El resultado por el que Arrow es más conocido se denomina teorema de imposibilidad de Arrow, enmarcado en un campo de investigación situado entre las matemáticas y la economía: la teoría de la elección social, desarrollada a partir de su libro de 1951 Social Choice and Individual Values.

El teorema de imposibilidad de Arrow aborda el problema de elegir una opción dentro de un conjunto de alternativas mediante métodos basados en las preferencias individuales, que se transforman en una única preferencia colectiva. Un ejemplo típico es la elección de un representante de una comunidad cuando existen tres o más candidatos.

El significado fundamental del resultado de Arrow es que, sean cuales sean los detalles precisos del mecanismo de selección, resulta imposible que el procedimiento satisfaga simultáneamente ciertas condiciones que, consideradas de manera aislada, parecen naturales e irrenunciables. Esto implica que no existe sistema de elección capaz de evitar, en algún caso, resultados abiertamente contrarios a los fines que el propio diseño del mecanismo pretendía alcanzar.

Estas consecuencias pueden aparecer en determinadas situaciones, y aunque podamos evitarlas mediante una modificación del sistema de selección, al desaparecer las que se pretendía eliminar, inevitablemente surgen otras consecuencias indeseables.

Ante la pregunta de si es posible encontrar un sistema óptimo para establecer la preferencia colectiva —donde cada individuo debe poder ordenar, según su criterio, las opciones de su preferencia—, el teorema de Arrow ofrece una respuesta categórica: no existe sistema alguno capaz de satisfacer simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Universalidad: el sistema produce siempre un resultado para la preferencia colectiva, sean cuales sean las preferencias individuales.
   
2. Unanimidad (eficiencia de pareto): Si para todos los electores A es preferible a B, entonces la elección no puede recaer en B.
   
3. Independencia de alternativas irrelevantes: el resultado no debe depender de las preferencias de los electores por alternativas que ya no están en juego. Si se elimina una opción, el orden de las demás, no excluidas, debe mantenerse.
   
4. Ausencia de dictadores: el sistema garantiza que no exista ningún elector —denominado en este contexto “dictador”— cuyas preferencias coincidan siempre con el resultado, independientemente de las preferencias de los demás.

Originalmente, el enunciado del teorema de Arrow afirma lo siguiente:

“Todo sistema de establecimiento de preferencias colectivas que satisfaga las propiedades 1, 2 y 3 anteriores necesariamente tiene un dictador.”

Esto significa que las condiciones 1, 2 y 3 constituyen requerimientos mínimos de democracia.

Naturalmente, el teorema de imposibilidad de Arrow conduce a paradojas. Consideremos el siguiente ejemplo: los votantes, integrantes de un congreso compuesto por 99 miembros, ordenan sus preferencias entre tres proyectos de desarrollo vial A, B y C, clasificándolos de mejor a peor para decidir cuál de los tres será aprobado. Supongamos que el resultado es el siguiente:

33 votos: A > B > C. Es decir, un tercio del congreso prefiere el proyecto A sobre B, y B sobre C.

33 votos: B > C > A. Otro tercio prefiere B sobre C, y C sobre A.

33 votos: C > A > B. Finalmente, el último tercio prefiere C sobre A, y A sobre B.

En este escenario, al comparar por pares:

A es preferido sobre B (66 votos contra 33).

B es preferido sobre C (66 votos contra 33).

C es preferido sobre A (66 votos contra 33).

Esto presenta un resultado paradójico: 

A > B > C > A.

Es decir, no existe un ganador claro, y el sistema de votación arroja un desenlace contradictorio con la idea de una preferencia colectiva coherente.

No obstante, las paradojas solo aparecen cuando existen tres o más alternativas. A pesar de las implicaciones del teorema, los métodos de votación entre dos opciones no presentan dificultad; y esta es una de las razones por las que se recurre con frecuencia a la eliminación de múltiples alternativas hasta reducir la decisión únicamente a dos. Decidir entre múltiples candidatos cuál goza de mayor favorabilidad conduce a situaciones paradójicas que no se producen cuando únicamente se enfrentan dos candidatos.

El teorema de imposibilidad de Arrow revela los desafíos inherentes a los sistemas de votación basados en el orden de las preferencias, al mostrar que ningún método puede satisfacer simultáneamente todas las condiciones clave de equidad, y pone de relieve las paradojas que entraña la búsqueda de un sistema de elección colectiva perfecto. Se trata de un concepto fundamental en la teoría de la elección social, que subraya la complejidad y los desafíos de la toma de decisiones colectivas.

