El salto conceptual más notable llega con los números imaginarios y, en general, con los complejos, que amplían el ámbito de las soluciones posibles y permiten abordar problemas más generales. Cada nuevo conjunto numérico no reemplaza a los anteriores: los contiene y los extiende.

Y dentro de todos esos conjuntos existen algunos subconjuntos que despiertan especial interés, como es el caso de los números primos, y otros menos famosos, como el de los trascendentes, pero también los hay bastante curiosos y menos conocidos. De uno de estos últimos justamente les quiero hablar en esta nota. Se trata de los Conjuntos de Sidon, que son los conjuntos de números enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. 

Por ejemplo, el conjunto

$\{1, 3, 5, 11, 15, 22\}$

no es un conjunto de Sidon, pues aparecen sumas repetidas de dos elementos del conjunto:

$1 + 15 = 5 + 11.$

En cambio, el conjunto

$\{1, 2, 4, 8, 13, 21\}$

sí es un conjunto de Sidon, porque todas las sumas de dos de sus elementos son distintas entre sí. Estos conjuntos recibieron su nombre en honor al matemático húngaro Simon Sidon, quien introdujo este concepto en el contexto de sus investigaciones sobre las series de Fourier.

En 1932, Sidon planteó a uno de sus alumnos —quien más tarde se convertiría en el destacado matemático Paul Erdős— el siguiente problema:

¿Cuál es el mayor tamaño posible de un conjunto de números enteros positivos, todos ellos menores que un número dado, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto sean distintas entre sí?

Este problema aritmético, con un marcado sabor combinatorio, cautivó al joven Erdős y se convirtió desde entonces en uno de sus temas recurrentes de investigación. Construir conjuntos de Sidon no es difícil; lo verdaderamente interesante es hacerlo, tal como plantea el problema, con el mayor número posible de elementos.

Si intentamos, por ejemplo, seleccionar la mayor cantidad de enteros positivos entre los 35 primeros de manera que todas las sumas de dos de ellos sean distintas, no tendremos dificultad en elegir unos pocos, pero las restricciones se vuelven cada vez más severas a medida que añadimos nuevos elementos. Para este caso —los 35 primeros enteros positivos— puede demostrarse que el conjunto

$\{1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35\}$,

de solo ocho elementos, es un conjunto de Sidon de tamaño máximo.

Existe una cota muy fácil de recordar para el tamaño máximo de los conjuntos de Sidon cuyos elementos son menores que un número $n$. Es decir, para estimar cuántos enteros positivos pueden elegirse entre los primeros $n$ de modo que todas las sumas de dos de ellos sean distintas. Aunque su demostración escapa al alcance de esta nota, la cota puede expresarse de manera muy compacta como:

$|A| \leq \sqrt{2n} + 1$.

Una cota más refinada se obtiene mediante

$|A| \leq \sqrt{n} + \sqrt[4]{n} + 1,$

que ajusta mejor el crecimiento real del tamaño máximo de estos conjuntos.

Desde la aparición de estos conjuntos surgió de inmediato la pregunta por su posible generalización: qué ocurre si se permite que haya dos sumas iguales, o incluso tres. Este problema, que permaneció abierto durante casi ochenta años, fue resuelto en 2010 por tres matemáticos: los españoles Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, y el húngaro Imre Ruzsa.

Recientemente se han encontrado aplicaciones de los conjuntos de Sidon en las telecomunicaciones, en particular en el diseño de radares, sonares y detectores de señales que pueden identificarse mediante cambios de frecuencia. 

Los conjuntos de Sidon son un buen ejemplo de cómo ciertos conceptos matemáticos, surgidos de preguntas puramente teóricas, pueden desarrollarse hasta generar trabajos profundos y, al mismo tiempo, aplicaciones insospechadas.

@MantillaIgnacio

Un ejemplo de este fenómeno es el que quiero compartirles, subrayando que, en matemáticas, incluso cuando un anuncio no sea estrictamente falso, presentar como profundo lo que en realidad es trivial constituye también una forma de engaño. Esa estrategia puede inducir a los incautos a elevar a la categoría de teorema lo que no pasa de ser un simple ejemplo, generando una ilusión de descubrimiento donde no la hay.

Un interés especial dentro de la comunidad matemática ha sido, desde hace siglos, el deseo de contar con un generador de números primos, como si fuera posible construir o descubrir una máquina capaz de producirlos todos —o al menos una cantidad significativa— de manera sistemática. La idea resulta seductora: un mecanismo que, introduciendo ciertos parámetros, entregue una sucesión inagotable de primos sin necesidad de recurrir a pruebas de divisibilidad ni a algoritmos complejos. Sin embargo, esa aspiración ha chocado una y otra vez con la realidad matemática: aunque existen fórmulas y procedimientos que generan algunos primos, ninguno de ellos produce todos los primos ni evita la aparición de números compuestos; es decir, números que no son primos.

Hace un tiempo me encontré con un mensaje en una red social que literalmente decía:

“$x^{2} – 2999x + 2248541 \text{ produces 80 primes from } x = 1460 \text{ to } 1539$“.

Por supuesto, mi interés en ese anuncio me llevó a examinar el polinomio y a verificar tan sorprendente afirmación. Ese ejercicio, y lo que descubrí al hacerlo, fue precisamente lo que me motivó a escribir este artículo.

