desagradable carecer y, en cierto modo, lo convierte en mejor ejemplar humano. Y este último conocimiento es el que prefiere quien sostiene que la utilidad no es el único fin de la educación. ¡Cuánto placer se obtiene del conocimiento inútil!».

El afán de conocimiento no debería ser utilitario. El conocimiento debe fructificar gracias a la investigación desinteresada, que no tiene más motivo que el deseo de comprender mejor el mundo. Los progresos puramente teóricos y las teorías espléndidas pueden encontrar más adelante una aplicación práctica, pero conservan su valor en sí mismos.

El fundamento de la vida intelectual es la curiosidad, que mantiene viva la actividad de la inteligencia. Decía el prolífico matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) que las matemáticas existen «por el honor del espíritu humano». Y, aunque ese no sea su principal propósito, sí reafirma que el pensamiento creativo aumenta la dignidad del ser humano, y que el placer de la comprensión es, de acuerdo con Russell, el supremo fin por el que ha de valorarse la educación de la mente.

Y, para seguir la tesis de Russell, es indispensable comprender su idea del ocio. En 1932, Russell publicó un breve ensayo titulado Elogio de la ociosidad, en el que hace una interesante defensa del ocio como origen de lo que conocemos por cultura y como interés civilizado por ocuparse de propósitos no utilitarios. Descalifica el exceso de trabajo y afirma que el sabio empleo del tiempo libre es un producto de la civilización y de la educación. Defiende la idea de que, sin una cantidad considerable de tiempo libre, una persona se verá privada de muchas de las mejores cosas de la vida.

Para Russell, si se quiere que la democracia sobreviva, los profesores deberíamos, por encima de todo, tratar de inculcar en los discípulos la tolerancia que surge del intento de comprender a quienes son distintos de nosotros. Se debería animar a los jóvenes a escuchar los argumentos que defienden los diferentes puntos de vista, pero advirtiendo también «el peligro de la tendencia a suponer que la oposición a la autoridad es esencialmente meritoria y que las opiniones no convencionales tienen que ser correctas; no se sirve a ningún propósito útil rompiendo faroles o sosteniendo que Shakespeare no es poeta».

Quiero destacar una reflexión más, que reafirma lo expuesto y que Russell expresa con toda claridad al asegurar que «la disciplina debe ser un hábito y no una obligación». La verdadera disciplina no consiste en obligaciones externas, sino en hábitos que llevan a actividades deseables. «Antiguamente se creía que a los niños no les interesaba aprender, y que solo se decidían a estudiar atemorizándolos. Hoy se ha averiguado que la culpa no era de los niños, sino de los pedagogos».

Estas ideas planteadas por Russell están, como lo dije al comienzo, tan vigentes como hace un siglo, y contribuyen a que las reflexiones sobre la educación —y sobre la manera como la entendemos y la brindamos a nuestros jóvenes y niños— sean el punto de inflexión para la transformación social del futuro.

Cabe entonces preguntarse qué habría dicho Russell sobre el uso de las herramientas modernas y de la inteligencia artificial, hoy elementos ineludibles en la educación. Es probable que no las hubiera visto como una amenaza en sí mismas, sino como él vio siempre al conocimiento: una herramienta cuyo valor depende del uso que se le dé. Si esas tecnologías se convierten en un simple atajo para evitar el esfuerzo de pensar, contradicen todo lo que defendió; pero si, por el contrario, se ponen al servicio de la curiosidad, de la comprensión y de esa independencia de criterio que tanto valoraba, quizás las habría recibido como una nueva y poderosa oportunidad para seguir educando mentes libres. Es posible, incluso, que hubiera valorado también el mayor tiempo libre que estas herramientas pueden ofrecernos, al liberarnos de tareas mecánicas, como una vía adicional hacia ese ocio fecundo que consideraba indispensable para la vida intelectual y la cultura.

Al final, las preguntas de Russell siguen siendo las nuestras: ¿formamos mentes libres o simplemente entrenamos habilidades? En la respuesta que demos —hoy, con inteligencia artificial incluida— se juega buena parte del futuro que queremos construir.

@MantillaIgnacio

Hace algún tiempo me preguntaron para qué sirve un logaritmo. Las respuestas posibles son muchas, pero solo uno de los ejemplos que ofrecí resultó convincente para mi interlocutor. Es justamente esa aplicación —una que la mayoría de las personas desconoce— la que quiero compartir con los lectores, motivada por el fuerte sismo que hemos sentido recientemente en Colombia.

La respuesta a la que me refiero fue, en realidad, otra pregunta: ¿usted sabe cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter que uno de magnitud 3? Mi interlocutor, con toda naturalidad, se animó a afirmar: «pues un poco más de dos veces». No, le dije, y procedí a explicarle por qué la escala de Richter no puede leerse como si fuera un termómetro dividido en grados.

Para entenderlo hay que acudir a los logaritmos, y trataré de explicarlo —como lo hice con mi interlocutor— revisando el origen de la escala de Richter.

Lo primero que debemos saber es que, en sismología, resulta fundamental medir la energía liberada en un movimiento sísmico. Esa magnitud es la que se registra en un sismograma y se expresa mediante una escala como la de Richter, que es logarítmica y asigna un valor que indica la cantidad de energía liberada durante un terremoto.

El nombre de la escala honra al estadounidense Charles F. Richter (1900‑1985), quien la propuso en 1935 con la colaboración del sismólogo alemán Beno Gutenberg. La elección de una escala logarítmica implica reemplazar el valor de una variable por su logaritmo en una base determinada. Recordemos que las bases más usadas para los logaritmos son 2, 10 y e (≈ 2.718 281 828 459 0452…). Cuando se utiliza el número 10 como base, hablamos de logaritmos decimales; y cuando la base es el número de Euler e, hablamos de logaritmos naturales o neperianos, nombre que se debe al escocés John Napier (1550‑1617), quien empleó por primera vez esta herramienta matemática.

En una escala común, como la lineal, usamos dos ejes perpendiculares, X e Y, para representar los valores de dos variables x e y. En una escala logarítmica —de base 10, por ejemplo— reemplazamos el valor del eje Y por su logaritmo en base 10, que se escribe como log₁₀(Y); aunque también podría hacerse lo mismo con el eje X. Algunos lectores, como ocurrió con mi interlocutor, podrían preguntar: «¿y qué se gana con eso?».

Al ser la función logarítmica la inversa de la exponencial, los valores

10⁰, 10¹, 10², 10³, …

aparecerán en el eje Y de la escala logarítmica decimal en el lugar donde irían las marcas

0, 1, 2, 3, …

respectivamente, obteniéndose así una reducción extraordinaria en el rango de los valores representados. Esto resulta muy útil para la visualización cuando los datos abarcan un rango amplio de magnitudes, algo habitual cuando la función que se desea representar crece rápidamente, como ocurre con la función exponencial.

Para medir la magnitud de los terremotos, la escala de Richter utiliza precisamente una escala logarítmica decimal; es decir, cada «unidad» corresponde en realidad a un múltiplo de 10 y se incrementa diez veces en cada intervalo unitario. Esto significa que un terremoto de magnitud 7 registra en el sismógrafo una amplitud diez veces mayor que uno de magnitud 6, y cien veces mayor que uno de magnitud 5. Por lo tanto, la intensidad de un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter no es apenas un poco más del doble que la de un temblor de magnitud 3: es diez mil veces mayor.

