En las redes sociales abundan los acertijos virales de escaso o nulo aporte, que con frecuencia terminan desalentando a quienes intentan resolverlos. Se trata de problemas tramposos o ambiguos, diseñados para ocultar algún truco artificioso que parece requerir magia más que razonamiento, o bien de ejercicios que no demandan capacidad matemática alguna. El resultado suele ser negativo: quienes fracasan en el intento acaban frustrados y se refuerza la falsa idea de que las matemáticas no están al alcance de todos.

Existen también acertijos que, aunque no son triviales, encierran una lógica brillante capaz de sorprendernos y de la cual podemos aprender mucho. Tal es el caso de los problemas que presentaba con regularidad el gran divulgador de las matemáticas Martin Gardner (1914–2010), quien durante tres décadas, entre 1956 y 1986, mantuvo en la revista Scientific American una célebre columna dedicada a los juegos matemáticos.

Algunos de los problemas publicados por Gardner fueron obra de Raymond Merrill Smullyan (1919–2017), considerado el más célebre creador de acertijos de todos los tiempos y conocido como el “Gandalf de las Matemáticas”, apelativo que se le dio por su aspecto físico.

Uno de los más conocidos es el «acertijo del prisionero», cuya autoría suele atribuirse a Raymond Smullyan. Un hombre se encuentra encerrado en una celda con dos puertas: una conduce a la muerte en la hoguera y la otra a la libertad. Frente a cada puerta hay un guardia. Uno de ellos dice siempre la verdad y el otro miente siempre, pero el prisionero no sabe cuál de ellos dice la verdad y cuál miente. Se le concede entonces la posibilidad de formular una única pregunta a uno de los guardias. ¿Qué pregunta debe hacer para identificar con certeza la puerta que conduce a la libertad?

La solución es más sencilla de lo que parece, aunque encierra una idea ingeniosa. El prisionero puede preguntar indistintamente a cualquiera de los dos guardias:

«¿Qué diría su compañero si le preguntara cuál puerta conduce a la libertad?»

Una vez obtenida la respuesta, deberá escoger la puerta contraria a la indicada. La clave está en comprender por qué ambos guardias, pese a responder de manera opuesta, terminan señalando la misma puerta. Analicemos el razonamiento paso a paso.

Si el prisionero formula la pregunta al guardia que siempre miente, este señalará la puerta de la hoguera, pues mentirá acerca de la respuesta que daría su compañero. Por otra parte, si se la formula al guardia que siempre dice la verdad, también señalará la puerta de la hoguera, ya que responderá sinceramente qué diría su compañero mentiroso. En ambos casos, por razones distintas, la respuesta recibida apunta a la puerta equivocada. Por lo tanto, el prisionero debe elegir la puerta contraria a la que le indiquen.

De los muchos acertijos de este tipo creados por Smullyan, he escogido uno muy especial para compartir con ustedes.

Se trata de un ingenioso problema diseñado por este autor y posteriormente popularizado por el matemático y filósofo George Boolos. Apareció por primera vez en el diario italiano La Repubblica el 16 de abril de 1992 y fue presentado más tarde en The Harvard Review of Philosophy en 1996 con el título «El acertijo lógico más difícil del mundo». Desde entonces ha sido difundido, analizado y discutido innumerables veces, dando lugar a diversas variantes que han incrementado todavía más su dificultad.

En una versión simplificada y adaptada para este artículo, el desafío consiste en identificar a dos poderosos empresarios llamados Vertancio y Falcracio mediante una única pregunta cuya respuesta solo puede ser SÍ o NO. Sabemos que Vertancio dice siempre la verdad y que Falcracio miente siempre. Sin embargo, existe una dificultad adicional: aunque ambos entienden perfectamente el español, responderán utilizando únicamente los monosílabos «BIS» y «PUM». Uno de ellos significa SÍ y el otro NO, pero no sabemos cuál es cuál.

Obsérvese que, si en lugar de responder «BIS» o «PUM» respondieran directamente SÍ o NO, identificar a cada uno de los empresarios resultaría trivial. Bastaría preguntar a cualquiera de ellos: «¿Te estoy hablando a ti?». Como la respuesta verdadera es necesariamente afirmativa, Vertancio respondería SÍ, mientras que Falcracio respondería NO. De este modo, una sola pregunta permitiría determinar inmediatamente la identidad del interrogado.

Ahora bien, si los empresarios responden únicamente con «BIS» o «PUM», el problema se complica considerablemente. Como ignoramos cuál de esas palabras significa SÍ y cuál significa NO, una pregunta tan simple como la anterior deja de ser útil. Es necesario idear una pregunta más sutil que pueda formularse indistintamente a cualquiera de los dos empresarios.

La lógica matemática proporciona una manera ingeniosa de superar esta dificultad. Para ello se recurre a una pregunta formada por dos proposiciones unidas mediante la expresión «si y solo si». Una afirmación de este tipo es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad; es decir, cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas. Como veremos, esta construcción permite neutralizar simultáneamente el problema de la mentira y el desconocimiento del significado de las palabras «BIS» y «PUM». La pregunta es:

«¿“BIS” significa SÍ si y solo si te estoy hablando a ti?»

Veamos por qué esta pregunta es suficiente para descubrir la identidad de los empresarios. Las dos proposiciones son «BIS es SÍ» y «Te estoy hablando a ti». La proposición compuesta será verdadera cuando ambas sean verdaderas o cuando ambas sean falsas.

1. Si el empresario preguntado es Vertancio y BIS significa SÍ, responderá «BIS», porque ambas proposiciones son verdaderas. Como Vertancio no miente, responde afirmativamente; y, puesto que BIS significa SÍ, su respuesta será «BIS».
   
2. Si el empresario preguntado es Vertancio y BIS significa NO, también responderá «BIS». En este caso, la proposición «BIS es SÍ» es falsa, ya que hemos supuesto que BIS significa NO. En cambio, la proposición «Te estoy hablando a ti» es verdadera, porque la pregunta se le está formulando precisamente a Vertancio. Como una de las proposiciones es falsa y la otra verdadera, no tienen el mismo valor de verdad; por consiguiente, la proposición compuesta es falsa.
   Ahora bien, Vertancio siempre dice la verdad. Por lo tanto, al preguntarle si la proposición compuesta es verdadera, debe responder negativamente, es decir, debe contestar «NO». Sin embargo, en este supuesto la palabra BIS significa precisamente «NO». Así pues, aunque su respuesta lógica es «NO», la palabra que pronuncia es «BIS». En consecuencia, la respuesta que escucharemos será nuevamente «BIS».
   
3. Si el empresario preguntado es Falcracio y BIS significa SÍ, responderá «PUM». En este caso, ambas proposiciones son verdaderas y, por consiguiente, la proposición compuesta también es verdadera. Pero Falcracio miente siempre, de modo que responde «NO». Como BIS significa SÍ, la palabra que significa NO es «PUM».
   
4. Si el empresario preguntado es Falcracio y BIS significa NO, responderá «PUM». En este caso, una de las proposiciones es falsa y la otra verdadera, por lo que la proposición compuesta es falsa. Como Falcracio miente, responderá «SÍ»; y, puesto que BIS significa NO, la palabra que significa SÍ es «PUM».
   

Por lo tanto, una sola pregunta basta para identificar al empresario interrogado: si responde «BIS», será Vertancio; si responde «PUM», será Falcracio. Lo único que aún desconocemos es el significado de las palabras BIS y PUM.

Una segunda pregunta dirigida a Vertancio resuelve inmediatamente esta última incógnita:

«¿Te estoy hablando a ti, cierto?»

Dado que la respuesta verdadera es inequívocamente afirmativa y Vertancio nunca miente, responderá con la palabra que significa SÍ. Así, si contesta «BIS», concluiremos que BIS significa SÍ; y si contesta «PUM», concluiremos que PUM significa SÍ. En cualquiera de los dos casos quedará determinado también el significado de la otra palabra.