Empiezo por recordar que fue Leonhard Euler (1707–1783) quien dio a conocer el siguiente sencillo polinomio de segundo grado, con coeficientes enteros,

$P(n) = n^{2} + n + 41$

el cual genera 40 números primos distintos cuando $n$ toma valores desde 0 hasta 39. Durante mucho tiempo no se conoció ningún polinomio cuadrático que superara ese registro, hasta que G. Fung y R. Ruby descubrieron en 1990 el polinomio

$F(n) = 36n^{2} – 810n + 2753$

que produce 45 primos para $0 \le n \le 44.$

Y, hasta donde yo sabía, no existía ningún polinomio de segundo grado con coeficientes enteros que generara más primos que este último. Por eso, encontrarme con el anuncio de un polinomio que supuestamente produce 80 números primos resultaba, al menos en apariencia, un avance extraordinario, más aún considerando que incluso se han organizado concursos en internet dedicados a buscar polinomios generadores de números primos.

Pero no es así. En realidad, aunque el anuncio no contiene ninguna falsedad explícita, sí resulta engañoso: efectivamente, el polinomio produce 80 números primos, pero no 80 primos distintos. Lo que hace es generar dos veces los mismos 40 primos que ya produce el polinomio de Euler. La secuencia completa no es más que una lista simétrica:

$1601,\, 1523,\, 1447,\, \ldots,\, 47,\, 43,\, 41,\, 41,\, 43,\, 47,\, \ldots,\, 1447,\, 1523,\, 1601.$

Y, además, esto no tiene nada de especial. De hecho, se observa fácilmente que un polinomio aún más simple que el anunciado —el propio polinomio de Euler con dos signos cambiados— también genera esos mismos 80 valores primos. Se trata de

$Q(n) = n^{2} – n – 41,$

y basta con tomar $n$ entre $-39$ y $40$ para obtener exactamente la misma lista duplicada.

Pero aprovecho para mencionar que la simetría aparece por una razón matemática muy simple y muy bonita: el polinomio es cuadrático y su eje de simetría pasa exactamente por el punto medio del intervalo donde se evalúa. Eso hace que los valores que produce al evaluar $n$ y al evaluar su «reflejo» respecto a ese eje sean idénticos.

En el caso del polinomio

$Q(n) = n^{2} – n – 41,$

su eje de simetría está en

$n = \frac{1}{2},$

y el intervalo que consideramos,

$-39 \le n \le 40,$

está perfectamente centrado en 0.5. Por ello, $Q(n)$ y $Q(1-n)$ producen el mismo valor, duplicando así los 40 primos del polinomio de Euler.

La “magia” no está en el polinomio, sino en la simetría del intervalo. Cualquier polinomio cuadrático que replique los valores de Euler y se evalúe en un intervalo simétrico producirá exactamente el mismo efecto: duplicar los mismos 40 primos conocidos.

Y es fácil construir tantos polinomios como se quiera con esta misma propiedad. Basta reemplazar $n$ por $(n-a)$ en el polinomio de Euler, para cualquier número $a \ge 1$. Por ejemplo, si tomamos $a=40$, obtenemos el polinomio

$R(n) = n^{2} – 79n + 1601,$

el cual arroja los mismos 80 números primos cuando $n$ toma valores desde 0 hasta 79.

Por lo tanto, el polinomio citado al inicio —presentado como una gran noticia— no es más que uno entre los infinitos que pueden construirse con esa misma propiedad. En efecto, basta elegir $a = 1500$ en el procedimiento antes descrito para obtener exactamente el polinomio del anuncio.

Para complementar la información sobre el tema, conviene añadir que en la búsqueda de este tipo de polinomios aparecen los llamados «números afortunados de Euler»: números enteros positivos $m$ que cumplen la condición de que, para todos los enteros positivos $k<m$, el polinomio

$k^{2} – k + m$

produce un número primo. Se puede demostrar que los «números afortunados de Euler» son únicamente seis:

$2,\; 3,\; 5,\; 11,\; 17,\; 41.$

La verificación para $m=3$ por ejemplo, se hace con los valores de $k = 1,\; 2.$

1. Para $k=1$
   
   $1^{2} – 1 + 3 = 1 – 1 + 3 = 3.$
   
   3 es primo.
   
2. Para $k=2$
   
   $2^{2} – 2 + 3 = 4 – 2 + 3 = 5.$
   
   $5$ es primo.

Como ambos valores obtenidos son primos, queda verificado que $m=3$ es efectivamente un número afortunado de Euler.

Una pregunta natural es si puede existir un polinomio no constante, con coeficientes enteros, que tome exclusivamente valores primos. La respuesta es no: cualquier polinomio de ese tipo, si se evalúa en todos los enteros, necesariamente produce infinitos valores compuestos.

Por lo tanto, la aparición de fake news matemáticas que prometen maravillas —como polinomios «milagrosos» que generan grandes cantidades de números primos— no debe engañarnos.

La matemática es sutil, pero también implacable: lo que parece un milagro casi nunca pasa de ser una ilusión.

@MantillaIgnacio

La elección de esta fecha como Día Internacional de las Matemáticas obedece a que, en muchos países, el 14 de marzo ya se celebraba como el Día π, escrito en el formato MM/DD con los números 3/14. En 2009, el Congreso de los Estados Unidos aprobó una resolución que declaró oficialmente el 14 de marzo como Día del Número π. El origen de esta conmemoración está, por tanto, ligado a la constante π = 3,1415926…; y, de manera significativa, coincide también con la fecha de nacimiento de Albert Einstein en 1879 y con la del fallecimiento de Stephen Hawking en 2018.

La expedición de resoluciones oficiales que declaran el Día Internacional de las Matemáticas y el Día π en la misma fecha trae a mi memoria una anécdota que deseo compartir: la sorprendente historia de un proyecto de ley que se hizo célebre por lo absurdo de su contenido, pues pretendía imponer una caprichosa aproximación de π. Este insólito proyecto estuvo a punto de ser aprobado en el Estado de Indiana (EE. UU.) a finales del siglo XIX.