Esta variación en la amplitud, que refleja la energía liberada en un terremoto, muestra claramente la necesidad de recurrir a los logaritmos para representarla en una escala.

El terremoto de mayor magnitud hasta ahora registrado en el planeta ocurrió en Valdivia (Chile) en 1960 y tuvo una magnitud de 9.5. Se han registrado otros devastadores como son el terremoto de Prince William Sound (Alaska) en 1964 con magnitud 9.2, el terremoto de Sumatra (Indonesia) de 2004 de magnitud 9.1, el terremoto de 1952 Kamchatka (Rusia) de magnitud 9 y el de Japón en 2011 de magnitud 9.1.

Mucho antes de que existiera la escala de Richter, el terremoto de Lisboa de 1755 —estimado entre 8.5 y 9 de magnitud según análisis modernos— mostró la fuerza descomunal que puede alcanzar un sismo. El movimiento telúrico se prolongó entre seis y siete minutos, tiempo suficiente para arrasar la ciudad, generar un tsunami y provocar incendios que se extendieron durante días. La energía liberada fue tan enorme que transformó por completo la geografía de la región y dejó registros que, siglos después, siguen asombrando a los sismólogos. Su devastación evidenció la importancia de contar con escalas que permitan comparar de manera rigurosa la magnitud de estos fenómenos.

La escala de Richter es abierta, es decir, no tiene un límite máximo y podrían registrarse terremotos de magnitudes superiores a las mencionadas. Como curiosidad, se estima que la extinción de los dinosaurios, hace unos 65 millones de años, fue consecuencia del impacto de un meteorito que liberó una energía descomunal, equivalente a la de un terremoto de magnitud 13.

La comprensión de estas escalas no es un ejercicio académico aislado: nos ayuda a interpretar con rigor los temblores que vivimos hoy. El sismo registrado ayer en Colombia, cuyo valor en la escala despertó numerosas preguntas, cobra un sentido distinto cuando recordamos que cada unidad en la escala de Richter representa un salto exponencial en la energía liberada. Lo que para algunos puede parecer un número más en un reporte sísmico es, en realidad, la medida precisa de un fenómeno natural cuya intensidad solo puede entenderse plenamente cuando reconocemos la naturaleza logarítmica de su magnitud.

@MantillaIgnacio

No obstante, creo que las matemáticas recreativas —sin necesidad de esforzarme en definirlas— surgen cuando se practican con gusto: cuando se acepta un desafío por el simple placer de resolverlo, de encontrar una solución sin perseguir una utilidad inmediata. Aparecen allí donde el problema se aborda con curiosidad y disfrute, más que con obligación.

Pero ese es, justamente, el punto central que debería buscarse en la enseñanza de las matemáticas. A muchos niños las matemáticas les resultan aburridas y difíciles; y lo que es peor, después de años de estudio —años de resolver ecuaciones por obligación y de seguir algoritmos para memorizar métodos de solución— queda flotando una pregunta inevitable: ¿y esto para qué sirve en la vida cotidiana? El problema es que, cuando la enseñanza se reduce al reforzamiento de procedimientos mecánicos, se aprende a repetir pasos, pero no a disfrutar proceso alguno. Se acumulan técnicas, pero no curiosidad. Y así, la pregunta sobre la utilidad termina eclipsando cualquier posibilidad de placer intelectual.

Este cuestionamiento es constante y difícil de rebatir, porque durante décadas se ha respondido apelando a justificaciones sobre la manera tradicional de enseñar matemáticas o recurriendo a reformas curriculares que rara vez transforman la experiencia real del aula. Los planes de estudio, concebidos como leyes que deben cumplirse, sirven de poco si no vienen acompañados de métodos nuevos que permitan superar el dilema de la utilidad de las matemáticas —y del conocimiento en general— en la vida cotidiana. La enseñanza cambia cuando se modifica la forma de aproximarse a los problemas, cuando se reemplaza la repetición mecánica por la exploración, cuando el estudiante descubre que pensar puede ser más interesante que memorizar. Sin esa renovación metodológica, la pregunta «¿para qué sirve esto?» seguirá apareciendo, no porque las matemáticas carezcan de sentido, sino porque nunca se les permitió mostrarlo.

Creo que sólo si logramos que las matemáticas resulten verdaderamente recreativas para los niños —en el sentido mencionado arriba— los profesores dejarán de desgastarse intentando cumplir reformas curriculares que buscan convencer a sus alumnos de que las ecuaciones que aprenden hoy les serán útiles después del colegio. Si el estudiante descubre el placer de resolver un problema por curiosidad, por desafío o por juego intelectual, la necesidad de justificar la utilidad desaparece. La motivación ya no proviene de un futuro hipotético, sino del disfrute inmediato de pensar.

A través de redes como X (antes Twitter) he podido comprobar que esas matemáticas que, a mi modo de ver, son recreativas —porque las encuentro entretenidas y curiosas, aunque no estén vinculadas a grandes resultados ni a aplicaciones trascendentes— logran, en algunas personas que odiaron la materia en el colegio o la universidad, una inesperada reconciliación. Son personas que, después de años de desinterés y desgano, se dejaron tentar por un pequeño desafío asumido como simple entretenimiento, movidas únicamente por la curiosidad. Y esa actitud les ha permitido descubrir un encanto que nunca habían experimentado como estudiantes.

Estoy convencido de que la atracción por el azar, los acertijos y los juegos matemáticos no ha sido aprovechada en beneficio de la enseñanza, pese a que estos recursos son tan abundantes y antiguos como lo demuestra el De viribus quantitatis, escrito por el fraile y matemático italiano Luca Pacioli y publicado hace más de quinientos años, en 1508. Lo confirma también el Problèmes plaisants et délectables, del monje y matemático francés Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, publicado en 1624 y considerado el primer libro dedicado íntegramente a la matemática recreativa. Se trata de una colección de problemas —algunos ya presentes en obras anteriores, aunque dispersos— reunidos con la intención explícita de entretener, sorprender y despertar curiosidad.

La matemática recreativa ha tenido otros grandes pioneros. En 1694, Jacques Ozanam publicó sus Récréations mathématiques, reconocido como el primer título que emplea explícitamente la palabra recreación. Más tarde, en 1840, Edward Riddle presentó una edición ampliada de esta obra que alcanzó notable éxito. En 1882, Édouard Lucas publicó el primero de sus libros de juegos matemáticos recreativos; aficionado a la criptografía —un campo hoy de enorme desarrollo—, le debemos, entre otras contribuciones, el célebre problema de las Torres de Hanói. Esta tradición lúdica, tan antigua como la matemática misma, demuestra que el juego y el asombro no son adornos pedagógicos, sino puertas de entrada privilegiadas al pensamiento matemático.

Y cómo no mencionar al gran divulgador estadounidense Martin Gardner (1914–2010), prolífico autor de libros, columnas y artículos sobre magia, azar y juegos matemáticos. Su trabajo alcanzó una popularidad extraordinaria y ha llevado a afirmar que Gardner fue capaz de convertir a miles de niños en matemáticos y a miles de matemáticos en niños. Su capacidad para despertar asombro, para transformar un problema en un juego y un juego en una invitación a pensar, consolidó definitivamente la matemática recreativa como un puente entre la curiosidad y el rigor.