El caso que hemos estudiado es solo una muestra del ingenio que esconden los acertijos lógicos. Existen variantes considerablemente más complejas, pero todas comparten una misma idea: cuando las respuestas parecen inútiles, la clave está en formular la pregunta correcta.

@MantillaIgnacio

Es precisamente la claridad de esa secuencia y la monotonía de su ejecución lo que hoy facilita implementar un algoritmo en un computador, con la ayuda de un lenguaje de programación. Además, un algoritmo suele liberarnos de ejecutar operaciones y cálculos de forma repetitiva: dejamos que sean las máquinas las que hagan ese trabajo y entreguen los resultados, evitando así una tarea que, hecha manualmente, resultaría tediosa, larga y propensa a errores.

Un ejemplo sencillo y elegante de algoritmo es el siguiente. Supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada de un número positivo $a$, es decir, $\sqrt{a}$. El problema consiste en encontrar el valor positivo $x$ tal que $x^2 = a$, lo cual equivale a decir que 

$x = \frac{a}x$. 

A partir de esta idea, podemos partir de un valor inicial aproximado $x_0$ y observar que el punto medio entre $x_0$ y  $\frac{a}x$  es una mejor aproximación de $\sqrt{a}$ que el propio $x_0$. Si llamamos $x_1$ a ese punto medio, tenemos que: 

$x_1 = \frac{1}{2}\left(x_0 + \frac{a}{x_0}\right)$.

Este nuevo valor $x_1$, está más cerca de $\sqrt{a}$ que $x_0$.

Este proceso se puede repetir indefinidamente, formando así una sucesión $x_n$ donde cada nuevo término $x_{n+1}$ se obtiene calculando el punto medio entre el anterior, $x_n$, y la fracción $\frac{a}{x_n}$; es decir: 

$x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{a}{x_n}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots$

Para aproximar la raíz cuadrada de $a$, basta ahora calcular los primeros términos de esa sucesión, $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_M,$hasta que la aproximación $x_M$ sea satisfactoria de acuerdo con la precisión deseada; naturalmente, a mayor precisión buscada, mayor deberá ser $M$.

Este es un algoritmo sencillo y de uso común, que puede implementarse fácilmente en un computador para obtener una respuesta aproximada al problema de calcular una raíz cuadrada.

Más recientemente se ha venido investigando el uso de otro tipo de algoritmos: los llamados algoritmos genéticos. Un algoritmo genético simula los mecanismos que sigue la evolución de las especies en la biología. Se trata de una técnica inspirada en la teoría de la evolución que formuló Charles Darwin en su obra fundamental El origen de las especies por medio de la selección natural (1859), según la cual sobrevive el individuo mejor adaptado al medio. Los algoritmos genéticos combinan esa idea de la evolución con los principios de la genética.

La pregunta es cómo traducir esta idea a fórmulas matemáticas. La técnica consiste en considerar, no ya una única solución del problema, sino muchas a la vez, agrupadas en un conjunto donde cada elemento —es decir, cada solución individual— se trata como un individuo dentro de una población.

Uno de los problemas en los que se aplica este tipo de algoritmos es el de la optimización de rutas. Pensemos, por ejemplo, en la búsqueda de la mejor ruta para ir al trabajo en una ciudad como Bogotá. Supongamos que alguien necesita llegar al centro de la ciudad todos los días a las 9 de la mañana, desplazándose desde Chía. Las opciones son numerosas: tomar la autopista norte, con al menos 20 posibilidades de calles y avenidas para completar el trayecto, o tomar la carrera séptima, que ofrece otros 15 caminos alternativos. A esto hay que sumar rutas menos directas, como las que pasan por La Calera o por Cota. Al final, el número de rutas factibles es muy alto, y el camino más corto no siempre resulta ser el más rápido.

En la búsqueda de la ruta óptima hay que tener en cuenta varios factores: la distancia, el tiempo de recorrido, el costo (peajes, combustible), el medio de transporte disponible (bicicleta, moto, automóvil, bus, taxi, Uber) y las restricciones vigentes, como el pico y placa, además de los niveles de tráfico según el horario. Cada una de las posibles rutas se considera como un individuo de la población y se transforma en un vector matemático.

Los algoritmos genéticos funcionan, para este problema, de la siguiente forma: se selecciona aleatoriamente un conjunto de caminos y se compara su eficiencia, de manera que las rutas menos eficientes se descartan y las mejores soluciones se van clasificando para luego reproducirlas, mutarlas o cruzarlas, tal como ocurre en la población de una especie. Al aplicar el mecanismo de la reproducción, surgen las soluciones correspondientes a las rutas más rápidas, mientras que se eliminan aquellas que tardan demasiado. Después puede aplicarse un cruzamiento entre las mejores rutas, combinándolas entre sí, y llevar a cabo mutaciones sobre las rutas resultantes. Al repetir este mecanismo varias veces, la población se va depurando hasta que sobreviven las mejores soluciones.

Aplicaciones como Waze o Google Maps tienen en cuenta el tráfico en tiempo real y son capaces de recalcular la ruta sobre la marcha. Buena parte de esta información proviene de los propios usuarios, quienes reportan datos del camino como el estado de la vía, los controles policiales, los accidentes y los niveles de tráfico. Estas aplicaciones también recurren a promedios estadísticos almacenados para programar y recomendar rutas; sin embargo, la elección de la mejor opción puede verse afectada por errores cuando la información suministrada o los mapas disponibles no son del todo precisos. Este tipo de programas comerciales se basa en algoritmos genéticos, pero su respuesta suele tener una utilidad limitada a un intervalo de tiempo corto, ya que la ruta elegida puede haber empeorado para cuando el usuario la recorre.

Obtener soluciones óptimas en poco tiempo de cómputo es uno de los grandes atractivos de los algoritmos genéticos, y resulta fascinante pensar que problemas complejos y actuales puedan resolverse aplicando las ideas de la evolución que formuló Darwin hace más de siglo y medio.

Como se observa, las matemáticas están en todas partes. Cuando usamos alguna de las aplicaciones con las que ya estamos familiarizados, los algoritmos que hay detrás pueden transformarse en métodos que, como las especies, también evolucionan, logrando dar respuestas cada vez mejor adaptadas al entorno en el que vivimos hoy. Los algoritmos se han propagado de tal forma, y su poder es tan grande, que resulta difícil imaginar la vida moderna sin ellos.

Comprender qué es un algoritmo, aunque sea de manera general, nos ayuda a entender mejor el mundo que nos rodea: desde una simple calculadora hasta las aplicaciones que usamos a diario para movilizarnos por la ciudad. Detrás de cada respuesta rápida y precisa que recibimos hay una secuencia lógica de pasos, muchas veces inspirada, como vimos, en la propia naturaleza. Conocer esa lógica no solo despierta curiosidad, sino que también nos permite valorar —y cuestionar— las herramientas que hoy forman parte inseparable de nuestra vida cotidiana.

@MantillaIgnacio

El teorema fue planteado por el matemático británico Frank P. Ramsey —fallecido a la temprana edad de 26 años—, quien demostró un teorema general de combinatoria en su artículo On a Problem of Formal Logic. El texto fue leído ante la London Mathematical Society en 1928, pero no se publicó sino hasta 1930, cuando Ramsey ya había muerto sin ver su artículo impreso; con él nació la llamada «teoría de Ramsey».

Frank P. Ramsey

Dentro de la denominada «teoría de Ramsey» se estudian las condiciones sobre el número de elementos que debe tener un conjunto dado para que se cumpla una determinada propiedad. Un ejemplo sencillo es el conocido «principio del palomar», que da respuesta a la siguiente pregunta: dado un conjunto de n palomares, ¿cuántas palomas se necesitan para que haya al menos un palomar con más de una paloma? Claramente, si llamamos m al número de palomas, la condición pedida es m > n. El «principio del palomar» también se suele formular así: si hay más palomas que palomares, alguno de los palomares deberá contener por lo menos dos palomas.