Gracias a esta investigación, en 1972 Arrow se convirtió en la persona más joven en recibir el Premio Nobel de Economía.

@MantillaIgnacio

La familia está conformada por los padres, ya mayores, junto con su hijo y la esposa de este. Tras avanzar por un estrecho camino abandonado, que el padre conocía desde su infancia, han logrado alcanzar la frontera y, ya entrada la noche, deben cruzar un puente para ponerse a salvo en el país vecino.

La oscuridad de la noche obliga a utilizar una linterna para cruzar. Por fortuna, la familia dispone de una, incluida por la madre en el equipaje a última hora, antes de abandonar la casa con premura. La luz resulta imprescindible para alcanzar el otro lado, pues todo está en penumbras y el puente se encuentra en mal estado.

Adicionalmente, la familia enfrenta varios inconvenientes: la persecución a la que está sometida les concede únicamente quince minutos para atravesar el puente. Por otra parte, debido a su estado y estrechez, este solo soporta el paso de dos personas al mismo tiempo. Considerando las limitaciones físicas y el cansancio, el padre requiere 5  minutos para cruzar, la madre necesita 8, mientras que el hijo lo logra en apenas 1 minuto y su esposa en 2.

Como se indicó previamente, el puente solo soporta el paso de dos personas a la vez, y cuando avanzan juntas lo hacen al ritmo del más lento. La linterna no puede lanzarse de un extremo al otro, de modo que cada vez que dos personas crucen, alguien debe regresar con ella para acompañar a quienes aún esperan. Este procedimiento debe repetirse hasta que todos hayan alcanzado el otro lado.

¿Lograrán atravesar todos en 15 minutos o menos tiempo?

Una estrategia que parece lógica es que el más rápido de la familia, el hijo (H), sea quien acompañe a cada uno de los demás a través del puente. Procedamos primero con los más veloces, siguiendo estos pasos: 

Primer paso: El padre (P), la madre (M), el hijo (H) y la esposa (E) se ubican a la entrada del puente.

Segundo paso: H y E cruzan el puente al ritmo del más lento —el de E—, de modo que demoran 2 minutos en alcanzar la otra orilla.

Tercer paso: E permanece esperando a los demás, mientras H regresa al punto de partida con la linterna; lo hace en 1 minuto, de manera que en total han transcurrido 3 minutos.

Cuarto paso: H y P cruzan ahora el puente, pero necesitan 5 minutos, que es el tiempo requerido por P; al llegar a la otra orilla y reunirse con E, habrán transcurrido en total 8 minutos desde el inicio.

Quinto paso: Como antes, H regresa al punto de origen en 1 minuto y se reencuentra con M, la más lenta del grupo. Para ese momento ya han transcurrido 9 minutos.

Sexto paso: Cuando M y H intentan cruzar el puente, la linterna se agota antes de conseguir el objetivo, pues necesitarían 8 minutos y, desde el inicio, sumarían 17 minutos.

Por lo tanto, la estrategia anterior falla.

¿Cómo ayudar a la familia en apuros con una estrategia exitosa?

Veamos la siguiente alternativa para minimizar el tiempo de recorrido. Parece natural arriesgar enviando a las personas más lentas en un solo viaje. El primer esquema propuesto es el siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. H regresa → 1 minuto (total: 3 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 11 minutos).

4. E regresa → 2 minutos (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).

Como se observa, esta estrategia resultó exitosa.

Una solución adicional del acertijo es la siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. E regresa → 2 minutos (total: 4 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 12 minutos).

4. H regresa → 1 minuto (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).
   
   

Las dos últimas estrategias exitosas, conseguidas en cinco viajes, permiten a la familia ponerse a salvo.

Podemos ahora plantearnos el reto de generalizar el problema a un grupo arbitrario de personas, con ritmos de cruce distintos y un tiempo límite, manteniendo invariable la capacidad del puente. Se trata de un problema que, sin duda, encuentra sustento en la conocida teoría de grafos; así, un sencillo acertijo de lógica puede conducir a la formulación de teoremas más generales.

@MantillaIgnacio

Existe una carta dirigida a Henry Oldenburg, de fecha 24 de octubre de 1676, en la que Newton comenta que Leibniz había desarrollado un método nuevo para él, refiriéndose a las series de potencias, lo que revelaría que incluso llegaron a trabajar juntos, pues tanto Leibniz como Newton, gracias a ese intercambio de cartas, pudieron haber conocido los avances del otro.

Aun cuando en 1713 la Real Sociedad determinó que Newton se había anticipado a Leibniz algunos años, esta conclusión no fue aceptada por todos y la disputa tomó muchos años, hasta después de muertos los dos. Hoy en día se acepta que ambos llegaron al cálculo independientemente, por lo que no hubo plagio.