Sin preocuparme por su definición —como lo anoté antes—, estoy convencido de que la matemática recreativa puede devolverle a las matemáticas el encanto necesario para aprenderlas sin dolor.

Al incorporar el juego, la sorpresa y el desafío intelectual, la enseñanza deja de ser una repetición mecánica de fórmulas y se convierte en una exploración creativa. Este enfoque no solo facilita la comprensión, sino que transforma la relación del estudiante con la disciplina: la matemática deja de ser un obstáculo y se convierte en un territorio para descubrir, imaginar y disfrutar.

A mi modo de ver, ese es el condimento que transformaría el plato: el toque que permitiría que las matemáticas se sirvan bien y se disfruten desde la infancia. Es, por decirlo de algún modo, el ají de una empanada: el picante justo que despierta el apetito y convierte algo común en una experiencia memorable.

@MantillaIgnacio

Pero hay una expresión menos conocida, usada principalmente en Bogotá, cuyo origen resulta especialmente interesante, pues su difusión se popularizó a raíz de un acontecimiento provocado por un fenómeno natural. En efecto, la expresión «eso es de los tiempos del ruido», que los capitalinos emplean con el mismo propósito mencionado antes, se ha transmitido de generación en generación y se ha incorporado al lenguaje popular tras un suceso ocurrido el 9 de marzo de 1687, a las diez de la noche, en la apacible villa de Santafé de Bogotá.

Aunque la tradición oral bogotana seguramente ha añadido con el tiempo algunas leyendas alrededor de lo ocurrido, el hecho fue registrado por el sacerdote jesuita Pedro de Mercado en 1691 y difundido posteriormente por los también jesuitas y cronistas Juan Ribero (1728) y Joseph Cassani (1741). Trataré de resumir aquí esa interesante narración.

Dicen los sacerdotes jesuitas que era un día domingo en el que, a esa hora de la noche, no había ni siquiera una nube y el cielo ofrecía un espectáculo maravilloso con todas sus estrellas. En medio del descanso y la tranquilidad reinantes, de repente se escuchó en la ciudad de Santafé —y en las poblaciones circunvecinas, por muchas leguas a la redonda— un estruendo tan horrible y aterrador que los habitantes de la villa colonial entraron en pánico y huyeron de sus casas, todavía con sus ropas de dormir, por las calles destapadas. La mayoría se refugió en los claustros religiosos, donde permanecieron varios días orando y ayunando, temiendo la llegada de una legión de demonios.

El ruido se escuchó durante quince minutos, aunque otros aseguran que duró media hora. Se sintieron tres explosiones. Los cronistas relatan: «No hubo persona que no se espantase, y que no lo oyese: al primer golpe dudaron, todos al segundo temieron: al tercero se aterraron, y con la perseverancia salieron de sí, y aún de sus casas, y aún de la ciudad. Lo más singular fue, que todo el tiempo que duró este rumor, se esparció por el aire un pestilencial hedor de azufre, que ofendía al sentido…».

El ensordecedor ruido terminó aquella misma noche y nunca volvió a presentarse, mientras que el olor a azufre permaneció durante algunos días más sobre la sabana de Bogotá. El acontecimiento fue comparado por los cronistas jesuitas con el día del juicio final descrito en la Biblia. Dicen que «no es fácil referirse a la confusión y el susto de esa noche de pánico, en la que todas las personas salieron de sus casas por temor a su colapso. Algunos medio vestidos, otros completamente desnudos porque ya estaban en la cama, y todos clamando misericordia, corrían sin dirección a través de las calles oscuras. Los habitantes clamaban al cielo, con el temor genuino de estar sufriendo un castigo de Dios».

Esa noche, añaden los cronistas, reinó la confusión y el miedo. «Los lugares santos estaban llenos de habitantes aturdidos que querían confesar sus pecados. Las confesiones duraron más de ocho días: se reconstruyeron los matrimonios, se saldaron las deudas y se resolvieron conflictos… En las creencias populares se asociaba el olor a azufre con la presencia de demonios y con el olor del infierno».

También Gabo, en El otoño del patriarca, hace mención al suceso de este misterioso ruido. Este ejemplo —no el único— de creencias apocalípticas empleadas para explicar hechos desconocidos fue estudiado hace algunos años por mi colega Gregorio Portilla, profesor del Observatorio Astronómico Nacional, en un artículo publicado junto con Fredy Moreno en la Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, vol. 30, núm. 116 (2006), bajo el título «Hipótesis astronómica al misterioso “ruido” escuchado en Santafé de Bogotá el domingo 9 de marzo de 1687».

Aclara el profesor Portilla que «este fenómeno generó tan profunda impresión en los testigos del evento que modificó notablemente las costumbres de los habitantes. Creó la efemérides, vigente por muchos años, de descubrir en las iglesias cada 9 de marzo el Santo Sacramento… Por ausencia de registro se deduce que no causó movimiento sísmico, incendio, inundación, deslizamiento de tierra, tormenta, ni produjo heridos ni muertos».

Y pasa entonces a ofrecer su explicación desde la astronomía, indicando que el causante del ruido fue un meteoroide —un pequeño asteroide— que, al ingresar a la atmósfera, genera intensas ondas de choque. La desintegración final pudo haber producido sucesivos estruendos de gran intensidad, pues hoy se sabe que objetos de entre 1 y 10 metros de diámetro causan efectos muy semejantes a los descritos en el relato. La entrada de estos cuerpos extraterrestres suele venir acompañada de fuertes detonaciones, fenómenos luminosos, lluvia de pequeñas rocas y olores penetrantes de tipo azufrado.

La hipótesis planteada por el profesor Portilla no elimina todas las dudas y, en efecto, admite una discusión interesante. Como él mismo señala, nadie reportó haber visto el fenómeno luminoso que suele acompañar la entrada de estos cuerpos, ni se encontraron meteoritos en el suelo. No obstante, el propio Portilla recuerda que, en el 85 % de los casos, se escuchan explosiones, mientras que solo en el 55 % de las caídas de meteoritos se observa el fenómeno luminoso. Además, abundan los casos en los que los meteoroides se consumen por completo en la atmósfera sin que fragmentos lleguen al suelo.

Cuando usemos la expresión «de los tiempos del ruido» para referirnos a algo muy antiguo, pasado de moda o irrepetible, conviene recordar que su origen está ligado a un fenómeno natural que, según la ciencia, tiene una alta probabilidad de repetirse. En otras palabras, aquello que los bogotanos evocan como un suceso remoto y casi mítico no pertenece únicamente al pasado: los meteoroides que generan estruendos semejantes siguen entrando en la atmósfera con relativa frecuencia. Así, cada vez que pronunciemos la expresión, sabremos que ese «ruido» podría, en cualquier momento, volver a escucharse en nuestros propios tiempos.

@MantillaIgnacio

Enseñanza tradicional en 1960

Un campesino vende una carga de café por 500 pesos. La carga equivale a 10 arrobas (125 kilos) y, en el exterior, la arroba se paga a 4 dólares. ¿Cuánto gana el intermediario si el tipo de cambio es de 20 pesos por dólar?