En efecto, la historia comienza cuando el médico y matemático aficionado Edwin J. Goodwin propuso a Taylor I. Record, representante del condado de Posey en la Asamblea General de Indiana, presentar un proyecto de ley basado en lo que él denominaba “una nueva verdad matemática”. Esta supuesta contribución a la educación se ofrecía al Estado de Indiana para su uso gratuito, sin necesidad de pagar derechos de autor, siempre que fuese aceptada y adoptada oficialmente por la legislatura de 1897.

Dicho proyecto contenía una solución —naturalmente incorrecta— al problema de la cuadratura del círculo, cuya imposibilidad había sido demostrada en 1882 por el matemático alemán Ferdinand von Lindemann. Sin embargo, Edwin J. Goodwin logró convencer al representante de que había encontrado un método válido para cuadrar el círculo y que lo había demostrado. En su propuesta, el cociente entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro se expresaba como 

$4 \div \frac{5}{4}$, 

de modo que el valor de $\pi$ resultaba igual a 

$\frac{16}{5} = 3,2$.

Taylor I. Record presentó el proyecto, registrado con el número 246, y este fue aprobado de manera unánime por la Cámara de Representantes de la Asamblea General de Indiana: 67 votos a favor y ninguno en contra. El siguiente paso consistía en remitirlo al Senado estatal para su probable aprobación, dado el respaldo obtenido en la cámara baja, con lo cual se convertiría en ley. Una ley que, insólitamente, habría obligado a fijar el valor de $\pi$ con una sola cifra decimal.

“Si vivo diez años más, ojo con Goodwin. Mi descubrimiento revolucionará las matemáticas. Todos los astrónomos estaban equivocados”, declaró el propio médico Edwin J. Goodwin en una entrevista concedida al diario local Sun el mismo día en que el proyecto sería discutido en el Senado de Indiana.

Por fortuna, apareció casi de manera providencial el matemático Clarence Abiathar Waldo, quien había acudido a la sesión del Senado para gestionar el presupuesto anual de la Universidad de Purdue y de la Academia de Ciencias de Indiana. Al enterarse de que también se debatía un proyecto de ley relacionado con las matemáticas, decidió permanecer en la sala y escuchar atentamente.

Waldo, escandalizado, se negó a dialogar con el autor, afirmando que ya había conocido suficientes locos en su vida. Esa misma tarde explicó a los senadores el contenido del proyecto 246 y les hizo ver la barbaridad que supondría aprobar por ley la aproximación de $\pi$ como 3,2. Su intervención resultó decisiva: logró convencer a un número suficiente de legisladores para que desistieran, y el proyecto quedó pospuesto indefinidamente.

Goodwin no vivió diez años más: el 22 de junio de 1902 falleció a los 77 años. El diario local New Harmony News publicó entonces un obituario titulado “Fin de un hombre que quería beneficiar al mundo”.

Esta insólita anécdota revela cómo la irracionalidad de algunos parlamentarios puede llegar a convertir en “racional” al más constante de los irracionales.

@MantillaIgnacio

Contar bien es esencial. Y, aunque muchos lo consideran una tarea simple, en realidad el acto de contar encierra más sutilezas de las que parece. En realidad, existen numerosos problemas que requieren reflexión antes de responder apresuradamente. Un ejemplo clásico es el siguiente: si en una reunión diez personas se saludan estrechándose la mano, ¿cuántos apretones se realizan en total?

En este caso, para llegar a la respuesta correcta conviene razonar paso a paso. La primera persona estrecha la mano con las otras nueve; la segunda lo hace con ocho, pues el saludo con la primera ya fue contado; la tercera con siete, dado que los dos anteriores ya se registraron; y así sucesivamente: seis para la cuarta, cinco para la quinta, cuatro para la sexta, tres para la séptima, dos para la octava y uno para la novena. Los saludos de la décima persona ya quedaron incluidos en los anteriores.

En total:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

Por tanto, se realizan 45 apretones de mano.

Después de esta breve introducción, pasemos al tema del Mundial de Fútbol 2026, que está a punto de comenzar. El propósito ahora es determinar cuántos partidos se disputarán en el torneo. Antes de hacerlo, conviene recordar que en el último Mundial, celebrado en Catar en 2022, participaron 32 equipos; en cambio, esta vez serán 48 selecciones las que competirán.

En el Mundial pasado se conformaron 8 grupos de 4 equipos cada uno.

Cada grupo disputó un torneo de todos contra todos, y avanzaron a la siguiente ronda 16 equipos, es decir, los dos mejores de cada grupo. Estos equipos se organizaron en 8 parejas y, a partir de allí, el campeonato continuó bajo el formato de eliminación directa: el equipo que perdía quedaba eliminado.

En la ronda inicial, cada grupo de cuatro equipos disputó un torneo de todos contra todos. Siguiendo el razonamiento del ejemplo de los saludos, esto equivale a

3 + 2 + 1 = 6

partidos por grupo. En consecuencia, en la fase de grupos se jugaron:

6 x 8 = 48

partidos.

Posteriormente, para que quedara un único campeón, fue necesario eliminar a 15 de los 16 equipos clasificados, lo que implicó 15 partidos de eliminación directa. El desglose es el siguiente:

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, la fase de eliminación directa sumó:

8 + 4 + 2 + 1 = 15

partidos.

Además, suele disputarse el partido por el tercer puesto: 1 partido.

De este modo, el Mundial de Catar 2022 registró:

48 + 15 + 1 = 64

partidos disputados.

Se observa que $64 = 2^6$; es decir, en un torneo con $2^5 = 32$ equipos se disputan $2^{5+1}$ partidos. Surge entonces la pregunta de si puede generalizarse la fórmula 

$2^{n+1}$

para un torneo con $2^n$ equipos. 