Un ejemplo menos sencillo del «principio del palomar» podría ser el siguiente: siempre que el Teatro Colón de Bogotá se llena, hay al menos dos personas del público cuyos apellidos comparten tanto la primera como la última letra, como Gómez y González, o Restrepo y Romero. En efecto, el Teatro Colón tiene un aforo de 773 personas, que consideramos nuestras palomas. Por su parte, los palomares están dados por los pares de letras —como (G, z) o (R, o), los de los ejemplos anteriores— que se pueden formar con las 27 letras del alfabeto, desde (A, a) hasta (Z, z); en total, 27 × 27 = 729 pares. Como hay más palomas (773 personas) que palomares (729 pares de letras), entonces al menos dos palomas deberán compartir el mismo palomar, es decir, dos personas compartirán el mismo par de letras en su apellido. Por lo tanto, podemos concluir que, cuando el Teatro Colón se llena, al menos dos personas del público comparten la primera y la última letra de sus apellidos.

El teorema de la amistad puede enunciarse mediante un ejemplo célebre que ilustra el alcance de la teoría de Ramsey: en cualquier grupo de seis personas, siempre habrá tres que se conocen mutuamente entre sí, o bien tres que son mutuamente desconocidas. Este resultado, conocido informalmente como el «problema de la fiesta», corresponde al caso particular R(3,3) = 6 del teorema general demostrado por Ramsey.

Para comprobar este resultado, observemos primero que un grupo de seis personas se puede representar mediante un hexágono con todas sus diagonales trazadas, donde cada persona es un vértice. Así obtenemos lo que se llama un grafo completo, pues cada vértice está conectado con todos los demás. Si ahora coloreamos con una arista azul a cada par de personas que se conocen, y con una arista roja a cada par que no se conoce, el resultado nos dice que siempre debe existir al menos un triángulo completamente azul o uno completamente rojo; es decir, siempre habrá un grupo de tres personas que se conocen entre sí, o un grupo de tres que son mutuamente desconocidas.

Para visualizar el problema, podemos considerar las 78 maneras esencialmente distintas —no isomorfas— de colorear con estos dos colores las aristas del hexágono completo, e identificar en cada una los triángulos azules (de conocidos) y los triángulos rojos (de desconocidos).

En cada hexágono, el color de cada arista indica si el par de personas correspondiente se conoce o no. Se observa que, en todos los casos, existe un triángulo rojo o un triángulo azul; es decir, siempre hay tres personas que no se conocen entre sí, o tres que sí se conocen mutuamente.

Vale la pena señalar que seis es, en efecto, el menor número de personas para el cual el resultado se cumple siempre. Con solo cinco personas, es posible construir una red de conocidos y desconocidos en la que no aparece ningún triángulo monocromático.

Imaginemos una gran recepción de negocios, donde el anfitrión organiza mesas de seis personas para el almuerzo. Sin importar cómo se distribuyan los invitados, en cualquier mesa de seis el teorema garantiza que habrá un trío que ya se conocía de antes, o bien un trío de completos desconocidos entre sí. El caso más fácil de ver es el de dos bloques definidos: tres colegas de una misma empresa sentados junto a tres proveedores que nunca se han visto. Pero el teorema no exige un arreglo tan ordenado: aun con relaciones más enredadas, el trío siempre termina apareciendo entre los seis comensales.

Este ejemplo también deja ver por qué cinco personas no bastan. Sentemos a cinco comensales alrededor de una mesa redonda, de modo que cada uno conozca únicamente a las dos personas que tiene inmediatamente al lado, pero sea un extraño para los otros dos, incluidos los vecinos de sus propios vecinos. Con este acomodo, cualquier trío que se escoja queda incompleto: dos de los tres pares se conocen, pero el tercero no —por ejemplo, dos vecinos de una misma persona nunca se conocen entre sí—. Así, ningún trío resulta enteramente de conocidos ni enteramente de desconocidos, y el anfitrión logra evitar, con solo cinco comensales, lo que el teorema vuelve inevitable a partir de seis.

Guardaba la esperanza de poder afirmar, gracias al teorema de la amistad, que en toda coalición política de seis precandidatos siempre hay tres que se conocen entre sí. Pero el teorema es más cauteloso que eso: solo garantiza que hay tres que se conocen, o bien tres que no se conocen, sin asegurar cuál de las dos opciones ocurre. Así que la próxima vez que vea una coalición de seis candidatos, lo único que puedo afirmar con certeza es que entre ellos hay un trío muy unido… o un trío de completos desconocidos.

@MantillaIgnacio

A mi modo de ver, la mayoría de estas preocupaciones proviene de la idea de que los matemáticos dejarán de ser valiosos. Hay un aparente temor a que se pierda la utilidad de su labor, a que su capacidad para resolver problemas sea superada por la indiscutible superioridad de la IA en el procesamiento de la información.

No obstante lo anotado anteriormente, creo que ese tipo de preocupaciones ha existido siempre, y no solo entre los matemáticos. La aparición de la imprenta de Gutenberg, por ejemplo, suscitó numerosas inquietudes debido a la difusión masiva de textos que antes estaban reservados a unos pocos. Además, provocó la gradual desaparición de algunos oficios, como el de los amanuenses o copistas, encargados de transcribir manuscritos a mano, labor que generalmente se realizaba en monasterios y talleres.

En la evolución de las herramientas utilizadas para efectuar cálculos y resolver problemas ha habido siempre, por supuesto, un efecto sobre la manera de hacer matemáticas. Desde los ábacos utilizados por numerosas culturas se llegó a inventos de enorme importancia, como las calculadoras mecánicas: la pascalina, diseñada por Blaise Pascal en 1642, o la extraordinaria máquina de Leibniz, presentada en 1673, con la que ya podían realizarse las cuatro operaciones aritméticas básicas, incluida la división. Cada uno de estos avances generó temores y contribuyó gradualmente a la desaparición de oficios ya tradicionales que dependían de la habilidad para efectuar cálculos manuales de forma rápida y precisa, como los de los calculistas que realizaban complejos cómputos numéricos para la astronomía, la navegación, la ingeniería o la administración.

El siguiente gran salto se produjo con la aparición de las calculadoras electrónicas hacia mediados del siglo XX. Estas máquinas, inicialmente costosas y reservadas a instituciones científicas, militares y empresariales, realizaban en segundos operaciones que antes requerían largos cálculos manuales. Ya en la década de 1970 se popularizaron, y los estudiantes universitarios podían adquirirlas para reemplazar las reglas de cálculo y las tablas logarítmicas en la ejecución de sus tareas en las asignaturas de matemáticas.

Desde entonces hemos ido abandonando algoritmos y procedimientos que antes aprendíamos tras dedicarles mucho tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el cálculo manual de una raíz cuadrada, tarea que estoy seguro de que la mayoría de los lectores no podría realizar hoy sin detenerse primero a recordar el procedimiento. Sería prácticamente imposible, por ejemplo, determinar en pocos minutos el valor de √17,3 sin la ayuda de una calculadora.

Como había ocurrido con innovaciones anteriores, la llegada de estos instrumentos de cálculo despertó inquietudes entre quienes temían que las nuevas tecnologías sustituyeran habilidades que durante siglos habían sido altamente valoradas. Sin embargo, lejos de hacer innecesarias las matemáticas, las calculadoras electrónicas permitieron abordar problemas cada vez más complejos y liberaron a los investigadores de numerosas tareas rutinarias, permitiéndoles concentrarse en los aspectos conceptuales de su trabajo. Del mismo modo, los profesores de matemáticas pudieron dedicar menos tiempo a la ejecución mecánica de los cálculos y más a la comprensión de los conceptos y a sus aplicaciones. Como era de esperar, esta transformación introdujo cambios importantes y exigió nuevas formas de adaptación.