Pero hay que reconocer que Leibniz tuvo que enfrentar a un gigante de la ciencia como lo fue Isaac Newton, tarea que para la época nadie hubiese querido realizar; sin embargo, Leibniz no fue un enano de la ciencia, sino uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, reconocido como «el último genio universal». Realizó profundas e importantes contribuciones en áreas de filosofía, matemáticas, física, geología, jurisprudencia e historia. 

Leibniz presentó en Londres su desarrollo del cálculo, así como una máquina calculadora que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Por estos aportes, la Real Sociedad, muy complacida, le nombró miembro externo.

Menos conocida es la controversia que existió entre Newton y Raphson por la invención del conocido «método de Newton» o «método de Newton-Raphson» para calcular ceros de funciones en forma aproximada. El matemático inglés Joseph Raphson (1668-1715) fue nombrado miembro de la Real Sociedad en 1689, cuando tenía apenas 21 años de edad, a solicitud del célebre astrónomo, físico y matemático Edmond Halley, y su elección se basó principalmente en la solidez de su trabajo. 

Según consta en las actas: “El Sr. Halley relató que el Sr. Raphson había inventado un método para resolver todo tipo de ecuaciones y dar sus raíces en series infinitas que convergen rápidamente, y que le había pedido que le propusiera una ecuación de quinta potencia, a la cual devolvió respuestas con siete cifras en mucho menos tiempo del que se podría haber logrado con los métodos conocidos de Vieta”. 

Este método, dado a conocer por Raphson y descrito en su libro Analysis aequationum universalis, publicado en 1690, es el que se denomina ahora método de Newton o método de Newton-Raphson, pues también Newton lo describió como un método para aproximar las raíces de una ecuación en su trabajo Method of Fluxions. La controversia surge aquí al intentar determinar quién es el autor del método, cuestión que vamos a tratar de aclarar a continuación.

El método Newton, o método de Newton-Raphson, es un poderoso procedimiento iterativo para resolver 

$f(x)=0$

cuando $f$ es una función continuamente diferenciable en una vecindad de la raíz buscada. Se trata de un método iterativo particular de punto fijo, tal como lo conocemos hoy, en el cual la función $f(x)$ se linealiza en $x_n$ para hallar $x_{n+1}$. Presentado con la notación que se usa actualmente (la de Leibniz), dado un valor inicial $x_0$, se define:

$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0,1,2,\dots$

La convergencia del método está garantizada siempre y cuando el valor inicial elegido esté suficientemente próximo a la raíz buscada.

En 1671, Newton describió ese método para aproximar ceros de polinomios y, como ejemplo, halló la raíz de la ecuación

$x^{3} – 2x – 5 = 0$

situada entre 2 y 3, obteniendo aproximadamente:

$x \approx 2.09455.$

Pero, aunque fue escrito en 1671, no se publicó hasta 1736, por lo que se afirma que Raphson dio a conocer el resultado casi cincuenta años antes que Newton. Las actas de la reunión de la Royal Society del miércoles 17 de diciembre de 1690 (calendario juliano) contienen una referencia al Análisis aequationum universalis de Raphson en los siguientes términos:

“El libro del Sr. Raphson fue publicado hoy por E. Halley, en el cual ofrece una notable mejora del método de resolución de todo tipo de ecuaciones, mostrando cómo extraer sus raíces mediante una regla general que duplica las cifras conocidas de la raíz obtenida en cada operación. De esta manera, al repetir el procedimiento tres o cuatro veces, se obtienen resultados con una precisión de ocho o diez cifras decimales. La Sociedad, muy complacida con su trabajo, le expresó su agradecimiento y le deseó que continuara con los estudios en los que ha tenido tanto éxito”.

El sábado 17 de enero de 1691 (calendario juliano) se presentó a la Royal Society un ejemplar del libro de Raphson como “un regalo del autor”.

La relación de Raphson con Newton es significativa, ya que entre ellos no hubo disputa alguna por el método. Raphson fue una de las pocas personas a quienes Newton permitía acceder a sus trabajos matemáticos, incluso llegó a traducir algunos de ellos del latín al inglés.

En 1691, Raphson y Edmond Halley participaron en los planes para publicar la obra de Newton de principios de la década de 1670 sobre la cuadratura de curvas, un proyecto que solo se concretó en 1704. Asimismo, se sabe que en 1711 Roger Cotes y William Jones propiciaron que Raphson pudiera consultar algunos de los trabajos de Newton para su proyecto de redactar la Historia de las Fluxiones, que no se publicó hasta 1715,  después de la muerte de Raphson, bajo el título Historia fluxionum.