Veamos: 

Si fuesen $2^n$ equipos, entonces se formarían $2^{\,n-2}$ grupos de 4, cada uno con 6 partidos. El total de la fase inicial sería:

$2^{\,n-2} \cdot 6 = 3 \cdot 2^{\,n-1}.$

En la fase de eliminación directa, de los $2^n$ equipos iniciales debe surgir un campeón. Como ya se ha eliminado a la mitad de ellos, esto implica disputar el siguiente número de partidos:

$\frac{2^n}{2} – 1 = 2^{\,n-1} – 1$.

Por lo tanto, el número total de partidos sería:

$3 \cdot 2^{\,n-1} + (2^{\,n-1} – 1) = 4 \cdot 2^{\,n-1} – 1 = 2^{\,n+1} – 1.$

Si además se incluye el partido por el tercer lugar, el total asciende a:

$2^{\,n+1}$

partidos. Por lo tanto, en los torneos con $2^n$ equipos se disputan en total $2^{\,n+1}$ partidos.

Pero el Campeonato Mundial de 2026, que se disputará en México, Estados Unidos y Canadá, contará con 48 equipos, un número que no responde a la forma $2^n$, lo que modifica la fórmula anterior. En efecto, el Consejo de la FIFA aprobó un formato consistente en una fase inicial de 12 grupos de cuatro equipos, de los cuales clasificarán el primero y el segundo de cada grupo. A ellos se sumarán los ocho mejores terceros para completar la etapa de dieciseisavos de final (ronda de 32 equipos). De este modo, el equipo que se consagre campeón deberá disputar ocho partidos, en lugar de siete como ocurría en las últimas ediciones.

Veamos cuántos partidos se disputarán en total.

En la fase inicial, cada grupo de cuatro equipos jugará un torneo de todos contra todos. Siguiendo el mismo razonamiento, se disputarán 6 partidos por grupo, lo que da un total de:

6 x 12 = 72

partidos en la primera fase.

En la etapa posterior a la fase de grupos, clasificarán 32 equipos: los dos primeros de cada grupo más los ocho mejores terceros. Con ellos se inicia la fase de eliminación directa —la llamada ronda de 32—, que en conjunto comprende 32 partidos, incluyendo el encuentro por el tercer puesto. El desglose es el siguiente:

Dieciseisavos de final (32 equipos): 16 partidos

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, esta fase suma 31 partidos, que al añadir el partido por el tercer lugar ascienden a 32.

El resultado global es entonces:

Fase de grupos: 72 partidos

Eliminación directa y tercer puesto: 32 partidos

Total: 72 + 32 = 104 partidos

De este modo, el Mundial 2026 será el primero en la historia con más de 100 partidos disputados.

Si observamos que $48 = 32 + 16 = 2^5 + 2^4$, podemos deducir una fórmula general para un torneo con

$2^n + 2^{\,n-1}$

equipos.

Siguiendo el mismo razonamiento que antes, el número total de partidos se obtiene de la suma de dos componentes:

Fase de grupos: cada grupo está formado por 4 equipos, y en un torneo de todos contra todos se disputan 6 partidos, como ya hemos visto. El número de grupos es:

$\frac{2^n + 2^{n-1}}{4} = \frac{2^n + 2^{n-1}}{2^2} = 2^{-2}(2^n + 2^{n-1}) = 2^{n-2} + 2^{n-3} = (2 + 1) \cdot 2^{n-3} = 3 \cdot 2^{n-3}$.

Por lo tanto, el total de partidos en la fase de grupos es:

$6 \cdot \left(3 \cdot 2^{\,n-3}\right) = 18 \cdot 2^{\,n-3} = 9 \cdot 2^{\,n-2}$.

Eliminación directa más partido por el tercer puesto: en esta fase participan $2^n$ equipos que corresponden a los dos mejores de cada grupo, o sea $3 \cdot 2^{\,n-2}$ y los $2^{n-2}$ mejores terceros. Con este número de equipos, la fase de eliminación directa requiere $2^n – 1$ partidos para determinar al campeón; al añadir el encuentro por el tercer puesto, el total asciende exactamente a $2^n$ partidos.

En consecuencia, el total de partidos es:

$9 \cdot 2^{\,n-2} + 2^n = 2^{\,n-2}(9 + 4) = 13 \cdot 2^{\,n-2}.$

Para el Campeonato Mundial de 2026, con $n=5$, se comprueba que el total de partidos asciende a 104.

Como puede advertirse, las matemáticas están presentes en todos los ámbitos; también se harán visibles en múltiples aspectos relacionados con el fútbol y con el torneo mundial que comenzará el próximo 11 de junio. Y si decides participar en una polla, antes de apostar recurre a la probabilidad y a la estadística como tus mejores consejeras.

@MantillaIgnacio

En 1624, el libro de Bachet de Méziriac fue reeditado y ampliado por el propio autor. El éxito de esta publicación fue tal que continuó reeditándose hasta 1959, y los problemas que aparecieron en la edición original han sido reproducidos por muchos autores en libros de matemática recreativa publicados posteriormente.

Uno de los problemas más populares que incluyó Bachet de Méziriac —y uno de mis favoritos— es el clásico conocido como el “problema de las pesas”, que ha dado origen a numerosas variantes de acertijos con pesas y balanzas, muy frecuentes en la matemática recreativa.

El problema es el siguiente: un mercader que utiliza una balanza de dos platos tiene una pesa de 40 libras que se le cae y, al chocar con el suelo, se rompe en cuatro pedazos. El mercader pesa esos trozos y se tranquiliza al notar que el peso de cada uno es un número entero y que, combinados, puede obtener cualquier peso entero entre 1 y 40 libras. ¿Cuáles son los pesos de esos pedazos?

Este bello problema tiene un origen muy lejano en el tiempo y, aunque su inclusión en el libro de Bachet de Méziriac lo difundió ampliamente, su primera aparición ocurrió hace más de 800 años, en el Liber Abaci [Libro del ábaco] de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, obra publicada en el año 1202.