Enseñanza estructurada en 1965

Un campesino vende una carga de café por 750 pesos. La carga equivale a 10 arrobas (125 kilos). Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuánto cuesta producir una arroba?

Enseñanza motivadora en 1970

Un campesino vende una carga de café por 1000 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuánto ganaría el campesino si vende dos cargas?

Enseñanza clara en 1975

Un campesino vende una carga de café por 2500 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuál es su ganancia?

Enseñanza reflexiva en 1980

Un campesino vende una carga de café por 5000 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta, es decir, 4000 pesos. ¿Cuál es su ganancia?

Enseñanza significativa en 1985

Un agricultor comercializa una carga de café. Sus gastos de producción ascienden a 5000 pesos y su ganancia es de 1000 pesos ¿en cuánto comercializó el café?

Enseñanza organizada en 1990

Un agricultor comercializa una carga de café. La carga tiene 10 arrobas, que equivalen a 125 kilos. ¿Cuántos kilos tiene una arroba?

Enseñanza innovadora en 1995

Ahora los profesores de matemáticas se ven obligados a reforzar la teoría de conjuntos.

Un agricultor intercambia un conjunto C de arrobas de café, cuyo cardinal es 10, por un conjunto P de miles de pesos. ¿Cuál es el cardinal de P si el agricultor recibe 10 miles de pesos?

Enseñanza sistemática en 2000

Un agricultor intercambia un conjunto C, que contiene 10 arrobas de café, por un conjunto P, que contiene 10 paquetes de billetes. Dibuja cada conjunto utilizando puntos negros para las arrobas y puntos rojos para los paquetes de billetes.

Enseñanza metódica en 2005

Las matemáticas deben dejar enseñanzas de conteo.

Un agricultor comercializa cargas de café. Cada carga tiene 10 arrobas. Subraya las palabras cargas y arroba. ¿Cuántas letras iguales contienen?

Enseñanza didáctica en 2010

Un agricultor comercializa cargas de café. Cada carga tiene 10 arrobas. Escribe en forma vertical las palabras cargas y arroba y dibuja flechas que unan las letras iguales.

Enseñanza conceptual en 2015

Un agricultor comercializa su café. Escribe la palabra a‑g‑r‑i‑c‑u‑l‑t‑o‑r. ¿Cuántas letras tiene?

Enseñanza dirigida en 2020

Las matemáticas deben trascender al estudiante mediante proyectos de aprendizaje en todas las áreas.
Actividades de investigación interdisciplinaria a partir de la afirmación:

“Existe un agricultor que comercializa café”.

Matemáticas: Escribe la palabra agricultor tres veces seguidas y usa la calculadora para contar cuántas letras hay. 

Economía: ¿Dónde se puede comprar café? 

Lenguaje: ¿Por qué la palabra café lleva tilde? 

Ciencias: ¿El café es un vegetal o un mineral? Justifica tu respuesta.

Geografía: ¿Dónde se cultiva café? No se permite el uso de Google.

Derecho: ¿Es lícito cultivar café? 

Tecnología: ¿Cómo suena una cafetera cuando prepara el café? 

Sociología: ¿Qué papel juega el café en la vida social? ¿Es bebida, ritual, excusa para conversar, o simplemente un estimulante emocional?

Medicina: ¿Altera los nervios el café?

Química: ¿Por qué cambia de color el café si se le agrega leche?

Estadística: Si dos personas toman cuatro tazas de café al día, ¿cuántas tazas en promedio toma cada una?

Geometría: Dibuja una taza de café en forma cilíndrica

Ingeniería: Ponle una orejita al dibujo anterior

Psicología: Refuerzo para la toma de decisiones con personalidad: escribe lacalificación que debemos darte eligiendo un número entre 30 y 50: _ _. Recuerda que 50 > 30, esto significa que 50 es mayor que 30, o sea el número más grande es 50. Y para aprobar necesitas una calificación mayor que 30. Si te equivocaste por esta confusión puedes tachar y cambiar poniendo ahora la calificación que mereces.

Enseñanza analítica en 2026

Y llegamos a la actualidad en la que hay que combinar la lectura crítica y evitar el uso indebido de la IA.

Lectura crítica: el hacendado propietario de una finca cafetera es un latifundista, explotador e intermediario de las multinacionales; un individuo al servicio del capitalismo para enriquecerse comercializando café. Mientras tanto, el campesino trabaja de sol a sol y cultiva café. Mientras el campesino sí sabe qué es madrugar (su despertador es el gallo) y sí distingue entre una cereza madura y una que todavía está verde; el hacendado solo distingue entre “ganancia bruta” y “ganancia neta”, pero confunde la mata de café con un bonsái decorativo.

En las reuniones, el hacendado proclama solemnemente:

—“Sin mi gestión, este café no llegaría al mercado”.

Y el campesino piensa:

—“Sin mi trabajo, este café no llegaría ni a la mata”.

Responde las siguientes preguntas, pero antes:

1. Demuestra que eres un humano.
2. Responde y califica tus respuestas después de jurar que no has usado IA para contestar a los siguientes interrogantes planteados.

¿Dónde viven los gallos?

¿Madrugan todos los gallos?

¿Distinguen los gallos las cerezas maduras?

¿La mata de café es como un bonsái decorativo?

¿El campesino y el hacendado toman café cuando canta el gallo?

@MantillaIgnacio

El salto conceptual más notable llega con los números imaginarios y, en general, con los complejos, que amplían el ámbito de las soluciones posibles y permiten abordar problemas más generales. Cada nuevo conjunto numérico no reemplaza a los anteriores: los contiene y los extiende.

Y dentro de todos esos conjuntos existen algunos subconjuntos que despiertan especial interés, como es el caso de los números primos, y otros menos famosos, como el de los trascendentes, pero también los hay bastante curiosos y menos conocidos. De uno de estos últimos justamente les quiero hablar en esta nota. Se trata de los Conjuntos de Sidon, que son los conjuntos de números enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. 

Por ejemplo, el conjunto

$\{1, 3, 5, 11, 15, 22\}$

no es un conjunto de Sidon, pues aparecen sumas repetidas de dos elementos del conjunto:

$1 + 15 = 5 + 11.$

En cambio, el conjunto

$\{1, 2, 4, 8, 13, 21\}$

sí es un conjunto de Sidon, porque todas las sumas de dos de sus elementos son distintas entre sí. Estos conjuntos recibieron su nombre en honor al matemático húngaro Simon Sidon, quien introdujo este concepto en el contexto de sus investigaciones sobre las series de Fourier.

En 1932, Sidon planteó a uno de sus alumnos —quien más tarde se convertiría en el destacado matemático Paul Erdős— el siguiente problema:

¿Cuál es el mayor tamaño posible de un conjunto de números enteros positivos, todos ellos menores que un número dado, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto sean distintas entre sí?

Este problema aritmético, con un marcado sabor combinatorio, cautivó al joven Erdős y se convirtió desde entonces en uno de sus temas recurrentes de investigación. Construir conjuntos de Sidon no es difícil; lo verdaderamente interesante es hacerlo, tal como plantea el problema, con el mayor número posible de elementos.