En definitiva, la controversia se resuelve aceptando que Newton había descrito el método en 1671, antes de la publicación de Raphson, aunque aplicado exclusivamente a la aproximación de raíces de polinomios. Unos años más tarde, Raphson —quien había tenido acceso a este trabajo— publicó su propio método, más general, válido para el resto de funciones continuamente diferenciables. Por lo tanto, podemos concluir que Raphson partió del procedimiento de Newton para desarrollar su versión del método y que, en consecuencia, no existió un «robo» ni por parte de Newton ni de Raphson. Así, la denominación actual de «método de Newton-Raphson» constituye un justo reconocimiento a la historia de su aparición.

Como bien puede observarse, conocer la historia detrás de los aportes matemáticos que hoy disfrutamos nos permite valorar el esfuerzo y la dedicación de quienes nos transmitieron sus descubrimientos e invenciones.

@MantillaIgnacio

—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que salga sello es de 1/2; o sea, que tienes el 50 % de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo—: si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17 % de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50 %? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven—: si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20 %.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues, según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y, por lo tanto, no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros, y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes; entonces, el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y, si no lo realiza antes, entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día; así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces, por la misma razón, no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que, si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy; entonces, no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros, quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente, todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—Saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban, y por lo tanto, se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente «paradoja».

@MantillaIgnacio

Números afortunados: un número afortunado es un número entero $Q_n$, que resulta de la expresión 

$q-P_n = Q_n$

donde $P_n$ es el producto de los primeros $n$ números primos y $q$ es el número primo más pequeño que es mayor que $P_n+1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el menor primo $q$ mayor que $7 = (6+1)$ es $q=11$, entonces

$q-P_2 = Q_2 =11-6=5$,

por lo tanto $5$ es un número afortunado.

Si $n = 8$ tenemos que los primeros $8$ números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19$ cuyo producto es $9.699.690$. El menor primo inmediatamente mayor que $9.699.691$ es $q= 9.699.713$. Por lo tanto

$Q_8=q-P_8=9.699.713-9.699.690=23$

es un número afortunado.

Los números afortunados $Q_n$ pueden ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $Q_{10} ,Q_{12},Q_{17}$ son iguales al número $61$.

Los primeros números afortunados, omitiendo los repetidos para diferentes valores de $n$ son:

$3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, ….$

La autoría del nombre número afortunado es atribuida al antropólogo neozelandés Reo Franklin Fortune (1903-1979), quien ademas conjeturó que todos los números afortunados son primos. Y no sabría si el nombre que dio a estos números tiene qué ver directamente con su apellido.

Números de la suerte: No hay que confundir los números afortunados con los Números de la Suerte que se consiguen mediante una criba, como la conocida Criba de Eratóstenes, ingenioso algoritmo que es eficiente para encontrar los primeros números primos.

En el caso de los números de la suerte la criba consiste en ir tachando inicialmente todos los números que aparecen en las posiciones pares, así nos quedan los impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…$ Como el segundo número que ha quedado es el 3, tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3 y nos quedan ahora los números: $1, 3, 7, 9, 13,…$ Como el siguiente número que quedó es el 7, eliminamos ahora, como antes, todos los que aparecen en las posiciones que son múltiplo de 7 y continuamos en esta forma, así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números de la suerte.

Los primeros números de la suerte son:

$1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127,…$

Números recostados: ahora bien, a partir de los números afortunados podríamos definir otro conjunto similar, que al beneficiarse de la existencia de estos, yo llamaría números recostados y que pueden definirse en forma parecida a los afortunados: un número recostado es un número entero $B_n$, que resulta de la expresión 

$P_n-r = B_n$

donde $P_n$  es, como arriba, el producto de los primeros $n$ números primos y $r$ lo definimos como el número primo más grande que es menor que $P_n-1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el mayor primo $r$ menor que $5 = (6-1)$ es $r=3$, entonces

$P_2 -r= B_2 =6-3=3$

por lo tanto $3$ es un número recostado.

Si $n = 6$ tenemos que los primeros 6 números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13$ cuyo producto es $30.030$. El mayor primo inmediatamente menor que $30.029$ es $r= 30.019$. Por lo tanto

$B_6=P_6-r=30.030-30.019=11$

es un número recostado. Obsérvese que $11$ no es un número afortunado.

