De la Antigua Grecia los filósofos hemos heredado la idea de que las matemáticas representan un tipo de conocimiento particularmente privilegiado. Este privilegio se condensa en el hecho de que los resultados matemáticos parecen ser completamente objetivos, definitivos e indubitables. Cualquier ser humano en pleno ejercicio de sus facultades—y más aún, cualquier ser racional—debería ser capaz, luego de recibir un adecuado entrenamiento, de reconocer en la oración “2 más 2 es igual a 4” una verdad que está más allá de toda duda razonable, incluso de toda duda legítima posible. Por esta razón, a muchos filósofos interesados en la fundamentación de nuestro conocimiento les ha resultado muy atractivo y natural pensar que las matemáticas ofrecen un ejemplo de conocimiento perfectamente seguro, confiable e irrevocable. Esto explica el que las matemáticas hayan constituido, desde tiempos muy remotos, un objeto de estudio y de intenso debate filosófico.
Las verdades matemáticas parecen ser únicas en su género. Ninguna de las otras ciencias comparte la inmunidad a la duda razonable que exhiben estas verdades. ¿Quién, en su sano juicio, podría dudar que 54 sea un número par? Para ilustrar este punto es útil contrastar estos enunciados con algunos provenientes de otras ciencias. Tomemos por ejemplo la oración “la Tierra gira alrededor del Sol”. Es cierto que hoy día este último enunciado nos parece una verdad evidente; ¿cómo pudo siquiera concebirse otra cosa algún día? Sin embargo, al pensar esto olvidamos que nuestra intuición es una capacidad altamente flexible, y que lo que hoy nos parece intuitivo pudo haber parecido muy contraintuitivo hace algunos cientos de años. Al final de cuentas, que el Sol gire alrededor de la Tierra o que el reposo sea el estado natural de los cuerpos no son pensamientos contradictorios. El Sol hubiera podido girar alrededor de la Tierra—aunque esto de hecho no sea así.
En contraparte, preguntémonos: ¿podría el 54 haber sido impar? ¿Podría haber un último número natural? Estas preguntas parecen articular un pensamiento, pero de hecho es demostrable que no es así—es decir, es demostrable que, para un inmenso número de verdades matemáticas, suponer su negación implica lógicamente una contradicción. No solamente, pues, es muy difícil pensar que exista un último número natural—más que difícil, es algo que parece imposible. Y la pregunta que entonces surge es: ¿por qué esto es así?
Para dar un esbozo de respuesta a esta pregunta debemos primero determinar de qué hablan las verdades matemáticas. ¿Cuál es el objeto de estudio de los matemáticos? La respuesta más sencilla y directa a esta pregunta es: si entendemos literalmente lo que dicen los enunciados de las matemáticas, entonces los matemáticos estudian números, rectas, funciones, matrices, entre muchas otras cosas. Esta respuesta, empero, solamente desplaza el problema, pues lo que ahora querríamos preguntar es: ¿qué tipo de objetos son los números, las rectas, las funciones, las matrices, etc.?
Una venerable tradición filosófica, la tradición platónica, responde a esta interrogante de la siguiente manera. Los números y demás objetos matemáticos son objetos abstractos. Los objetos abstractos no poseen una ubicación espacio-temporal y, por consiguiente, son entidades que se encuentran por fuera de la red de causas y efectos que relaciona a los objetos que sí poseen una extensión y/o una ubicación temporal. Dicho de otro modo, los objetos abstractos son causalmente inertes. Positivamente, el platonismo considera que los objetos matemáticos son eternos e inmutables y que todas sus propiedades son propiedades que les son necesarias. No es un accidente que el 54 sea par: esto simplemente tiene que ser así. ¿Por qué? Porque una entidad matemática como el número 54–según el platonismo–se encuentra aislada de los dos factores que sabemos hacen posible las transformaciones de los objetos: el espacio y el tiempo. Fuera del espacio-tiempo un objeto no puede cambiar, pues todo cambio es una transición entre estados y una transición entre estados supone la existencia de (al menos) un intervalo temporal. De esto se sigue que el conjunto de las propiedades de los objetos matemáticos es invariante: estos objetos tienen siempre las mismas propiedades. En este sentido, una entidad matemática no puede dejar de tener las propiedades que tiene sin dejar de ser esa entidad matemática. Pero como son abstractas, las entidades matemáticas no pueden ‘dejar de tener’ nada. Son como son, y son como tienen que ser, per saecula saeculorum.