Para resolver el problema de las pesas, es necesario entender que, si se tiene una pesa de 7 libras y otra de 5, se pueden pesar, por ejemplo, 2 libras de tomates colocando una pesa en cada plato y agregando tomates en el plato que tiene la de 5 libras, hasta lograr el equilibrio de la balanza. Matemáticamente, lo que estamos haciendo es simplemente una resta:

7 libras – 5 libras = 2 libras,

que es equivalente a añadir 2 libras al plato que contiene la pesa de 5 libras.

Retomando el problema, tenemos un reto: con cuatro pesas aún no determinadas, combinadas de manera adecuada, debemos ser capaces de pesar cualquier cantidad entera entre 1 y 40 libras.

El razonamiento sugerido por Bachet de Méziriac hace 400 años consistía en comenzar con dos pesas únicamente, para luego pasar a tres y finalmente incluir la cuarta.

Siguiendo con el ejemplo de los tomates, es evidente que con dos pesas de 1 y 3 libras podemos pesar entre 1 y 4 libras de tomates de la siguiente manera:

1 libra de tomates se obtiene de manera trivial colocando la pesa de 1 libra en un plato y los tomates en el otro, hasta que la balanza quede equilibrada; lo indicaremos así:

(1P ≡ 1T).

2 libras de tomates: (3P ≡ 1P + 2T).

3 libras de tomates: (3P ≡ 3T).

4 libras de tomates: (1P + 3P ≡ 4T).

Con esas dos pesas no se puede pesar ninguna otra cantidad de libras de tomates; y si tuviéramos pesas de 2 y 3 libras, podríamos pesar 1, 2, 3 y 5 libras, pero no 4. Por ello escogemos las pesas de 1 y 3 libras y buscamos la tercera pesa, teniendo en cuenta que debemos encontrar una cuyo peso, al restarse del máximo alcanzado hasta ahora —4 libras—, produzca el siguiente peso necesario, es decir, 5 libras. De este modo se obtienen todas las cantidades entre 5 y el peso de dicha pesa.

La pesa buscada debe ser de 9 libras, porque la diferencia 9 − 5 es justamente el peso máximo logrado anteriormente, 4. Tenemos entonces las siguientes estrategias para obtener los pesos de los tomates: 5 libras de tomates: 

(9P ≡ 1P + 3P + 5T),

y continuamos así:

para 6: (9P ≡ 3P + 6T),

para 7: (9P + 1P ≡ 3P + 7T),

para 8: (9P ≡ 1P + 8T),

para 9: (9P ≡ 9T).

Pero además se pueden conseguir todos los pesos entre 9 y 9 + 4 = 13; en efecto:

(9P + 1P ≡ 10T), (9P + 3P ≡ 1P + 11T), (9P + 3P ≡ 12T), (9P + 3P + 1P ≡ 13T).

Hasta aquí hemos visto que, con tres pesas de 1, 3 y 9 libras, es posible medir cantidades entre 1 y 13 libras. Como la pesa que se rompió era de 40 libras, el último pedazo debe pesar

40 − (1 + 3 + 9) = 40 − 13 = 27 libras.

Obsérvese que también podemos deducir este peso a partir del razonamiento siguiente: la pesa debe elegirse de tal forma que la diferencia entre su peso $X$ y el máximo peso conseguido hasta ahora —es decir, 13— sea el siguiente peso requerido, que es 14. Como $X-13=14$, entonces $X=27$. Por lo tanto, la cuarta pesa debe ser de 27 libras, y se deduce trivialmente que con ella se puede pesar hasta 27 + 13 = 40 libras.

A manera de ejemplo, si queremos pesar 20 libras de tomates, equilibramos los dos platos de la balanza de la siguiente forma:

(27P + 3P ≡ 9P + 1P + 20T).    

La respuesta al problema de las pesas es entonces la siguiente: los cuatro pedazos de la pesa de 40 libras pesan 1, 3, 9 y 27 libras.

Ahora bien, al observar que esos valores coinciden con las potencias 0, 1, 2 y 3 del número 3, resulta inevitable sentir la tentación de generalizar el problema. Esta tarea escapa al alcance de este artículo, pero algunos lectores podrán realizarla y comprobar que una quinta pesa debería pesar 81 libras, y que con ella se podrán pesar todas las cantidades hasta

40 + 81 = 121 libras.

Problemas sencillos, divertidos y clásicos como este son la base de muchos otros que pasan a engrosar el mundo de las matemáticas recreativas y dan origen a muchos más.

El resultado por el que Arrow es más conocido se denomina teorema de imposibilidad de Arrow, enmarcado en un campo de investigación situado entre las matemáticas y la economía: la teoría de la elección social, desarrollada a partir de su libro de 1951 Social Choice and Individual Values.

El teorema de imposibilidad de Arrow aborda el problema de elegir una opción dentro de un conjunto de alternativas mediante métodos basados en las preferencias individuales, que se transforman en una única preferencia colectiva. Un ejemplo típico es la elección de un representante de una comunidad cuando existen tres o más candidatos.

El significado fundamental del resultado de Arrow es que, sean cuales sean los detalles precisos del mecanismo de selección, resulta imposible que el procedimiento satisfaga simultáneamente ciertas condiciones que, consideradas de manera aislada, parecen naturales e irrenunciables. Esto implica que no existe sistema de elección capaz de evitar, en algún caso, resultados abiertamente contrarios a los fines que el propio diseño del mecanismo pretendía alcanzar.

Estas consecuencias pueden aparecer en determinadas situaciones, y aunque podamos evitarlas mediante una modificación del sistema de selección, al desaparecer las que se pretendía eliminar, inevitablemente surgen otras consecuencias indeseables.