Los números recostados $B_n$ también podrían ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $B_6= B_4 =11.$

Los primeros números recostados serían

$3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, …$

y también creo que se puede conjeturar que son todos primos.

Como se observa, en torno a estos nuevos conjuntos podemos proponer una diversidad de conjeturas que ofrecen retos que no son sencillos de resolver.

@MantillaIgnacio

Hay conjeturas, como la de Goldbach, formulada por el matemático alemán Christian Goldbach en 1742, que establece que «todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos», que aún nadie ha podido demostrar ni refutar.

Uno de los matemáticos más sobresalientes y célebres de nuestro tiempo ha sido el británico John Conway, quien falleció en 2020, a causa del Covid, en Princeton donde fue profesor durante sus últimos años de vida. 

El legado de Conway en varias ramas de las matemáticas lo constituyen contribuciones complejas, difíciles de transmitir, pero Conway también incursionó en la matemática recreativa y nos dejó algunos acertijos y juegos fáciles de entender, así como problemas abiertos y conjeturas.

Un ejemplo de uno de esos retos es la conjetura conocida bajo el nombre de «la escalada hasta un primo», que consiste en escoger un número entero positivo cualquiera que sea mayor que 1 y seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer el número elegido en sus factores primos. Esto es posible siempre, gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que «cada número entero mayor que 1 es primo o puede expresarse como un producto único de números primos, salvo por el orden de los factores». Ejemplo, si el número elegido es 40, los primos de su descomposición son 2, 2, 2 y 5, ya que
   
   40 = 2³ · 5.
   
   
2. El segundo paso consiste en tomar esos números primos y sus exponentes, ordenarlos de menor a mayor tal como aparecen en la descomposición y concatenarlos formando un nuevo número. En el ejemplo, el nuevo número es el proveniente de 40 = 2³ · 5. O sea:
   
   235.
   
   
3. A partir de aquí, repetir los dos pasos anteriores con el nuevo número hasta conseguir un número primo. Para el ejemplo:
   
   235 = 5 · 47
   
   y aquí termina la escalada del número 40 hasta un primo porque el nuevo número formado con los factores primos 5, 4 y 7 es el número 547 que es primo.

Con esto podemos ahora formular y comprender mejor la conjetura de Conway conocida como «escalada hasta un primo»: Conway conjeturó que el paso 3 siempre es posible, es decir que cualquier número entero mayor que 1, sometido a este procedimiento, acabaría devolviendo un número primo. Es más, cuando propuso la conjetura llegó a ofrecer 1.000 dólares a quien demostrara su veracidad o falsedad.

Decidir sobre su veracidad o falsedad no es sencillo; hay números que parecen servir de contraejemplos, pero que no lo son; sin embargo su escalada hasta un primo sí constituye una tarea sumamente extensa y tediosa como para creer, al cabo de muchos pasos, que se trata de un contraejemplo; tal es el caso del número 20 por ejemplo, que requiere más de 100 pasos para escalar hasta un primo. Y frente a estos números, después de tantos pasos que hasta se había llegado a creer que se trataba de un contraejemplo y al final no lo era, viene la pregunta: ¿será verdadera la conjetura?

Se le atribuye a un aficionado a las matemáticas, de nombre James Davis, haber demostrado a mediados del año 2017, que la conjetura de Conway «escalada hasta un primo» es falsa. Davis logró encontrar un contraejemplo: el número 

d = 13.532.385.396.179 

que se devuelve a sí mismo al ser descompuesto en números primos, entrando en un bucle sin fin del que no podrá salir un primo. En efecto,

d = 13.532.385.396.179 = 13 · 53² · 3853 · 96179

y obsérvese que el proceso de escalar buscando un primo lo convierte en él mismo, pues el número 2 ocupa el quinto lugar entre sus dígitos y también esa posición como exponente del primo 53 en la descomposición del número, así que d es como un punto fijo que no consigue «escalar» hasta un número primo. 

Naturalmente este no es el único contraejemplo, y teniendo ya uno, a partir de él podemos construir otros. Por ejemplo, si tomamos los 4 dígitos de d, que siguen a los dos primeros (13) tenemos el número 5323 que es primo y si el dígito siguiente (8) lo usamos como exponente, entonces podemos aprovechar que el número que forman los últimos dígitos que quedan (5396179) también es primo, para escribir el número:

D = 13 · 5323⁸ · 5396179 = 45.214.884.853.168.941.713.016.664.887.087.462.487 

que al ser descompuesto en sus factores primos es el mismo número inicial anterior d, por lo tanto D es otro contraejemplo, un número que no puede escalar hasta un primo.