El platonismo brinda una explicación satisfactoria de la necesaria falsedad (o contradictoriedad) de la negación de muchas verdades matemáticas. La idea consiste, como hemos visto, en tomar el discurso matemático literalmente y asumir en consecuencia que las verdades matemáticas conciernen objetos abstractos. Dado que estas entidades no son susceptibles de cambio, entonces no pueden tener otras propiedades que las que de hecho tienen; esas propiedades hacen parte de la naturaleza de esos objetos. (Cosa que no sucede con los objetos con partes materiales; usted, por ejemplo, podría haber nacido en otro país sin por ello dejar de ser usted.) Por consiguiente, una vez que suponemos que una entidad matemática (el 6, por ejemplo) no posee una de las propiedades que de hecho posee (ser un número perfecto), solamente podemos caer en una contradicción, pues si lo que suponemos fuese verdad (que el 6 no es un número perfecto), entonces no estaríamos hablando de precisamente esa entidad matemática (el número 6, en nuestro ejemplo).
Desafortunadamente, no todo son buenas noticias para el platonismo. En particular, uno de los principales obstáculos que enfrenta la postulación de entidades matemáticas abstractas es el hecho de que éstas parecen estar completamente escindidas de nosotros, las criaturas espacio-temporales que piensan y descubren verdades matemáticas. Si suponemos que los objetos matemáticos son abstractos, y también suponemos que nos es posible conocer estos objetos o al menos algunas de sus propiedades, todavía nos es necesario explicar cómo nos es posible obtener ese conocimiento. En otras palabras, el platónico nos debe una explicación acerca de cuál es la relación que subsiste entre los objetos matemáticos y los seres humanos que hace posible que éstos adquieran conocimiento acerca de aquéllos. Dado que, por hipótesis, estos objetos son causalmente inertes, entonces esta relación no puede ser causal, y por tanto no podemos obtener este conocimiento por medio de nuestras facultades perceptuales ordinarias como la vista o el oído. Otras facultades cognitivas deben estar involucradas—pero, ¿cuáles son éstas? A esta objeción se le conoce en filosofía como ‘el reto epistemológico al platonismo’.
Históricamente han existido varios intentos de respuesta a esta pregunta, pero estos intentos generalmente han sido considerados infructuosos. Por ejemplo, una respuesta muy socorrida consiste en apelar a una facultad de intuición que nos permitiría relacionarnos con los objetos matemáticos y así obtener información acerca de éstos. Sin embargo, los filósofos que han empleado esta estrategia no han sido capaces de especificar cuál es el mecanismo que subyace a esta supuesta facultad cognitiva. Desprovistos de una adecuada descripción del funcionamiento de la intuición, echar mano de la intuición matemática no parece más que dar un paso en falso.
Así pues, si el platónico se aferra a su interpretación literal del discurso matemático y en consecuencia asume que las entidades matemáticas son abstractas en el sentido anteriormente explicitado, entonces parece no existir una manera plausible de explicar cómo es que podemos obtener conocimiento de objetos tan radicalmente diferentes de nosotros. Esta objeción al platonismo es muy fuerte puesto que lo que solemos aceptar es que sí poseemos conocimiento matemático. Por consiguiente, si existe tal conocimiento, entonces los objetos matemáticos no pueden ser abstractos—o al menos no pueden poseer el tipo de abstracción que el platónico tradicionalmente les ha atribuido.
No debe pensarse, empero, que por estas razones el platonismo haya sido derrotado. En este punto existen varias alternativas accesibles al platónico, aunque discurrir acerca de cada una de ellas nos llevaría a discusiones que excederían las limitaciones naturales de este blog (y que muy probablemente he excedido ya). En todo caso, espero que haya quedado más o menos claro que a las desventajas inherentes al platonismo en el ámbito del conocimiento corresponde una serie de ventajas interpretativas que no es razonable desdeñar.
Twitter: @PatonejoTortuga