Pero la verdadera transformación llegó con la aparición de los computadores. A diferencia de las calculadoras electrónicas, que estaban concebidas principalmente para realizar operaciones numéricas, los computadores podían ejecutar secuencias de instrucciones y resolver una gran variedad de tareas. Surgió así la programación, es decir, el arte de describir mediante algoritmos precisos los pasos necesarios para resolver un problema. Durante décadas, aprender a programar se convirtió en una habilidad fundamental para científicos, ingenieros y matemáticos, del mismo modo que antes lo había sido dominar las técnicas de cálculo manual.

Los computadores no eliminaron la necesidad de pensar; por el contrario, exigieron nuevas formas de razonamiento y obligaron a expresar con claridad procedimientos que hasta entonces muchas personas realizaban de manera intuitiva. Surgieron así nuevos problemas matemáticos y computacionales: fue necesario desarrollar algoritmos y métodos numéricos eficientes, que requirieran poca memoria, ejecutaran los cálculos en tiempos razonables y produjeran resultados fiables a pesar de los errores de redondeo propios de la aritmética de máquina. 

Y, una vez más, la historia se repitió: aparecieron nuevas profesiones y nuevas áreas de especialización, mientras algunos oficios tradicionales fueron perdiendo relevancia o desaparecieron por completo.

El desarrollo de computadores cada vez más veloces y capaces permitió, como está ocurriendo ahora, resolver problemas matemáticos que habían permanecido abiertos durante siglos. Un ejemplo particularmente interesante del impacto de los computadores en las matemáticas ocurrió en 1966, cuando L. J. Lander y T. R. Parkin utilizaron un computador CDC 6600 para encontrar un contraejemplo a la conjetura de Euler, formulada en 1769. Este computador, diseñado por Seymour Cray, pertenecía a una línea de máquinas que daría origen posteriormente a los famosos supercomputadores Cray. Considerado el computador más rápido del mundo en su época, el CDC 6600 podía ejecutar aproximadamente tres millones de operaciones de coma flotante por segundo, una cifra extraordinaria para mediados de la década de 1960. El resultado obtenido por Lander y Parkin mostró que cuatro quintas potencias pueden sumar otra quinta potencia, contradiciendo una creencia que había permanecido vigente durante casi dos siglos.

Nadie podía imaginar entonces que llegaría un momento en el que las máquinas no solo ejecutarían instrucciones escritas por los seres humanos, sino que comenzarían también a generar respuestas, textos e incluso programas a partir de simples indicaciones formuladas en lenguaje natural. Así surgió la inteligencia artificial generativa, una herramienta que, al igual que la imprenta, las calculadoras electrónicas o los computadores, ha despertado entusiasmo y preocupación a partes iguales.

Sin embargo, su impacto va más allá de la automatización de tareas rutinarias. Apenas la semana pasada se anunció una posible solución a uno de los Problemas del Milenio, el relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes, obtenida con ayuda de un sistema de inteligencia artificial que coordinó miles de agentes computacionales trabajando de manera simultánea. Si este resultado resiste el escrutinio de los especialistas, podría convertirse en uno de los hitos más importantes de la historia reciente de las matemáticas y en una muestra de cómo las nuevas herramientas, lejos de eliminar la actividad matemática, están transformando profundamente la forma en que se produce el conocimiento matemático.

Pero, ante los nuevos temores sobre una eventual pérdida de relevancia de la labor matemática debido a la inteligencia artificial, merece la pena considerar la posición de Terence Tao, uno de los matemáticos más influyentes y reconocidos de nuestro tiempo. En diversas ocasiones ha defendido el uso de estas herramientas, aunque con matices: ha llegado a compararlas con un asistente de posgrado «mediocre, pero no del todo incompetente», capaz de colaborar en tareas rutinarias, pero sin la capacidad de aprender de sus errores que sí tienen los estudiantes humanos. Sin embargo, también ha señalado un posible riesgo: que la obtención demasiado rápida de la solución de un problema pueda privar a la comunidad matemática de algunos de los beneficios que tradicionalmente han surgido durante la búsqueda de esa solución. En efecto, el esfuerzo por resolver un problema no solo conduce a una respuesta, sino que suele dar origen a nuevas áreas de estudio, estructuras matemáticas, teorías, métodos y preguntas que terminan siendo tan valiosos como la solución misma.

De hecho, es importante resaltar que, de acuerdo con lo que ha expresado Tao, las tareas que realizan los matemáticos no se reducen a resolver problemas difíciles. Entre ellas se encuentran la aplicación de las teorías matemáticas a otros campos del conocimiento, la búsqueda de soluciones a problemas abiertos, tanto puros como aplicados, y la investigación que conduce al desarrollo de nuevas teorías, estructuras, métodos y técnicas. Los matemáticos también contribuyen a una mejor comprensión del mundo que nos rodea, sostienen una comunidad científica que se transmite y renueva de generación en generación, forman a nuevos investigadores y señalan posibles caminos para el desarrollo futuro de la disciplina. A ello se suman la divulgación, la docencia y la formación matemática de profesionales de muy diversos campos. En última instancia, las matemáticas son también una actividad profundamente creativa, capaz de producir construcciones intelectuales de extraordinaria belleza y de un valor cultural que trasciende su utilidad inmediata.

Vista desde esta perspectiva, la inteligencia artificial no parece una amenaza para la existencia de las matemáticas, sino una nueva herramienta que, como tantas otras a lo largo de la historia, obligará a redefinir algunas destrezas, transformará ciertos oficios y abrirá oportunidades cuya magnitud todavía no alcanzamos a comprender plenamente.

Y, como cierre, quiero compartir un pronunciamiento de especial relevancia. El pasado 11 de septiembre, veinticinco ganadores de la Medalla Fields, el máximo reconocimiento en matemáticas, publicaron una declaración encabezada por Terence Tao acerca de los desafíos y oportunidades que plantea la inteligencia artificial para el futuro de la investigación matemática. Lejos de rechazar estas nuevas herramientas, los firmantes reconocen su enorme potencial, pero advierten también sobre los riesgos que podrían derivarse de privilegiar la obtención rápida de resultados por encima de la comprensión profunda, la formación de nuevos matemáticos y el desarrollo de ideas que constituyen la esencia misma de la actividad matemática.

Una grave falta de alineación entre la IA y las matemáticas

11 de septiembre de 2026 en publicidad, opinión | Etiquetas: IA, Medallas Fields | por Terence Tao

Me enorgullece figurar entre los 25 firmantes iniciales, todos ellos galardonados con la Medalla Fields, de la declaración que aparece a continuación, surgida de las conversaciones mantenidas entre nosotros durante la última semana. También hemos publicado nuestra declaración en una página web e invitamos a nuevas adhesiones, de manera similar a la Declaración de Leiden. Es una lástima que no hayamos tenido tiempo para un proceso más participativo, como ocurrió con Leiden; sin embargo, consideramos que la situación era lo suficientemente urgente como para publicar una declaración cuanto antes.

Véase también un reciente artículo de The Economist sobre nuestra declaración.

Durante los últimos meses, las capacidades matemáticas de los grandes modelos de lenguaje (LLM) han mejorado de forma espectacular, hasta el punto de que pueden resolver importantes problemas abiertos en numerosos campos de las matemáticas. Sin embargo, el empeño de las empresas de IA por resolver problemas matemáticos como criterio de referencia resulta perjudicial para la ciencia matemática y para la comunidad matemática. Los objetivos de las empresas de IA y los objetivos de la comunidad matemática están gravemente desalineados. Consideramos que esto forma parte de problemas más amplios de alineamiento que afectan también a otras profesiones científicas y creativas, así como al conjunto de la sociedad.