Generalmente el reto de demostrar la veracidad o la falsedad de una conjetura es grande. No siempre es fácil dar con un contraejemplo o con una demostración; ni siquiera es sencillo decidirse por lo uno o por lo otro y en la mayoría de los casos solo la intuición del matemático le induce a buscar la prueba o en cambio el contraejemplo.

@MantillaIgnacio

En el caso de los profesores de matemáticas, estamos bastante acostumbrados a plantear problemas de tal manera que la respuesta sea un valor especial, previamente elegido, por ejemplo un número entero en lugar de una fracción. Pero hay muchos casos en los que la ignorancia da inesperadas sorpresas.

Empezamos como en los cuentos infantiles… Había una vez un rey que, deseando que en su reino hubiera mayoría de varones, decidió decretar que las parejas podían tener los hijos que quisieran mientras fueran niños, pero en cuanto tenían una niña ya no podían tener más hijos. De este modo, pensó el rey, pronto habría familias con varios niños pero ninguna con más de una niña, con lo que la proporción de varones aumentaría notablemente en su reino, tan necesitado de combatientes para fortalecer el ejército. 

Pero analicemos el decreto real con el sesgo machista que prohíbe seguir procreando a quienes tienen una hija. Supongamos que en el momento de promulgar el decreto hay 8000 mujeres en el reino que pueden procrear y que la probabilidad de que nazca un niño es la misma probabilidad de que nazca una niña; es decir que estas 8000 mujeres podrán dar a luz aproximadamente 4000 niños y 4000 niñas.

Como solo las primeras 4000 mujeres del grupo de 8000 podrán volver a tener más hijos o hijas, entonces los siguientes nacimientos en el grupo de estudio son a lo sumo de 2000 niños y 2000 niñas aproximadamente.

Siguiendo con las reglas establecidas en el decreto, habrá después máximo 1000 nacimientos y luego solo 500, y así sucesivamente, de tal manera que al cabo de unas 10 oleadas más de bebés, ninguna mujer del grupo inicial de 8000 tendrá derecho a tener más hijos.

Por lo tanto en cada medición de nuevos nacimientos habrá tantos niños como niñas y la población se irá reduciendo sin que sea mayor la proporción de varones, como lo quería el rey.

El deseo de aumentar el número de varones con esa medida, solo logra entonces una disminución de la población en el reino, pero no una mayor proporción de varones.

Entre nosotros es también común legislar con el deseo de lograr un efecto a corto, mediano o largo plazo; que sea este un ejemplo que sirva para llamar la atención sobre las falsas expectativas que pueden crearse con algunas normas.

@MantillaIgnacio

Sessa le pidió entonces al rey algo que parecía bastante humilde: que por el primer cuadro de la perimera fila del tablero le diera un grano de trigo, que por el segundo cuadro de la fila le diera dos granos, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, y así sucesivamente hasta el último cuadro de la última fila con el doble de granos del penúltimo cuadro.

Cuenta la leyenda que el rey ordenó que hicieran la cuenta y entregaran a Sessa un costal con el trigo que había pedido. Pero al rato, cuando los tesoreros del reino terminaron las cuentas, tuvieron que llamar en secreto al rey para informarle que era imposible satisfacer a Sessa con esa recompensa, lo que molestó al rey.

Hago un paréntesis para examinar la cantidad solicitada. En efecto, el inventor del juego pedía lo correspondiente a la suma de potencias de 2, desde 2° = 1 hasta 2 elevado a la potencia 63. Esa suma es igual a:

2⁶⁴  – 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Si escribimos en palabras esta cantidad, debemos decir: dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y uno mil seiscientos quince granos de trigo.

Para tener una idea de la cantidad de trigo solicitado, vamos a estimarlo en toneladas métricas (Tm), aceptando que en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 20 000 granos. Entonces, dividiendo la cantidad de granos entre 20 000 obtenemos la cifra en kilogramos y dividiendo esa cifra entre 1000 pasamos a toneladas métricas. El resultado es el siguiente: 

922 337 203 685 Tm.

Pero, para tener una mejor apreciación de esta cifra, hay que saber que, de acuerdo con la Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (FAO), la producción mundial de trigo actualmente es de aproximadamente 800 millones de toneladas métricas al año; es decir que si tomamos esta cifra como producción mundial anual, entonces el tiempo necesario para reunir el trigo pedido por el joven Sessa, destinando para su recompensa toda la producción mundial cada año, sería de

922 337 203 685 / 800 000 000 ≈ 1152 años.