Si intentamos, por ejemplo, seleccionar la mayor cantidad de enteros positivos entre los 35 primeros de manera que todas las sumas de dos de ellos sean distintas, no tendremos dificultad en elegir unos pocos, pero las restricciones se vuelven cada vez más severas a medida que añadimos nuevos elementos. Para este caso —los 35 primeros enteros positivos— puede demostrarse que el conjunto

$\{1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35\}$,

de solo ocho elementos, es un conjunto de Sidon de tamaño máximo.

Existe una cota muy fácil de recordar para el tamaño máximo de los conjuntos de Sidon cuyos elementos son menores que un número $n$. Es decir, para estimar cuántos enteros positivos pueden elegirse entre los primeros $n$ de modo que todas las sumas de dos de ellos sean distintas. Aunque su demostración escapa al alcance de esta nota, la cota puede expresarse de manera muy compacta como:

$|A| \leq \sqrt{2n} + 1$.

Una cota más refinada se obtiene mediante

$|A| \leq \sqrt{n} + \sqrt[4]{n} + 1,$

que ajusta mejor el crecimiento real del tamaño máximo de estos conjuntos.

Desde la aparición de estos conjuntos surgió de inmediato la pregunta por su posible generalización: qué ocurre si se permite que haya dos sumas iguales, o incluso tres. Este problema, que permaneció abierto durante casi ochenta años, fue resuelto en 2010 por tres matemáticos: los españoles Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, y el húngaro Imre Ruzsa.

Recientemente se han encontrado aplicaciones de los conjuntos de Sidon en las telecomunicaciones, en particular en el diseño de radares, sonares y detectores de señales que pueden identificarse mediante cambios de frecuencia. 

Los conjuntos de Sidon son un buen ejemplo de cómo ciertos conceptos matemáticos, surgidos de preguntas puramente teóricas, pueden desarrollarse hasta generar trabajos profundos y, al mismo tiempo, aplicaciones insospechadas.

@MantillaIgnacio

Un ejemplo de este fenómeno es el que quiero compartirles, subrayando que, en matemáticas, incluso cuando un anuncio no sea estrictamente falso, presentar como profundo lo que en realidad es trivial constituye también una forma de engaño. Esa estrategia puede inducir a los incautos a elevar a la categoría de teorema lo que no pasa de ser un simple ejemplo, generando una ilusión de descubrimiento donde no la hay.

Un interés especial dentro de la comunidad matemática ha sido, desde hace siglos, el deseo de contar con un generador de números primos, como si fuera posible construir o descubrir una máquina capaz de producirlos todos —o al menos una cantidad significativa— de manera sistemática. La idea resulta seductora: un mecanismo que, introduciendo ciertos parámetros, entregue una sucesión inagotable de primos sin necesidad de recurrir a pruebas de divisibilidad ni a algoritmos complejos. Sin embargo, esa aspiración ha chocado una y otra vez con la realidad matemática: aunque existen fórmulas y procedimientos que generan algunos primos, ninguno de ellos produce todos los primos ni evita la aparición de números compuestos; es decir, números que no son primos.

Hace un tiempo me encontré con un mensaje en una red social que literalmente decía:

“$x^{2} – 2999x + 2248541 \text{ produces 80 primes from } x = 1460 \text{ to } 1539$“.

Por supuesto, mi interés en ese anuncio me llevó a examinar el polinomio y a verificar tan sorprendente afirmación. Ese ejercicio, y lo que descubrí al hacerlo, fue precisamente lo que me motivó a escribir este artículo.

Empiezo por recordar que fue Leonhard Euler (1707–1783) quien dio a conocer el siguiente sencillo polinomio de segundo grado, con coeficientes enteros,

$P(n) = n^{2} + n + 41$

el cual genera 40 números primos distintos cuando $n$ toma valores desde 0 hasta 39. Durante mucho tiempo no se conoció ningún polinomio cuadrático que superara ese registro, hasta que G. Fung y R. Ruby descubrieron en 1990 el polinomio

$F(n) = 36n^{2} – 810n + 2753$

que produce 45 primos para $0 \le n \le 44.$

Y, hasta donde yo sabía, no existía ningún polinomio de segundo grado con coeficientes enteros que generara más primos que este último. Por eso, encontrarme con el anuncio de un polinomio que supuestamente produce 80 números primos resultaba, al menos en apariencia, un avance extraordinario, más aún considerando que incluso se han organizado concursos en internet dedicados a buscar polinomios generadores de números primos.

Pero no es así. En realidad, aunque el anuncio no contiene ninguna falsedad explícita, sí resulta engañoso: efectivamente, el polinomio produce 80 números primos, pero no 80 primos distintos. Lo que hace es generar dos veces los mismos 40 primos que ya produce el polinomio de Euler. La secuencia completa no es más que una lista simétrica:

$1601,\, 1523,\, 1447,\, \ldots,\, 47,\, 43,\, 41,\, 41,\, 43,\, 47,\, \ldots,\, 1447,\, 1523,\, 1601.$

Y, además, esto no tiene nada de especial. De hecho, se observa fácilmente que un polinomio aún más simple que el anunciado —el propio polinomio de Euler con dos signos cambiados— también genera esos mismos 80 valores primos. Se trata de

$Q(n) = n^{2} – n – 41,$

y basta con tomar $n$ entre $-39$ y $40$ para obtener exactamente la misma lista duplicada.

Pero aprovecho para mencionar que la simetría aparece por una razón matemática muy simple y muy bonita: el polinomio es cuadrático y su eje de simetría pasa exactamente por el punto medio del intervalo donde se evalúa. Eso hace que los valores que produce al evaluar $n$ y al evaluar su «reflejo» respecto a ese eje sean idénticos.

En el caso del polinomio

$Q(n) = n^{2} – n – 41,$

su eje de simetría está en

$n = \frac{1}{2},$

y el intervalo que consideramos,

$-39 \le n \le 40,$

está perfectamente centrado en 0.5. Por ello, $Q(n)$ y $Q(1-n)$ producen el mismo valor, duplicando así los 40 primos del polinomio de Euler.

La “magia” no está en el polinomio, sino en la simetría del intervalo. Cualquier polinomio cuadrático que replique los valores de Euler y se evalúe en un intervalo simétrico producirá exactamente el mismo efecto: duplicar los mismos 40 primos conocidos.

Y es fácil construir tantos polinomios como se quiera con esta misma propiedad. Basta reemplazar $n$ por $(n-a)$ en el polinomio de Euler, para cualquier número $a \ge 1$. Por ejemplo, si tomamos $a=40$, obtenemos el polinomio

$R(n) = n^{2} – 79n + 1601,$

el cual arroja los mismos 80 números primos cuando $n$ toma valores desde 0 hasta 79.

Por lo tanto, el polinomio citado al inicio —presentado como una gran noticia— no es más que uno entre los infinitos que pueden construirse con esa misma propiedad. En efecto, basta elegir $a = 1500$ en el procedimiento antes descrito para obtener exactamente el polinomio del anuncio.

Para complementar la información sobre el tema, conviene añadir que en la búsqueda de este tipo de polinomios aparecen los llamados «números afortunados de Euler»: números enteros positivos $m$ que cumplen la condición de que, para todos los enteros positivos $k<m$, el polinomio

$k^{2} – k + m$

produce un número primo. Se puede demostrar que los «números afortunados de Euler» son únicamente seis:

$2,\; 3,\; 5,\; 11,\; 17,\; 41.$

La verificación para $m=3$ por ejemplo, se hace con los valores de $k = 1,\; 2.$

1. Para $k=1$
   
   $1^{2} – 1 + 3 = 1 – 1 + 3 = 3.$
   
   3 es primo.
   