La investigación matemática se ocupa de comprender las estructuras fundamentales de las formas, los números y los fenómenos naturales. A lo largo de generaciones, ha construido un vasto corpus de ideas sofisticadas, métodos, abstracciones y otras herramientas para comprender el paisaje matemático. A su vez, las tecnologías y ciencias modernas se fundamentan en herramientas matemáticas.

Los problemas famosos han servido a menudo como hitos y faros que permiten medir una comprensión más profunda de ese paisaje. Resolver uno de estos problemas ha sido siempre una señal inequívoca de nuevas intuiciones y métodos interesantes, que posteriormente eran estudiados por una comunidad de matemáticos mediante un largo y arduo proceso de conferencias, discusiones y simplificaciones. Idealmente, al final de ese proceso se obtiene una presentación de los resultados apta para un libro de texto, accesible para cualquier estudiante de máster o incluso de grado. Algunas de estas ideas matemáticas continúan su recorrido y, décadas o siglos después, llegan a convertirse en herramientas comprendidas y utilizadas por toda la población.

La comunidad matemática funciona, en muchos sentidos, como una versión en miniatura de la humanidad. Está formada por individuos que emplean una amplia variedad de enfoques distintos, unidos por valores fundamentales compartidos. Los recursos más valiosos de nuestra profesión son los estudiantes y las ideas, y los cultivamos con enorme cuidado. Nos sentimos responsables de permitirles desarrollarse hasta alcanzar todo su potencial, para que puedan llevar una vida propia dentro del mundo matemático. A los estudiantes solemos proponerles problemas con la intención principal de desarrollar capacidades que los sitúen en una buena posición para realizar avances en investigación y en otros ámbitos. Nuestras ideas las difundimos mediante conferencias, conversaciones privadas y exposiciones escritas cuidadosamente elaboradas, conectándolas con las ideas previas de otras personas. Estos procesos requieren invariablemente tiempo y se basan en la interacción humana.

En los últimos meses, el éxito de la IA al resolver importantes problemas matemáticos ha ocupado titulares incluso fuera de los círculos matemáticos. Pero resolver problemas es únicamente una herramienta y un indicador indirecto para alcanzar el objetivo principal: la comprensión conceptual y la generación de intuiciones profundas. Olvidar esto en el contexto de la IA puede convertir la herramienta en un obstáculo para ese objetivo. De hecho, la producción masiva y cada vez más acelerada de proposiciones «verdaderas o falsas» podría destruir un terreno fértil en lugar de insuflar vida a nuevas ideas.

Con frecuencia, estas soluciones se anuncian precipitadamente, sin dejar tiempo para una redacción adecuada, para identificar y aislar los nuevos métodos e ideas, ni para citar debidamente los trabajos previos relevantes de otros investigadores. Como ocurre en todas las profesiones creativas, esto plantea graves cuestiones de atribución y plagio. Además, sin los matemáticos dispuestos a encargarse de su desarrollo e integración en el canon matemático, las ideas concebidas por la IA nunca llegarían a cobrar plenamente vida y se perdería la crucial cadena humana de transmisión del conocimiento entre matemáticos.

Estamos siendo testigos de una amenaza general para el trabajo intelectual, derivada del desalineamiento entre los resultados producidos mediante el uso de la IA y los fines originales de dicho trabajo. En muchos campos y actividades, los años de formación no han servido únicamente para producir una respuesta final o un producto terminado, sino también para desarrollar comprensión y capacidad para formular nuevas preguntas e ideas. Sin embargo, apoyándose en un inmenso cuerpo de trabajo humano previo, los sistemas de IA son cada vez más capaces de producir directamente los resultados de dicho trabajo, y los objetivos dejan de coincidir. Los problemas a los que se enfrenta hoy la comunidad matemática son similares a los que ya experimentan otras profesiones científicas y creativas, y apuntan a cuestiones que podrían afectar a toda la humanidad: cómo garantizar que, a medida que la IA transforma la manera de trabajar, no perdamos de vista aquello que ese trabajo pretendía alcanzar en primer lugar.

La IA ofrece el potencial de mejorar y acelerar el estudio y la comprensión auténticamente matemáticos. Como profesión, las matemáticas deberán adaptarse a estos cambios de diversas maneras. Sin embargo, que esos cambios beneficien finalmente al campo o tengan un efecto destructivo dependerá en gran medida de las decisiones que tomen los seres humanos que controlan esta nueva tecnología.

Estos problemas deben abordarse con urgencia, tanto en la comunidad matemática como por parte de las empresas que desarrollan estas tecnologías y, de forma más amplia, por una sociedad que se enfrentará a cuestiones similares en muchas otras formas de trabajo intelectual.

Firmantes iniciales

• Artur Avila (Medalla Fields 2014)
• Manjul Bhargava (Medalla Fields 2014)
• Caucher Birkar (Medalla Fields 2018)
• Pierre Deligne (Medalla Fields 1978)
• Yu Deng (Medalla Fields 2026)
• Simon Donaldson (Medalla Fields 1986)
• Hugo Duminil-Copin (Medalla Fields 2022)
• Alessio Figalli (Medalla Fields 2018)
• Martin Hairer (Medalla Fields 2014)
• June Huh (Medalla Fields 2022)
• Maxim Kontsevich (Medalla Fields 1998)
• Elon Lindenstrauss (Medalla Fields 2010)
• Pierre-Louis Lions (Medalla Fields 1994)
• James Maynard (Medalla Fields 2022)
• Curt McMullen (Medalla Fields 1998)
• Shigefumi Mori (Medalla Fields 1990)
• Ngô Bảo Châu (Medalla Fields 2010)
• Andrei Okounkov (Medalla Fields 2006)
• Peter Scholze (Medalla Fields 2018)
• Stanislav Smirnov (Medalla Fields 2010)
• Terence Tao (Medalla Fields 2006)
• Maryna Viazovska (Medalla Fields 2022)
• Cédric Villani (Medalla Fields 2010)
• Wendelin Werner (Medalla Fields 2006)
• Efim Zelmanov (Medalla Fields 1994)

El premio es otorgado por el Instituto Clay de Matemáticas, una fundación estadounidense sin ánimo de lucro dedicada a promover y estimular la investigación matemática. Además de diversos programas de apoyo y reconocimientos para matemáticos destacados, el Instituto estableció en el año 2000 su iniciativa más conocida: la selección de siete grandes problemas abiertos, denominados «Problemas del Milenio», y la oferta de un premio de un millón de dólares para quien consiguiera resolver cualquiera de ellos.

Entre esos desafíos figura la «hipótesis de Riemann», uno de los problemas más célebres de las matemáticas. Su importancia ha sido resaltada en numerosas ocasiones, entre ellas por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943), quien afirmó:

«Si despertara después de haber dormido mil años, mi primera pregunta sería: “¿Ha sido demostrada la hipótesis de Riemann?”».

La lista de los siete Problemas del Milenio también incluye la «conjetura de Poincaré», las «ecuaciones de Navier-Stokes» y la «conjetura de Hodge», entre otros. Hasta la fecha, solo uno de los siete problemas ha sido resuelto: la conjetura de Poincaré, demostrada en 2003 por el matemático ruso Grigori Perelman. Sin embargo, Perelman rechazó tanto los reconocimientos académicos asociados a su logro como el premio de un millón de dólares ofrecido por el Instituto Clay.

El pasado 8 de septiembre se anunció una posible solución de otro de los Problemas del Milenio: el relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes. Según la información difundida, la solución se habría obtenido con ayuda de la inteligencia artificial, lo que ha suscitado un intenso debate acerca del mérito de este posible logro. Buena parte de la discusión gira en torno al papel desempeñado por los matemáticos españoles Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa, cuyos trabajos y métodos habrían proporcionado la base sobre la que la IA pudo alcanzar la solución presentada.