Ante la pregunta de si es posible encontrar un sistema óptimo para establecer la preferencia colectiva —donde cada individuo debe poder ordenar, según su criterio, las opciones de su preferencia—, el teorema de Arrow ofrece una respuesta categórica: no existe sistema alguno capaz de satisfacer simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Universalidad: el sistema produce siempre un resultado para la preferencia colectiva, sean cuales sean las preferencias individuales.
   
2. Unanimidad (eficiencia de pareto): Si para todos los electores A es preferible a B, entonces la elección no puede recaer en B.
   
3. Independencia de alternativas irrelevantes: el resultado no debe depender de las preferencias de los electores por alternativas que ya no están en juego. Si se elimina una opción, el orden de las demás, no excluidas, debe mantenerse.
   
4. Ausencia de dictadores: el sistema garantiza que no exista ningún elector —denominado en este contexto “dictador”— cuyas preferencias coincidan siempre con el resultado, independientemente de las preferencias de los demás.

Originalmente, el enunciado del teorema de Arrow afirma lo siguiente:

“Todo sistema de establecimiento de preferencias colectivas que satisfaga las propiedades 1, 2 y 3 anteriores necesariamente tiene un dictador.”

Esto significa que las condiciones 1, 2 y 3 constituyen requerimientos mínimos de democracia.

Naturalmente, el teorema de imposibilidad de Arrow conduce a paradojas. Consideremos el siguiente ejemplo: los votantes, integrantes de un congreso compuesto por 99 miembros, ordenan sus preferencias entre tres proyectos de desarrollo vial A, B y C, clasificándolos de mejor a peor para decidir cuál de los tres será aprobado. Supongamos que el resultado es el siguiente:

33 votos: A > B > C. Es decir, un tercio del congreso prefiere el proyecto A sobre B, y B sobre C.

33 votos: B > C > A. Otro tercio prefiere B sobre C, y C sobre A.

33 votos: C > A > B. Finalmente, el último tercio prefiere C sobre A, y A sobre B.

En este escenario, al comparar por pares:

A es preferido sobre B (66 votos contra 33).

B es preferido sobre C (66 votos contra 33).

C es preferido sobre A (66 votos contra 33).

Esto presenta un resultado paradójico: 

A > B > C > A.

Es decir, no existe un ganador claro, y el sistema de votación arroja un desenlace contradictorio con la idea de una preferencia colectiva coherente.

No obstante, las paradojas solo aparecen cuando existen tres o más alternativas. A pesar de las implicaciones del teorema, los métodos de votación entre dos opciones no presentan dificultad; y esta es una de las razones por las que se recurre con frecuencia a la eliminación de múltiples alternativas hasta reducir la decisión únicamente a dos. Decidir entre múltiples candidatos cuál goza de mayor favorabilidad conduce a situaciones paradójicas que no se producen cuando únicamente se enfrentan dos candidatos.

El teorema de imposibilidad de Arrow revela los desafíos inherentes a los sistemas de votación basados en el orden de las preferencias, al mostrar que ningún método puede satisfacer simultáneamente todas las condiciones clave de equidad, y pone de relieve las paradojas que entraña la búsqueda de un sistema de elección colectiva perfecto. Se trata de un concepto fundamental en la teoría de la elección social, que subraya la complejidad y los desafíos de la toma de decisiones colectivas.

Gracias a esta investigación, en 1972 Arrow se convirtió en la persona más joven en recibir el Premio Nobel de Economía.

@MantillaIgnacio

La familia está conformada por los padres, ya mayores, junto con su hijo y la esposa de este. Tras avanzar por un estrecho camino abandonado, que el padre conocía desde su infancia, han logrado alcanzar la frontera y, ya entrada la noche, deben cruzar un puente para ponerse a salvo en el país vecino.

La oscuridad de la noche obliga a utilizar una linterna para cruzar. Por fortuna, la familia dispone de una, incluida por la madre en el equipaje a última hora, antes de abandonar la casa con premura. La luz resulta imprescindible para alcanzar el otro lado, pues todo está en penumbras y el puente se encuentra en mal estado.

Adicionalmente, la familia enfrenta varios inconvenientes: la persecución a la que está sometida les concede únicamente quince minutos para atravesar el puente. Por otra parte, debido a su estado y estrechez, este solo soporta el paso de dos personas al mismo tiempo. Considerando las limitaciones físicas y el cansancio, el padre requiere 5  minutos para cruzar, la madre necesita 8, mientras que el hijo lo logra en apenas 1 minuto y su esposa en 2.

Como se indicó previamente, el puente solo soporta el paso de dos personas a la vez, y cuando avanzan juntas lo hacen al ritmo del más lento. La linterna no puede lanzarse de un extremo al otro, de modo que cada vez que dos personas crucen, alguien debe regresar con ella para acompañar a quienes aún esperan. Este procedimiento debe repetirse hasta que todos hayan alcanzado el otro lado.

¿Lograrán atravesar todos en 15 minutos o menos tiempo?

Una estrategia que parece lógica es que el más rápido de la familia, el hijo (H), sea quien acompañe a cada uno de los demás a través del puente. Procedamos primero con los más veloces, siguiendo estos pasos: 

Primer paso: El padre (P), la madre (M), el hijo (H) y la esposa (E) se ubican a la entrada del puente.

Segundo paso: H y E cruzan el puente al ritmo del más lento —el de E—, de modo que demoran 2 minutos en alcanzar la otra orilla.

Tercer paso: E permanece esperando a los demás, mientras H regresa al punto de partida con la linterna; lo hace en 1 minuto, de manera que en total han transcurrido 3 minutos.

Cuarto paso: H y P cruzan ahora el puente, pero necesitan 5 minutos, que es el tiempo requerido por P; al llegar a la otra orilla y reunirse con E, habrán transcurrido en total 8 minutos desde el inicio.