2. Para $k=2$
   
   $2^{2} – 2 + 3 = 4 – 2 + 3 = 5.$
   
   $5$ es primo.

Como ambos valores obtenidos son primos, queda verificado que $m=3$ es efectivamente un número afortunado de Euler.

Una pregunta natural es si puede existir un polinomio no constante, con coeficientes enteros, que tome exclusivamente valores primos. La respuesta es no: cualquier polinomio de ese tipo, si se evalúa en todos los enteros, necesariamente produce infinitos valores compuestos.

Por lo tanto, la aparición de fake news matemáticas que prometen maravillas —como polinomios «milagrosos» que generan grandes cantidades de números primos— no debe engañarnos.

La matemática es sutil, pero también implacable: lo que parece un milagro casi nunca pasa de ser una ilusión.

@MantillaIgnacio

•  “Decir la verdad es siempre revolucionario”: Antonio Gramcsi, filósofo italiano.

Hay quienes piensan, yo entre ellos, que el mundo sería mejor si lo condujeran los filósofos en vez de los políticos. Detrás de los grandes desastres del mundo, oh sorpresa, hay siempre un político. Pocos encarnan la dimensión humanística del filósofo. Tan pocos que en Colombia apenas hemos tenido cuatro presidentes con formación filosófica: Miguel Antonio Caro, Marco Fidel Suárez, Eduardo Santos, y Carlos Lleras Restrepo. De resultar elegido, Iván Cepeda Castro sería el quinto. Y ya saben lo que se dice en estos casos.

El otro día, en una cafetería bogotana, conversé con Fabián Rodolfo Acosta Sánchez, un bogotano de 64 años, profesor de Filosofía de la Universidad Nacional y amigo de adolescencia y juventud de Iván Cepeda. Ambos se criaron en el ambiente proletario de la localidad de Kennedy de los años 70.  Se conocieron en el Colegio El Politek, que pertenecía a la Universidad Incca de Colombia.

Aquel muchachito, que ya manifestaba inquietudes políticas, era el típico estudiante juicioso, apasionado por las ciencias sociales, vestido de pantalón gris, saco azul, camisa blanca y zapatos negros.“Desde mi casa, lo veía pasar con la hermana; ya en el colegio, las horas se nos iban en hablar de política. Recuerdo que la decana Maruja García de Córdoba, promovía el debate político al interior del colegio y el respeto por las diferencias de posiciones”. La universidad tenía una decanatura especial para El Politek.

Con el tiempo, Iván Cepeda se convirtió en profesor de Filosofía de las universidades Incca y Javeriana. El profesor Acosta recuerda que la Incca fue fundada por Jaime Quijano Caballero, socialista como su padre, el escritor bogotano Joaquín Quijano Mantilla, quien fue embajador de Colombia en la Alemania Nazi; de hecho, estudió con el célebre filósofo alemán Nicolai Hartmann. “Esa tendencia socialista se reflejaba, parcial o plenamente, en otras universidades bogotanas como la Javeriana, los Andes, la Central y la Autónoma”, recuerda Fabián Acosta. 

En la Universidad INCCA floreció un grupo inquieto por los filósofos clásicos y la filosofía colombiana. Venían pensadores importantes como el argentino Enrique Dussel, y grande fue la influencia de Antonio Gramsci, el filósofo italiano, y de Georg Lukács, el filósofo húngaro, uno de los pensadores más influyentes del siglo XX. “Discutíamos sobre el arte socialista disruptivo, el cine de Andréi Tarkovski, la literatura de Borís Pasternak, la poesía de Ósip Mandelshtam y toda la poesía rusa de la época”.

En calidad de catedráticos, y con otros autores, Iván Cepeda y Fabián Acosta escribieron el libro “Antonio Gramsci y la realidad colombiana”.

• “La idea de la cultura de la alteridad como ampliación de la democracia, puede sustituir efectivamente la nostalgia romántica o las utopías del pasado, por los programas totalizantes y dar lugar a que se exprese libremente la diversidad de la sociedad moderna”: Iván Cepeda, en el libro “Antonio Gramsci y la realidad colombiana”, página 142.

Los dos amigos

La amistad entre ellos se estrechó cuando, más grandecitos, formaron parte de la Juventud Comunista y se relacionaron con otras vertientes de la izquierda colombiana. 

No compartieron muchas fiestas, que entonces se hacían en las casas, pero sí muchos festivales culturales del periódico Voz, en los que brillaban las orquestas cubanas. Eran famosos los “chocolates charla” para echar carreta sobre política alrededor de la música, así como las peñas culturales, donde reinaban el teatro, la música y el cine. “En esa década asesinaron al presidente Salvador Allende en Chile y estábamos influenciados por la música de Víctor Jara y la nueva trova cubana”.

En Colombia, una noticia acaparó todos los titulares: el famoso Paro Cívico Nacional de 1977, con más de un millón de personas volcadas en las calles, y un saldo lamentable: “decenas de personas perdieron la vida, cientos resultaron heridas y miles fueron detenidas”. Cepeda y Acosta formaron parte del grupo de valientes muchachos que hicieron posible esta marcha histórica de la clase trabajadora contra el gobierno de Alfonso López Michelsen.

• “A pesar de la represión, el paro cívico de 1977 no fue en vano. Se consolidó como un punto de inflexión en la historia de la movilización social en Colombia. Mostró la capacidad de la sociedad para unirse y organizarse, incluso frente a la violencia estatal. A largo plazo, sentó un precedente para futuras protestas y luchas por los derechos sociales y laborales”, dice el Centro Nacional de Memoria Histórica.

Los dos amigos obtuvieron el título de Filosofía en la Universidad de Sofia en Bulgaria, una nación del sureste europeo, cuyo territorio formó parte de la Grecia antigua, especialmente Tracia, la tierra de Aristóteles.

Iván Cepeda con su compañero de estudios en Bulgaria, Fabián Acosta. Foto: Iana Pankova.

Cepeda soñaba convertirse en economista pero, seducido por la filosofía, cambió de opinión. Fueron cinco años de estudio profundo sobre la filosofía occidental y la filosofía antigua, y uno aprendiendo búlgaro. El candidato presidencial habla también griego moderno y además se especializó en Estudios Culturales en Europa.

“Vivíamos en la ciudad universitaria y nos pagaban, incluso por estudiar”, recuerda Acosta, quien desde la filosofía política ha dedicado los últimos veinte años a estudiar y entender el mundo cambiante de los jóvenes y sus frustraciones.

El mundo estaba en plena Guerra Fría y Bulgaria influenciada por la Unión Soviética. “Vimos el último pasaje de la existencia de los países de la llamada Cortina de Hierro antes de la caída del Muro de Berlín”, comenta.

Fabián regresó a Colombia a finales del año 86, Iván en 1987. Eran los tiempos de la Perestroika, Mijail Gorbachov y la URSS a punto de desintegrarse. En Colombia, esa década se recuerda con horror porque fue el comienzo de la persecución y exterminio de la Unión Patriótica. Cepeda enterró a dos de sus amigos entrañables, José Antequera (1989) y Bernardo Jaramillo Ossa (1990), antes de enterrar a su propio padre, el periodista y senador Manuel Cepeda Vargas (1994).