Sin embargo, en medio de todo el alboroto suscitado no solo por la posible resolución de otro de los Problemas del Milenio, sino también por el alcance que parecen estar adquiriendo las herramientas de inteligencia artificial, resulta especialmente sensato el pronunciamiento que hizo público el Instituto Clay de Matemáticas el pasado 11 de septiembre. No hay que olvidar que es precisamente esta institución la que ofrece el premio de un millón de dólares para quien logre resolver alguno de esos problemas.

A continuación comparto dicho comunicado, para que los lectores puedan conocer de primera mano cuál es la posición del Instituto y comprender mejor el verdadero alcance de este anuncio.

Los Problemas del Milenio fueron presentados por el Instituto Clay de Matemáticas (Clay Mathematics Institute, CMI) en una reunión celebrada en París en el año 2000 para conmemorar «La universalidad del pensamiento matemático».

Estos problemas representan algunos de los desafíos más difíciles que ocupaban a los matemáticos en el cambio de milenio. Al formularlos y asociar a cada uno un premio de un millón de dólares, el CMI perseguía tres objetivos: destacar ante el público general que la frontera de las matemáticas sigue abierta y está llena de importantes problemas sin resolver; subrayar el valor duradero de trabajar en las cuestiones más profundas y difíciles; y reconocer logros matemáticos de trascendencia histórica.

Cada uno de los Problemas del Milenio se refiere a una cuestión clásica de gran importancia que había resistido todos los intentos de resolución durante muchos años. No se trata de acertijos arbitrarios semejantes a complejos crucigramas. Son, por el contrario, desafíos fundamentales que marcan la frontera del conocimiento humano y nos obligan a desarrollar nuevas estructuras y métodos. Constituyen puntos de referencia en la continua lucha, a través de generaciones y culturas, por profundizar nuestra comprensión de las matemáticas y del universo que estas describen. Las innovaciones profundas necesarias para avanzar significativamente en estos problemas suelen abrir nuevas perspectivas que van mucho más allá del ámbito específico de cada cuestión.

El Problema del Milenio relativo al movimiento de los fluidos posee todas estas características. El problema se refiere a la existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio euclídeo tridimensional. En los últimos años ha crecido la expectativa a medida que diversos avances en áreas relacionadas, algunos reconocidos con el Premio de Investigación Clay, han alimentado la esperanza de que el problema de Navier-Stokes pudiera resolverse pronto. La creciente capacidad de las nuevas tecnologías para acelerar la investigación matemática ha intensificado aún más esa expectativa.

Hoy, el CMI comparte la emoción de la comunidad matemática mundial ante el anuncio de que el problema de Navier-Stokes aparentemente ha sido resuelto. Esperamos asistir a una nueva ola de comprensión humana impulsada por las innovaciones que sustentan este trabajo, a medida que sean analizadas y estudiadas en profundidad.

El Instituto Clay de Matemáticas está dedicado a promover la belleza, el poder y la universalidad del pensamiento matemático. La custodia y promoción de los Problemas del Milenio constituye una de las formas más importantes en que persigue este objetivo. Las reglas que rigen estos premios describen el proceso mediante el cual se evaluarán los resultados obtenidos y se atribuirá el mérito correspondiente. Este proceso es deliberadamente pausado, pero iremos proporcionando información actualizada.

Instituto Clay de Matemáticas.

Como puede apreciarse, todavía será necesario esperar tanto la validación de los resultados por parte de la comunidad matemática como la eventual atribución del mérito correspondiente.

@MantillaIgnacio

Un ejemplo de ello es la célebre conjetura de Euler, formulada en 1769, según la cual, para todo $n>2$:

«No existen $n-1$ números cuyas potencias $n$-ésimas sumen otra potencia $n$-ésima».

De ser cierta, esta afirmación implicaría, entre otras cosas, que tres números elevados a la cuarta potencia no pueden sumar otro número también elevado a la cuarta potencia. En otras palabras, la ecuación

$a^4 + b^4 + c^4 = d^4$

no tendría soluciones enteras positivas.

Y del mismo modo, tampoco las tendría, por ejemplo, la ecuación

$a_1^7 + a_2^7 + a_3^7 + a_4^7 + a_5^7 + a_6^7 = b^7,$

pues la conjetura sostiene que no existen $n-1$ potencias $n$-ésimas que sumen otra potencia $n$-ésima.

Esta conjetura de Euler parece inspirada en el último teorema de Fermat, que afirma que la ecuación

$x^n + y^n = z^n$

no admite soluciones enteras positivas cuando $n > 2$. La idea de Euler extiende, en cierto sentido, este fenómeno: si dos potencias $n$-ésimas no pueden sumar otra potencia $n$-ésima, quizá tampoco puedan hacerlo $n-1$ de ellas.

Pero, a diferencia del último teorema de Fermat, la conjetura de Euler resultó ser falsa. En 1966, Lander y Parkin hallaron un contraejemplo que derriba por completo su afirmación: un solo caso basta para invalidarla, y este es tan sorprendente como elegante —cuatro quintas potencias que suman exactamente otra quinta potencia:

$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.$

Es decir, la conjetura es falsa, ya que se ha encontrado un contraejemplo para un cierto valor de $n$, concretamente $n=5$. Este ejemplo contradice directamente la formulación de Euler, según la cual “se requieren al menos $n$ potencias $n$-ésimas para obtener una suma que sea otra potencia $n$-ésima cuando $n > 2$”.

Pero esta conjetura —y el contraejemplo encontrado por Lander y Parkin— tiene un ingrediente adicional que la hace aún más fascinante. El artículo donde se publica el resultado que demuestra que la conjetura de Euler es falsa es considerado el artículo más corto aparecido en una revista matemática de alto prestigio: ocupa un solo párrafo, compuesto por dos frases, y contiene una única referencia bibliográfica.

Esta es la imagen de página de la prestigiosa revista “Bulletin of the American Mathematical Society. 72: 1079, 1966) en la que aparece la publicación:

Pero continuando con la exploración de la conjetura de Euler, podría pensarse que aún sería válida para $n=4$. Sin embargo en 1986, Noam Elkies se encargó de refutarla también para este caso, al descubrir el siguiente contraejemplo mediante un método ideado por él mismo:

$2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4$.

Posteriormente, en 1988, Roger Frye, utilizando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para $n=4$:

$95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.$

Estos sorprendentes contraejemplos revelan la riqueza y la complejidad de las ecuaciones diofánticas. No solo resuelven una conjetura formulada hace más de dos siglos, sino que también muestran la vitalidad de la matemática: una disciplina donde las ideas más brillantes pueden afianzarse o refutarse con un único ejemplo fruto de nuevas ideas, técnicas y herramientas que amplían su desarrollo.

@MantillaIgnacio

Este es precisamente el caso de la conocida Ley de Benford, a la que me referiré a continuación. Aunque lleva el nombre de Benford, fue descubierta varias décadas antes por el matemático y astrónomo canadiense Simon Newcomb (1835‑1909).

La historia es bastante interesante y surgió a partir de una observación que hizo Newcomb. En 1881, mientras consultaba una de esas tablas de logaritmos —los pequeños libros que se usaban antes de la aparición de las reglas de cálculo y, más tarde, de las calculadoras— notó algo curioso: las primeras páginas de la tabla que tenía entre las manos estaban mucho más usadas, sucias y desgastadas que las últimas. ¿A qué se debía aquello?

Tras un análisis cuidadoso, Newcomb concluyó que los dígitos iniciales de los números que empleaba para estudiar las observaciones astronómicas no aparecían con la misma frecuencia. El dígito 1 surgía con mayor frecuencia, seguido del 2, mientras que el 9 era el que menos aparecía al comienzo de los números. Así llegó a la sorprendente conclusión de que la posición de los dígitos iniciales no era equiprobable.

La pregunta que se formuló Newcomb fue sencilla pero profunda: ¿es más probable que un número empiece por el dígito 1 que por otro dígito, como el 7, por ejemplo? En principio, parecería lógico suponer que todos los dígitos tienen la misma probabilidad de ocupar la primera posición en un número elegido al azar. Sin embargo, Newcomb dedujo —sin ofrecer aún una explicación matemática formal— que el dígito inicial no nulo más frecuente es el 1, seguido del 2, luego del 3, y así sucesivamente hasta el 9.