Quinto paso: Como antes, H regresa al punto de origen en 1 minuto y se reencuentra con M, la más lenta del grupo. Para ese momento ya han transcurrido 9 minutos.

Sexto paso: Cuando M y H intentan cruzar el puente, la linterna se agota antes de conseguir el objetivo, pues necesitarían 8 minutos y, desde el inicio, sumarían 17 minutos.

Por lo tanto, la estrategia anterior falla.

¿Cómo ayudar a la familia en apuros con una estrategia exitosa?

Veamos la siguiente alternativa para minimizar el tiempo de recorrido. Parece natural arriesgar enviando a las personas más lentas en un solo viaje. El primer esquema propuesto es el siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. H regresa → 1 minuto (total: 3 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 11 minutos).

4. E regresa → 2 minutos (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).

Como se observa, esta estrategia resultó exitosa.

Una solución adicional del acertijo es la siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. E regresa → 2 minutos (total: 4 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 12 minutos).

4. H regresa → 1 minuto (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).
   
   

Las dos últimas estrategias exitosas, conseguidas en cinco viajes, permiten a la familia ponerse a salvo.

Podemos ahora plantearnos el reto de generalizar el problema a un grupo arbitrario de personas, con ritmos de cruce distintos y un tiempo límite, manteniendo invariable la capacidad del puente. Se trata de un problema que, sin duda, encuentra sustento en la conocida teoría de grafos; así, un sencillo acertijo de lógica puede conducir a la formulación de teoremas más generales.

@MantillaIgnacio

Existe una carta dirigida a Henry Oldenburg, de fecha 24 de octubre de 1676, en la que Newton comenta que Leibniz había desarrollado un método nuevo para él, refiriéndose a las series de potencias, lo que revelaría que incluso llegaron a trabajar juntos, pues tanto Leibniz como Newton, gracias a ese intercambio de cartas, pudieron haber conocido los avances del otro.

Aun cuando en 1713 la Real Sociedad determinó que Newton se había anticipado a Leibniz algunos años, esta conclusión no fue aceptada por todos y la disputa tomó muchos años, hasta después de muertos los dos. Hoy en día se acepta que ambos llegaron al cálculo independientemente, por lo que no hubo plagio.

Pero hay que reconocer que Leibniz tuvo que enfrentar a un gigante de la ciencia como lo fue Isaac Newton, tarea que para la época nadie hubiese querido realizar; sin embargo, Leibniz no fue un enano de la ciencia, sino uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, reconocido como «el último genio universal». Realizó profundas e importantes contribuciones en áreas de filosofía, matemáticas, física, geología, jurisprudencia e historia. 

Leibniz presentó en Londres su desarrollo del cálculo, así como una máquina calculadora que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Por estos aportes, la Real Sociedad, muy complacida, le nombró miembro externo.

Menos conocida es la controversia que existió entre Newton y Raphson por la invención del conocido «método de Newton» o «método de Newton-Raphson» para calcular ceros de funciones en forma aproximada. El matemático inglés Joseph Raphson (1668-1715) fue nombrado miembro de la Real Sociedad en 1689, cuando tenía apenas 21 años de edad, a solicitud del célebre astrónomo, físico y matemático Edmond Halley, y su elección se basó principalmente en la solidez de su trabajo. 

Según consta en las actas: “El Sr. Halley relató que el Sr. Raphson había inventado un método para resolver todo tipo de ecuaciones y dar sus raíces en series infinitas que convergen rápidamente, y que le había pedido que le propusiera una ecuación de quinta potencia, a la cual devolvió respuestas con siete cifras en mucho menos tiempo del que se podría haber logrado con los métodos conocidos de Vieta”. 

Este método, dado a conocer por Raphson y descrito en su libro Analysis aequationum universalis, publicado en 1690, es el que se denomina ahora método de Newton o método de Newton-Raphson, pues también Newton lo describió como un método para aproximar las raíces de una ecuación en su trabajo Method of Fluxions. La controversia surge aquí al intentar determinar quién es el autor del método, cuestión que vamos a tratar de aclarar a continuación.

El método Newton, o método de Newton-Raphson, es un poderoso procedimiento iterativo para resolver 

$f(x)=0$

cuando $f$ es una función continuamente diferenciable en una vecindad de la raíz buscada. Se trata de un método iterativo particular de punto fijo, tal como lo conocemos hoy, en el cual la función $f(x)$ se linealiza en $x_n$ para hallar $x_{n+1}$. Presentado con la notación que se usa actualmente (la de Leibniz), dado un valor inicial $x_0$, se define:

$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0,1,2,\dots$

La convergencia del método está garantizada siempre y cuando el valor inicial elegido esté suficientemente próximo a la raíz buscada.

En 1671, Newton describió ese método para aproximar ceros de polinomios y, como ejemplo, halló la raíz de la ecuación

$x^{3} – 2x – 5 = 0$

situada entre 2 y 3, obteniendo aproximadamente:

$x \approx 2.09455.$

Pero, aunque fue escrito en 1671, no se publicó hasta 1736, por lo que se afirma que Raphson dio a conocer el resultado casi cincuenta años antes que Newton. Las actas de la reunión de la Royal Society del miércoles 17 de diciembre de 1690 (calendario juliano) contienen una referencia al Análisis aequationum universalis de Raphson en los siguientes términos:

“El libro del Sr. Raphson fue publicado hoy por E. Halley, en el cual ofrece una notable mejora del método de resolución de todo tipo de ecuaciones, mostrando cómo extraer sus raíces mediante una regla general que duplica las cifras conocidas de la raíz obtenida en cada operación. De esta manera, al repetir el procedimiento tres o cuatro veces, se obtienen resultados con una precisión de ocho o diez cifras decimales. La Sociedad, muy complacida con su trabajo, le expresó su agradecimiento y le deseó que continuara con los estudios en los que ha tenido tanto éxito”.