”Lo acompañé en el momento en que le tocó reconocer el cuerpo en Medicina Legal. Mataban mucha gente de la UP y no había cómo parar eso”, cuenta.

En ese punto, los dos amigos tomaron caminos diferentes. Fabián continuó en la vida universitaria e Iván dejó la cátedra para dedicarse en cuerpo y alma a buscar justicia para su padre y las demás víctimas del genocidio. Así nació el político, que este 21 de junio podría ser el nuevo mandatario de los colombianos.

“Fuimos grandes amigos. Iván es el padrino de mi matrimonio búlgaro”, dice el profesor, quien se casó con la licenciada en lenguas Iana Pankova. “Tenemos dos hijos que se criaron en Colombia; el mayor terminó Biología en la Nacional y el menor estudió Cine en Argentina”.

Esos años en Bulgaria, dice, se vivieron en un ambiente de mucha tertulia e intercambio de libros. “Le conocí una novia a Iván, pero no era el más noviero, muy aplomado sí. Lo recuerdo como una persona inteligente y aplicada en el estudio. Tenía un gusto exquisito por el cine. Se la podía pasar todo un día metido en un teatro viendo distintas películas”.

El filósofo Fabián Acosta, amigo de infancia y juventud de Iván Cepeda.

Iván, el filósofo

“La filosofía es sobre todo paciencia”, dice Fabián. “Iván ha mostrado, con su capacidad reflexiva y su escucha atenta, la vena paciente del filósofo. Esa creatividad suya para ofrecer otra visión del mundo, se verá reflejada en el modo de asumir el poder en caso de resultar elegido”, agrega.

Sin dudarlo, votará por él. “La filosofía del siglo XX habla de la otredad como ese otro totalmente distinto a uno. Iván tiene la virtud de reconocer al oponente y al contradictor. En un escenario de guerra y paz como el colombiano, el filósofo puede sugerir otras maneras de abordar esos problemas, que no sean el belicismo fácil que exacerba la violencia en vez de contenerla, abriendo caminos que lleven a más paz en vez de a más violencia”.

Le pregunto si cree que con un presidente como Iván Cepeda, Colombia iría por mejor camino.

“Que un filósofo gane el poder es ganar el poder para la filosofía. Es poner a pensar a los políticos sobre sus propios males, su capacidad destructiva al volver antagónico el mundo humano. Porque la política corrupta, malversadora y antiética genera un estado de cosas tal que nada se puede resolver. Un filósofo parado en el poder hará una pedagogía necesaria que impacte positivamente la vida institucional y remueva conciencias para transformar al país”.

 Considera que el discurso filosófico de Iván Cepeda es consecuente con su actuar. “Lo que él hace es seducir a la gente con la idea de que podemos vivir la vida política de una manera decente”.

Dice que si pudiera darle un consejo, le daría este: “Iván, no deje de mirar nunca el mundo humano que está por fuera del Estado”.

La elección de esta fecha como Día Internacional de las Matemáticas obedece a que, en muchos países, el 14 de marzo ya se celebraba como el Día π, escrito en el formato MM/DD con los números 3/14. En 2009, el Congreso de los Estados Unidos aprobó una resolución que declaró oficialmente el 14 de marzo como Día del Número π. El origen de esta conmemoración está, por tanto, ligado a la constante π = 3,1415926…; y, de manera significativa, coincide también con la fecha de nacimiento de Albert Einstein en 1879 y con la del fallecimiento de Stephen Hawking en 2018.

La expedición de resoluciones oficiales que declaran el Día Internacional de las Matemáticas y el Día π en la misma fecha trae a mi memoria una anécdota que deseo compartir: la sorprendente historia de un proyecto de ley que se hizo célebre por lo absurdo de su contenido, pues pretendía imponer una caprichosa aproximación de π. Este insólito proyecto estuvo a punto de ser aprobado en el Estado de Indiana (EE. UU.) a finales del siglo XIX.

En efecto, la historia comienza cuando el médico y matemático aficionado Edwin J. Goodwin propuso a Taylor I. Record, representante del condado de Posey en la Asamblea General de Indiana, presentar un proyecto de ley basado en lo que él denominaba “una nueva verdad matemática”. Esta supuesta contribución a la educación se ofrecía al Estado de Indiana para su uso gratuito, sin necesidad de pagar derechos de autor, siempre que fuese aceptada y adoptada oficialmente por la legislatura de 1897.

Dicho proyecto contenía una solución —naturalmente incorrecta— al problema de la cuadratura del círculo, cuya imposibilidad había sido demostrada en 1882 por el matemático alemán Ferdinand von Lindemann. Sin embargo, Edwin J. Goodwin logró convencer al representante de que había encontrado un método válido para cuadrar el círculo y que lo había demostrado. En su propuesta, el cociente entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro se expresaba como 

$4 \div \frac{5}{4}$, 

de modo que el valor de $\pi$ resultaba igual a 

$\frac{16}{5} = 3,2$.

Taylor I. Record presentó el proyecto, registrado con el número 246, y este fue aprobado de manera unánime por la Cámara de Representantes de la Asamblea General de Indiana: 67 votos a favor y ninguno en contra. El siguiente paso consistía en remitirlo al Senado estatal para su probable aprobación, dado el respaldo obtenido en la cámara baja, con lo cual se convertiría en ley. Una ley que, insólitamente, habría obligado a fijar el valor de $\pi$ con una sola cifra decimal.

“Si vivo diez años más, ojo con Goodwin. Mi descubrimiento revolucionará las matemáticas. Todos los astrónomos estaban equivocados”, declaró el propio médico Edwin J. Goodwin en una entrevista concedida al diario local Sun el mismo día en que el proyecto sería discutido en el Senado de Indiana.

Por fortuna, apareció casi de manera providencial el matemático Clarence Abiathar Waldo, quien había acudido a la sesión del Senado para gestionar el presupuesto anual de la Universidad de Purdue y de la Academia de Ciencias de Indiana. Al enterarse de que también se debatía un proyecto de ley relacionado con las matemáticas, decidió permanecer en la sala y escuchar atentamente.

Waldo, escandalizado, se negó a dialogar con el autor, afirmando que ya había conocido suficientes locos en su vida. Esa misma tarde explicó a los senadores el contenido del proyecto 246 y les hizo ver la barbaridad que supondría aprobar por ley la aproximación de $\pi$ como 3,2. Su intervención resultó decisiva: logró convencer a un número suficiente de legisladores para que desistieran, y el proyecto quedó pospuesto indefinidamente.

Goodwin no vivió diez años más: el 22 de junio de 1902 falleció a los 77 años. El diario local New Harmony News publicó entonces un obituario titulado “Fin de un hombre que quería beneficiar al mundo”.

Esta insólita anécdota revela cómo la irracionalidad de algunos parlamentarios puede llegar a convertir en “racional” al más constante de los irracionales.

@MantillaIgnacio

Contar bien es esencial. Y, aunque muchos lo consideran una tarea simple, en realidad el acto de contar encierra más sutilezas de las que parece. En realidad, existen numerosos problemas que requieren reflexión antes de responder apresuradamente. Un ejemplo clásico es el siguiente: si en una reunión diez personas se saludan estrechándose la mano, ¿cuántos apretones se realizan en total?