Con base en esta observación, expresó que la probabilidad de que un número tenga como primera cifra no nula un dígito $C$ puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

$P = \log(1 + 1/C)$

Décadas después, en 1938, el físico Frank Benford retomó las observaciones de Newcomb y amplió notablemente su alcance. Reunió más de 20 000 datos provenientes de fuentes muy diversas —longitudes de ríos, constantes físicas, números de artículos periodísticos, direcciones, valores bursátiles— y comprobó que el patrón descrito por Newcomb se mantenía de manera sorprendente en múltiples contextos.

Esta curiosa propiedad se verifica para cualquier lista de números que se obtenga como resultado de datos tomados en forma aleatoria, por ejemplo se ha verificado con estadísticas deportivas, valores de impuestos, constantes y magnitudes físicas, longitudes de ríos y carreteras, poblaciones de países y ciudades, cifras económicas.

A partir de ese estudio sistemático, Benford publicó la propiedad que hoy lleva su nombre: la Ley de Benford, según la cual los dígitos iniciales de muchos conjuntos de datos reales no se distribuyen de forma uniforme, sino que siguen la pauta logarítmica descubierta por Newcomb.

Paradójicamente, y en perfecta sintonía con la Ley de Stigler, el crédito histórico terminó asociado al segundo investigador, no al primero.

Los conjuntos de datos que no se ajustan a la Ley de Benford suelen ser aquellos que provienen de distribuciones uniformes o normales, en los que los dígitos iniciales están determinados por reglas externas. Tal es el caso de los números de loterías, las listas telefónicas, los números de identidad y, en general, cualquier secuencia numérica construida artificialmente o restringida por formatos fijos.

Pero, de manera sorprendente, se han descubierto aplicaciones insospechadas de la Ley de Benford que han motivado una intensa actividad investigativa en las ciencias de la computación, un campo particularmente dinámico en la actualidad y, en especial, en áreas como la criptografía y el análisis algorítmico de datos.

Además, la ley ha encontrado usos muy efectivos en la detección de fraudes, tanto en datos electorales como en auditorías fiscales, donde las desviaciones respecto del patrón de Benford pueden revelar manipulaciones o irregularidades en los registros numéricos.

Uno de los usos más frecuentes consiste en aplicar la ley a través de pruebas repetidas sobre conjuntos de datos similares, con el fin de verificar si su distribución de dígitos iniciales se ajusta al patrón esperado. Cuando la ley no se cumple o aparece una desviación significativa, es razonable sospechar que existe alguna anomalía o que ciertas cifras han sido manipuladas, lo que permite identificar rápidamente los datos que requieren una revisión rigurosa.

Un ejemplo ilustrativo aparece en el ámbito electoral: si en los resultados de unos comicios la distribución de los primeros dígitos se aparta de manera notable de la Ley de Benford, resulta prudente realizar un reconteo de votos o una auditoría detallada para confirmar la validez de los resultados.

Una de las aplicaciones más importantes de la Ley de Benford se encuentra en la detección de fraudes financieros. En 1992 se demostró que los datos contables y tributarios reales se ajustan notablemente bien al patrón de Benford, lo que permite identificar cambios, alteraciones o inconsistencias en declaraciones de impuestos y en las cifras que las empresas reportan periódicamente.

La presencia de dígitos iniciales con frecuencias que violan la Ley de Benford no implica necesariamente la existencia de fraude, pero sí constituye un indicio sólido de que algo no encaja y de que conviene realizar una investigación más detallada. En auditorías modernas, esta desviación funciona como una señal temprana que orienta al revisor hacia los segmentos de datos que requieren especial atención.

En tiempos recientes, la Ley de Benford ha encontrado una aplicación especialmente relevante en el análisis de las cifras asociadas al comportamiento del COVID‑19. Diversos estudios han mostrado que tanto el número de contagios como el de muertes atribuidas a la pandemia siguen una distribución tal que las frecuencias de los dígitos iniciales reportados por distintos países se ajustan de manera sorprendentemente precisa al patrón previsto por esta ley.

En la página web coronavirus.app/map puede consultarse, entre otros ejemplos, el ajuste entre las frecuencias de los casos de contagio y de las muertes reportadas por COVID‑19 en Colombia y las distribuciones esperadas según la Ley de Benford.

Este tipo de análisis resulta útil para evaluar la consistencia estadística de los datos epidemiológicos y para detectar posibles irregularidades en los reportes oficiales. Cuando las cifras se alinean con la distribución de Benford, ello sugiere que reflejan un comportamiento natural del fenómeno; por el contrario, desviaciones significativas pueden señalar errores de registro o incluso manipulación, y constituyen un indicio que amerita una revisión más detallada.

Así, la Ley de Benford se convierte en una herramienta estadística de gran utilidad para analizar la evolución de una epidemia y anticipar comportamientos anómalos en los datos. Su capacidad para detectar desviaciones en las cifras reportadas permite identificar a tiempo inconsistencias que podrían afectar la interpretación del avance del coronavirus en una población. De este modo, el uso adecuado de la ley contribuye tanto a predecir tendencias como a tomar medidas de control oportunas, apoyando la toma de decisiones en contextos donde la calidad y fiabilidad de la información son esenciales.

La historia de la Ley de Benford, desde la observación casual de Newcomb hasta sus aplicaciones contemporáneas en la detección de fraudes y el análisis epidemiológico, revela cómo una simple curiosidad matemática puede transformarse en una herramienta poderosa para comprender la realidad. Más allá de su aparente sencillez, esta ley nos recuerda que los números —cuando se observan con atención— pueden revelar patrones ocultos y advertirnos sobre irregularidades que escapan a la mirada superficial. En última instancia, la Ley de Benford es una prueba de que las matemáticas no solo describen el mundo, sino que también lo protegen.

@MantillaIgnacio

Establecer el objetivo de la educación es el primer punto que habría que abordar en esta importante discusión. Y creo que, como en muchas definiciones, resulta más fácil identificar inicialmente todo lo que no es su objetivo. En este sentido, me parece importante retomar el pensamiento del gran matemático y filósofo británico Bertrand Russell (1872-1970), Premio Nobel de Literatura (1950), quien, en su ensayo Sobre educación, publicado en 1926, compartió ideas y reflexiones que aún mantienen una vigencia indiscutible.

Entre las afirmaciones más relevantes de Russell, me identifico con ese concepto según el cual el proceso educativo no debe convertirse en un instrumento para moldear a los niños y jóvenes ni para someterlos a un adoctrinamiento, privándolos de su independencia y su libertad, e impidiendo el desarrollo de su inteligencia. La misión primera debe limitarse a educar los instintos, de modo que puedan producir un carácter constructivo y no destructivo; pero el objetivo de la educación debe ser formar seres humanos independientes y capaces. Para lograrlo, el proceso educativo debe evitar la influencia de «rebaño» en los jóvenes, y alejarlos de la tendencia a la comodidad que brinda el conformismo.

Desde temprano, al niño debe tratársele como a un adulto en potencia, respetando su personalidad y buscando su independencia. Russell resalta que la curiosidad, la amplitud de criterio, la creencia de que el conocimiento es posible —aunque difícil—, la paciencia, la habilidad, la concentración y la exactitud son los aspectos que la educación debe acentuar.

No obstante, los prejuicios de los padres de familia, de los educadores, de los directivos, de las iglesias y de los gobiernos son tantos que constituyen la principal fuente de los errores que afloran con frecuencia en los planes de estudio, aun cuando no sean intencionados. Y esta influencia alcanza, por supuesto, también a la educación superior. Así, por ejemplo, podría señalarse, como ya lo hizo Russell hace cerca de 100 años, que uno de los defectos más frecuentes de la educación superior moderna es el de intentar convertirla en un puro entrenamiento para adquirir ciertas habilidades, sin preocuparse por ensanchar la mente mediante un examen imparcial del mundo.