El sábado 17 de enero de 1691 (calendario juliano) se presentó a la Royal Society un ejemplar del libro de Raphson como “un regalo del autor”.

La relación de Raphson con Newton es significativa, ya que entre ellos no hubo disputa alguna por el método. Raphson fue una de las pocas personas a quienes Newton permitía acceder a sus trabajos matemáticos, incluso llegó a traducir algunos de ellos del latín al inglés.

En 1691, Raphson y Edmond Halley participaron en los planes para publicar la obra de Newton de principios de la década de 1670 sobre la cuadratura de curvas, un proyecto que solo se concretó en 1704. Asimismo, se sabe que en 1711 Roger Cotes y William Jones propiciaron que Raphson pudiera consultar algunos de los trabajos de Newton para su proyecto de redactar la Historia de las Fluxiones, que no se publicó hasta 1715,  después de la muerte de Raphson, bajo el título Historia fluxionum.

En definitiva, la controversia se resuelve aceptando que Newton había descrito el método en 1671, antes de la publicación de Raphson, aunque aplicado exclusivamente a la aproximación de raíces de polinomios. Unos años más tarde, Raphson —quien había tenido acceso a este trabajo— publicó su propio método, más general, válido para el resto de funciones continuamente diferenciables. Por lo tanto, podemos concluir que Raphson partió del procedimiento de Newton para desarrollar su versión del método y que, en consecuencia, no existió un «robo» ni por parte de Newton ni de Raphson. Así, la denominación actual de «método de Newton-Raphson» constituye un justo reconocimiento a la historia de su aparición.

Como bien puede observarse, conocer la historia detrás de los aportes matemáticos que hoy disfrutamos nos permite valorar el esfuerzo y la dedicación de quienes nos transmitieron sus descubrimientos e invenciones.

@MantillaIgnacio

—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que salga sello es de 1/2; o sea, que tienes el 50 % de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo—: si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17 % de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50 %? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven—: si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20 %.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues, según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y, por lo tanto, no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros, y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes; entonces, el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y, si no lo realiza antes, entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día; así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces, por la misma razón, no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que, si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy; entonces, no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros, quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente, todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—Saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban, y por lo tanto, se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente «paradoja».

@MantillaIgnacio

Números afortunados: un número afortunado es un número entero $Q_n$, que resulta de la expresión 

$q-P_n = Q_n$

donde $P_n$ es el producto de los primeros $n$ números primos y $q$ es el número primo más pequeño que es mayor que $P_n+1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el menor primo $q$ mayor que $7 = (6+1)$ es $q=11$, entonces

$q-P_2 = Q_2 =11-6=5$,

por lo tanto $5$ es un número afortunado.

Si $n = 8$ tenemos que los primeros $8$ números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19$ cuyo producto es $9.699.690$. El menor primo inmediatamente mayor que $9.699.691$ es $q= 9.699.713$. Por lo tanto

$Q_8=q-P_8=9.699.713-9.699.690=23$

es un número afortunado.

Los números afortunados $Q_n$ pueden ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $Q_{10} ,Q_{12},Q_{17}$ son iguales al número $61$.

Los primeros números afortunados, omitiendo los repetidos para diferentes valores de $n$ son:

$3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, ….$

La autoría del nombre número afortunado es atribuida al antropólogo neozelandés Reo Franklin Fortune (1903-1979), quien ademas conjeturó que todos los números afortunados son primos. Y no sabría si el nombre que dio a estos números tiene qué ver directamente con su apellido.

Números de la suerte: No hay que confundir los números afortunados con los Números de la Suerte que se consiguen mediante una criba, como la conocida Criba de Eratóstenes, ingenioso algoritmo que es eficiente para encontrar los primeros números primos.

En el caso de los números de la suerte la criba consiste en ir tachando inicialmente todos los números que aparecen en las posiciones pares, así nos quedan los impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…$ Como el segundo número que ha quedado es el 3, tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3 y nos quedan ahora los números: $1, 3, 7, 9, 13,…$ Como el siguiente número que quedó es el 7, eliminamos ahora, como antes, todos los que aparecen en las posiciones que son múltiplo de 7 y continuamos en esta forma, así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números de la suerte.

Los primeros números de la suerte son:

$1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127,…$

Números recostados: ahora bien, a partir de los números afortunados podríamos definir otro conjunto similar, que al beneficiarse de la existencia de estos, yo llamaría números recostados y que pueden definirse en forma parecida a los afortunados: un número recostado es un número entero $B_n$, que resulta de la expresión 

$P_n-r = B_n$

donde $P_n$  es, como arriba, el producto de los primeros $n$ números primos y $r$ lo definimos como el número primo más grande que es menor que $P_n-1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el mayor primo $r$ menor que $5 = (6-1)$ es $r=3$, entonces

$P_2 -r= B_2 =6-3=3$

por lo tanto $3$ es un número recostado.

Si $n = 6$ tenemos que los primeros 6 números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13$ cuyo producto es $30.030$. El mayor primo inmediatamente menor que $30.029$ es $r= 30.019$. Por lo tanto

$B_6=P_6-r=30.030-30.019=11$

es un número recostado. Obsérvese que $11$ no es un número afortunado.

Los números recostados $B_n$ también podrían ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $B_6= B_4 =11.$

Los primeros números recostados serían

$3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, …$

y también creo que se puede conjeturar que son todos primos.

Como se observa, en torno a estos nuevos conjuntos podemos proponer una diversidad de conjeturas que ofrecen retos que no son sencillos de resolver.

@MantillaIgnacio