En este caso, para llegar a la respuesta correcta conviene razonar paso a paso. La primera persona estrecha la mano con las otras nueve; la segunda lo hace con ocho, pues el saludo con la primera ya fue contado; la tercera con siete, dado que los dos anteriores ya se registraron; y así sucesivamente: seis para la cuarta, cinco para la quinta, cuatro para la sexta, tres para la séptima, dos para la octava y uno para la novena. Los saludos de la décima persona ya quedaron incluidos en los anteriores.

En total:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

Por tanto, se realizan 45 apretones de mano.

Después de esta breve introducción, pasemos al tema del Mundial de Fútbol 2026, que está a punto de comenzar. El propósito ahora es determinar cuántos partidos se disputarán en el torneo. Antes de hacerlo, conviene recordar que en el último Mundial, celebrado en Catar en 2022, participaron 32 equipos; en cambio, esta vez serán 48 selecciones las que competirán.

En el Mundial pasado se conformaron 8 grupos de 4 equipos cada uno.

Cada grupo disputó un torneo de todos contra todos, y avanzaron a la siguiente ronda 16 equipos, es decir, los dos mejores de cada grupo. Estos equipos se organizaron en 8 parejas y, a partir de allí, el campeonato continuó bajo el formato de eliminación directa: el equipo que perdía quedaba eliminado.

En la ronda inicial, cada grupo de cuatro equipos disputó un torneo de todos contra todos. Siguiendo el razonamiento del ejemplo de los saludos, esto equivale a

3 + 2 + 1 = 6

partidos por grupo. En consecuencia, en la fase de grupos se jugaron:

6 x 8 = 48

partidos.

Posteriormente, para que quedara un único campeón, fue necesario eliminar a 15 de los 16 equipos clasificados, lo que implicó 15 partidos de eliminación directa. El desglose es el siguiente:

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, la fase de eliminación directa sumó:

8 + 4 + 2 + 1 = 15

partidos.

Además, suele disputarse el partido por el tercer puesto: 1 partido.

De este modo, el Mundial de Catar 2022 registró:

48 + 15 + 1 = 64

partidos disputados.

Se observa que $64 = 2^6$; es decir, en un torneo con $2^5 = 32$ equipos se disputan $2^{5+1}$ partidos. Surge entonces la pregunta de si puede generalizarse la fórmula 

$2^{n+1}$

para un torneo con $2^n$ equipos. 

Veamos: 

Si fuesen $2^n$ equipos, entonces se formarían $2^{\,n-2}$ grupos de 4, cada uno con 6 partidos. El total de la fase inicial sería:

$2^{\,n-2} \cdot 6 = 3 \cdot 2^{\,n-1}.$

En la fase de eliminación directa, de los $2^n$ equipos iniciales debe surgir un campeón. Como ya se ha eliminado a la mitad de ellos, esto implica disputar el siguiente número de partidos:

$\frac{2^n}{2} – 1 = 2^{\,n-1} – 1$.

Por lo tanto, el número total de partidos sería:

$3 \cdot 2^{\,n-1} + (2^{\,n-1} – 1) = 4 \cdot 2^{\,n-1} – 1 = 2^{\,n+1} – 1.$

Si además se incluye el partido por el tercer lugar, el total asciende a:

$2^{\,n+1}$

partidos. Por lo tanto, en los torneos con $2^n$ equipos se disputan en total $2^{\,n+1}$ partidos.

Pero el Campeonato Mundial de 2026, que se disputará en México, Estados Unidos y Canadá, contará con 48 equipos, un número que no responde a la forma $2^n$, lo que modifica la fórmula anterior. En efecto, el Consejo de la FIFA aprobó un formato consistente en una fase inicial de 12 grupos de cuatro equipos, de los cuales clasificarán el primero y el segundo de cada grupo. A ellos se sumarán los ocho mejores terceros para completar la etapa de dieciseisavos de final (ronda de 32 equipos). De este modo, el equipo que se consagre campeón deberá disputar ocho partidos, en lugar de siete como ocurría en las últimas ediciones.

Veamos cuántos partidos se disputarán en total.

En la fase inicial, cada grupo de cuatro equipos jugará un torneo de todos contra todos. Siguiendo el mismo razonamiento, se disputarán 6 partidos por grupo, lo que da un total de:

6 x 12 = 72

partidos en la primera fase.

En la etapa posterior a la fase de grupos, clasificarán 32 equipos: los dos primeros de cada grupo más los ocho mejores terceros. Con ellos se inicia la fase de eliminación directa —la llamada ronda de 32—, que en conjunto comprende 32 partidos, incluyendo el encuentro por el tercer puesto. El desglose es el siguiente:

Dieciseisavos de final (32 equipos): 16 partidos

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, esta fase suma 31 partidos, que al añadir el partido por el tercer lugar ascienden a 32.

El resultado global es entonces:

Fase de grupos: 72 partidos

Eliminación directa y tercer puesto: 32 partidos

Total: 72 + 32 = 104 partidos

De este modo, el Mundial 2026 será el primero en la historia con más de 100 partidos disputados.

Si observamos que $48 = 32 + 16 = 2^5 + 2^4$, podemos deducir una fórmula general para un torneo con

$2^n + 2^{\,n-1}$

equipos.

Siguiendo el mismo razonamiento que antes, el número total de partidos se obtiene de la suma de dos componentes:

Fase de grupos: cada grupo está formado por 4 equipos, y en un torneo de todos contra todos se disputan 6 partidos, como ya hemos visto. El número de grupos es:

$\frac{2^n + 2^{n-1}}{4} = \frac{2^n + 2^{n-1}}{2^2} = 2^{-2}(2^n + 2^{n-1}) = 2^{n-2} + 2^{n-3} = (2 + 1) \cdot 2^{n-3} = 3 \cdot 2^{n-3}$.

Por lo tanto, el total de partidos en la fase de grupos es:

$6 \cdot \left(3 \cdot 2^{\,n-3}\right) = 18 \cdot 2^{\,n-3} = 9 \cdot 2^{\,n-2}$.

Eliminación directa más partido por el tercer puesto: en esta fase participan $2^n$ equipos que corresponden a los dos mejores de cada grupo, o sea $3 \cdot 2^{\,n-2}$ y los $2^{n-2}$ mejores terceros. Con este número de equipos, la fase de eliminación directa requiere $2^n – 1$ partidos para determinar al campeón; al añadir el encuentro por el tercer puesto, el total asciende exactamente a $2^n$ partidos.

En consecuencia, el total de partidos es:

$9 \cdot 2^{\,n-2} + 2^n = 2^{\,n-2}(9 + 4) = 13 \cdot 2^{\,n-2}.$

Para el Campeonato Mundial de 2026, con $n=5$, se comprueba que el total de partidos asciende a 104.

Como puede advertirse, las matemáticas están presentes en todos los ámbitos; también se harán visibles en múltiples aspectos relacionados con el fútbol y con el torneo mundial que comenzará el próximo 11 de junio. Y si decides participar en una polla, antes de apostar recurre a la probabilidad y a la estadística como tus mejores consejeras.

@MantillaIgnacio