Este es un claro ejemplo de lo que es el crecimiento exponencial, un ejemplo de cómo a partir de un solo grano de trigo y duplicando en cada paso la cifra anterior hasta llegar a 2⁶³, se obtiene una cantidad inimaginable de trigo, que no podría recolectarse en un milenio ni siquiera destinando toda la producción mundial cada año. 

Ahora, habiendo ya apreciado la cantidad de trigo solicitada por el inventor Sessa, y suponiendo que él era consciente de la imposibilidad del rey para compensarle, continuamos con esta bella historia que se ha convertido en leyenda y que bien puede terminar aquí reafirmando la impotencia del rey para cumplir su promesa.

Pero la historia puede tener otro final, pues al igual que en una partida de ajedrez, tras una jugada audaz, la posición de un jugador que parecía derrotado puede ser victoriosa; y es así como la historia también se puede presentar con un final feliz para el rey, pues al fin de cuentas, en el ajedrez también el rey puede atacar. 

Y es que habiendo sido muy formado en matemáticas, el rey, aprovechándose de la ignorancia y la ambición del buen calculista Sessa, como si este solo fuese un peón en el juego, decide darle ahora una lección y lo hace en los siguientes términos:

“Joven Sessa eres muy listo y por eso quiero ahora premiarte sin límite. Te equivocas si has llegado a pensar que no tengo en el reino trigo suficiente para compensarte, y te daré aún más de lo que pides. Aumentaré vuestra recompensa si lo aceptas de la siguiente manera: por el primer cuadro de la primera fila del tablero te daré un grano, como has pedido, por el segundo dos granos, como has indicado, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, como bien lo has mencionado y así sucesivamente, pero esto no parará en el último cuadro de la última fila, el 64, con el doble del anterior, hasta donde has pedido, sino que sumaremos hasta el infinito estas cantidades”. 

Sessa no lo podía creer y sonrió triunfador manifestando su satisfacción por esa recompensa que de antemano sabía que sería imposible de cumplir. Sin embargo, tomando una tiza el buen rey volteó el tablero y sobre el respaldo calculó la cantidad de granos, que llamó S, que debía entregar al incrédulo Sessa. Esta fue la operación que hábilmente hizo el rey delante de Sessa y los contadores del reino para calcular cuánto trigo debía ser entregado:

Y finalmente dijo el rey:

«Como ves querido Sessa, te voy a compensar con creces como lo quisiste y esa recompensa que deseas arroja como resultado una deuda de un grano a mi favor, pero como soy un rey magnánimo, al marcharte, de ese grano me olvidaré».

@MantillaIgancio

El problema del caballo de ajedrez

El problema conocido como «problema del caballo de ajedrez» bien podría clasificarse dentro del grupo de los rompecabezas más apasionantes de ingenio matemático en el ajedrez. Consiste en recorrer todos los 64 cuadros del tablero, pasando solo una vez por cada uno de ellos, con un caballo, respetando las reglas del juego, es decir haciendo que el caballo solo se mueva en forma de “L”. 

Este problema es muy antiguo. Harold Murray, en su libro sobre historia del ajedrez publicado en 1913, cita a los grandes ajedrecistas árabes Al-Adli (hacia el año 840) y Al-Suli (hacia el 910), como autores de manuscitos en los que se presentan recorridos cerrados del caballo en el tablero de ajedrez.

Se han encontrado muchas soluciones a este problema, pero el primero en realizar un análisis matemático riguroso del juego fue el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien presentó en 1759, ante la Academia de Ciencias de Berlín el artículo titulado «Solución a una cuestión ingeniosa que parece que no ha sido analizada» (Memoria de la Academia de Ciencias de Berlín, 1759) y en sus propias palabras empieza diciendo que: 

“Un día me encontraba en una reunión en la que, con ocasión del juego del ajedrez, alguien propuso la cuestión de recorrer con un caballo todas las casillas de un tablero sin pasar nunca dos veces por la misma y empezando en una casilla dada. Se colocaban fichas, para este fin, en las sesenta y cuatro casillas del tablero, salvo en la que el caballo debía comenzar su ruta, y de cada casilla por la que pasaba el caballo, conforme a su camino, se retiraba la ficha, de manera que se trataba de retirar de esta forma todas las fichas sucesivamente. Había que evitar, pues, por un lado, que el caballo pasara por una casilla vacía y, por otro lado, había que dirigir su camino de suerte que recorriera finalmente todas las casillas”.

Tratándose de Euler, no podía esperarse cualquier solución a este interesante reto. En efecto, Euler decidió dar a conocer una solución, comenzando por la primera casilla de la primera fila y numeró los cuadros en el orden en que se debe desplazar el caballo por todo el tablero, desde 1 hasta 64, como lo indica la figura.

Como se observa, Euler no se limitó a dar una solución cualquiera al problema propuesto, también logró que la solución encontrada fuera un cuadrado mágico: en efecto, cada una de sus filas y cada una de sus columnas suma 260. Y su genialidad agregó otra curiosidad: cada uno de los cuatro subcuadrados (indicados con distinto color en la figura) es un cuadrado mágico cuyas filas y columnas suman la mitad del grande: 130.

Para quienes tengan mayor interés o deseen conocer un análisis matemático del problema del recorrido del caballo sobre un tablero de ajedrez, pueden descubrir cómo este reto se puede plantear formalmente como un problema dentro de la teoría de grafos, como bien se explica en el libro de Raúl Ibáñez, «Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos. El mundo es matemático, RBA, 2015».

Pero para el entretenimiento de los lectores, basta con intentarlo eligiendo cualquier casilla para comenzar.

@MantillaIgnacio

Este bello problema que les compartiré está basado en los movimientos de la reina en el tablero de ajedrez y es conocido como «problema de las 8 damas». Consiste en ubicar 8 reinas en el tablero de ajedrez sin que se ataquen, siguiendo las reglas del juego, es decir respetando que la reina solo se puede desplazar vertical, horizontal o diagonalmente, tantas casillas como se desee.

El problema fue propuesto por el alemán Max Bezzel y publicado por primera vez en 1848 en la revista alemana especializada en ajedrez «Berliner Schachzeitung».

En realidad, el problema es equivalente al reto de situar 8 fichas en el tablero de 64 casillas (8 filas y 8 columnas), de tal manera que no haya dos en la misma columna, fila o diagonal. A manera de ejemplo, una solución es la siguiente:

Obsérvese que cuando se encuentra una solución, se pueden reconocer otras tres, rotanto el tablero 90, 180 y 270 grados.

El número total de soluciones que tiene este problema, es 92, pero en realidad solo hay 12 soluciones básicas porque las restantes se obtienen a partir de ellas con giros y simetrías. Hay 12 soluciones que dan origen, cada una, a 3 más, usando rotaciones, como ya indicamos, así que por cada solución básica se revelan 4 mediante rotaciones para un total de

12 x 4 = 48.

Ahora bien, solo hay 11 de las 12 soluciones básicas que dan origen a otras 3 mediante simetría o reflexión porque hay una solución básica con simetría central que no origina nuevas soluciones; esa solución es la que muestra la imagen siguiente:

así que, mediante simetría tenemos

11 x 4 = 44,

y el número total de soluciones es entonces

(12 x 4) + (11 x 4) = 48 + 44 = 92.

El problema de las ocho damas fue un reto con el que se entretuvieron los matemáticos a mediados del siglo XIX, el mismo Gauss encontró en una tarde 76 de las 92 soluciones; pero el primero en encontrar todas las soluciones, en 1850, fue el matemático Franz Nauck.

Actualmente el problema de las 8 damas sigue despertando gran interés, ya no solo como entretenimiento para encontrar alguna solución de forma manual. El problema se ha vuelto bastante popular porque resulta ser un excelente referente para enseñar algoritmos y optimización ya que puede resolverse de múltiples maneras y la tarea de encontrar una solución, donde se exploran diferentes combinaciones y se descartan las que no cumplen con las reglas, de manera rápida y sistemática, es una forma muy didáctica y da origen a una técnica computacional de frecuente uso y múltiples aplicaciones, conocida como «backtracking», que se basa en probar y retroceder cuando algo no funciona.

El reto de encontrar todas las soluciones exige además importantes modificaciones y extensiones de un primer algoritmo para la búsqueda de una sola solución; por lo tanto el ejercicio lógico y computacional brinda un ejemplo que obliga a seguir una buena receta que contemple todas las posibilidades y vaya haciendo barridos en todas las casillas. Pero encontrar todas las soluciones al problema puede ser bastante costoso computacionalmente, ya que hay 4.426.165.368 posibles arreglos y solo 92 soluciones, como ya se indicó.

También se ha formulado el problema general para tableros de nxn siendo n un número que representa más de 8 filas y columnas; esta generalización o «problema de las n reinas» se ha convertido en un desafío computacional. Así por ejemplo, para un tablero de 12×12 hay exactamente 1787 soluciones básicas y un total de 14.200 soluciones.

Sea esta la oportunidad para invitarles a entretenerse un rato con este bello problema intentando dar con una solución y creando su propio algoritmo en forma recursiva.

@MantillaIgnacio