Uno de los aspectos más interesantes que abordó Russell fue el siguiente: se ocupó de reflexionar sobre el concepto de utilidad y, especialmente, sobre la importancia de lo que muchos llaman el «conocimiento inútil». A la pregunta de si es cierto que solamente el conocimiento útil es valioso, agregó de inmediato esta otra: ¿es igualmente cierto que el conocimiento valioso siempre es útil? Y, para aclararlo, expone la siguiente ilustración a partir de la obra de Shakespeare: «La comprensión de Hamlet puede no ser de gran utilidad práctica, pero da al hombre un dominio mental del que sería desagradable carecer y, en cierto modo, lo convierte en mejor ejemplar humano. Y este último conocimiento es el que prefiere quien sostiene que la utilidad no es el único fin de la educación. ¡Cuánto placer se obtiene del conocimiento inútil!».

El afán de conocimiento no debería ser utilitario. El conocimiento debe fructificar gracias a la investigación desinteresada, que no tiene más motivo que el deseo de comprender mejor el mundo. Los progresos puramente teóricos y las teorías espléndidas pueden encontrar más adelante una aplicación práctica, pero conservan su valor en sí mismos.

El fundamento de la vida intelectual es la curiosidad, que mantiene viva la actividad de la inteligencia. Decía el prolífico matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) que las matemáticas existen «por el honor del espíritu humano». Y, aunque ese no sea su principal propósito, sí reafirma que el pensamiento creativo aumenta la dignidad del ser humano, y que el placer de la comprensión es, de acuerdo con Russell, el supremo fin por el que ha de valorarse la educación de la mente.

Y, para seguir la tesis de Russell, es indispensable comprender su idea del ocio. En 1932, Russell publicó un breve ensayo titulado Elogio de la ociosidad, en el que hace una interesante defensa del ocio como origen de lo que conocemos por cultura y como interés civilizado por ocuparse de propósitos no utilitarios. Descalifica el exceso de trabajo y afirma que el sabio empleo del tiempo libre es un producto de la civilización y de la educación. Defiende la idea de que, sin una cantidad considerable de tiempo libre, una persona se verá privada de muchas de las mejores cosas de la vida.

Para Russell, si se quiere que la democracia sobreviva, los profesores deberíamos, por encima de todo, tratar de inculcar en los discípulos la tolerancia que surge del intento de comprender a quienes son distintos de nosotros. Se debería animar a los jóvenes a escuchar los argumentos que defienden los diferentes puntos de vista, pero advirtiendo también «el peligro de la tendencia a suponer que la oposición a la autoridad es esencialmente meritoria y que las opiniones no convencionales tienen que ser correctas; no se sirve a ningún propósito útil rompiendo faroles o sosteniendo que Shakespeare no es poeta».

Quiero destacar una reflexión más, que reafirma lo expuesto y que Russell expresa con toda claridad al asegurar que «la disciplina debe ser un hábito y no una obligación». La verdadera disciplina no consiste en obligaciones externas, sino en hábitos que llevan a actividades deseables. «Antiguamente se creía que a los niños no les interesaba aprender, y que solo se decidían a estudiar atemorizándolos. Hoy se ha averiguado que la culpa no era de los niños, sino de los pedagogos».

Estas ideas planteadas por Russell están, como lo dije al comienzo, tan vigentes como hace un siglo, y contribuyen a que las reflexiones sobre la educación —y sobre la manera como la entendemos y la brindamos a nuestros jóvenes y niños— sean el punto de inflexión para la transformación social del futuro.

Cabe entonces preguntarse qué habría dicho Russell sobre el uso de las herramientas modernas y de la inteligencia artificial, hoy elementos ineludibles en la educación. Es probable que no las hubiera visto como una amenaza en sí mismas, sino como él vio siempre al conocimiento: una herramienta cuyo valor depende del uso que se le dé. Si esas tecnologías se convierten en un simple atajo para evitar el esfuerzo de pensar, contradicen todo lo que defendió; pero si, por el contrario, se ponen al servicio de la curiosidad, de la comprensión y de esa independencia de criterio que tanto valoraba, quizás las habría recibido como una nueva y poderosa oportunidad para seguir educando mentes libres. Es posible, incluso, que hubiera valorado también el mayor tiempo libre que estas herramientas pueden ofrecernos, al liberarnos de tareas mecánicas, como una vía adicional hacia ese ocio fecundo que consideraba indispensable para la vida intelectual y la cultura.

Al final, las preguntas de Russell siguen siendo las nuestras: ¿formamos mentes libres o simplemente entrenamos habilidades? En la respuesta que demos —hoy, con inteligencia artificial incluida— se juega buena parte del futuro que queremos construir.

@MantillaIgnacio

Hace algún tiempo me preguntaron para qué sirve un logaritmo. Las respuestas posibles son muchas, pero solo uno de los ejemplos que ofrecí resultó convincente para mi interlocutor. Es justamente esa aplicación —una que la mayoría de las personas desconoce— la que quiero compartir con los lectores, motivada por el fuerte sismo que hemos sentido recientemente en Colombia.

La respuesta a la que me refiero fue, en realidad, otra pregunta: ¿usted sabe cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter que uno de magnitud 3? Mi interlocutor, con toda naturalidad, se animó a afirmar: «pues un poco más de dos veces». No, le dije, y procedí a explicarle por qué la escala de Richter no puede leerse como si fuera un termómetro dividido en grados.

Para entenderlo hay que acudir a los logaritmos, y trataré de explicarlo —como lo hice con mi interlocutor— revisando el origen de la escala de Richter.

Lo primero que debemos saber es que, en sismología, resulta fundamental medir la energía liberada en un movimiento sísmico. Esa magnitud es la que se registra en un sismograma y se expresa mediante una escala como la de Richter, que es logarítmica y asigna un valor que indica la cantidad de energía liberada durante un terremoto.

El nombre de la escala honra al estadounidense Charles F. Richter (1900‑1985), quien la propuso en 1935 con la colaboración del sismólogo alemán Beno Gutenberg. La elección de una escala logarítmica implica reemplazar el valor de una variable por su logaritmo en una base determinada. Recordemos que las bases más usadas para los logaritmos son 2, 10 y e (≈ 2.718 281 828 459 0452…). Cuando se utiliza el número 10 como base, hablamos de logaritmos decimales; y cuando la base es el número de Euler e, hablamos de logaritmos naturales o neperianos, nombre que se debe al escocés John Napier (1550‑1617), quien empleó por primera vez esta herramienta matemática.

En una escala común, como la lineal, usamos dos ejes perpendiculares, X e Y, para representar los valores de dos variables x e y. En una escala logarítmica —de base 10, por ejemplo— reemplazamos el valor del eje Y por su logaritmo en base 10, que se escribe como log₁₀(Y); aunque también podría hacerse lo mismo con el eje X. Algunos lectores, como ocurrió con mi interlocutor, podrían preguntar: «¿y qué se gana con eso?».

Al ser la función logarítmica la inversa de la exponencial, los valores

10⁰, 10¹, 10², 10³, …

aparecerán en el eje Y de la escala logarítmica decimal en el lugar donde irían las marcas

0, 1, 2, 3, …

respectivamente, obteniéndose así una reducción extraordinaria en el rango de los valores representados. Esto resulta muy útil para la visualización cuando los datos abarcan un rango amplio de magnitudes, algo habitual cuando la función que se desea representar crece rápidamente, como ocurre con la función exponencial.

Para medir la magnitud de los terremotos, la escala de Richter utiliza precisamente una escala logarítmica decimal; es decir, cada «unidad» corresponde en realidad a un múltiplo de 10 y se incrementa diez veces en cada intervalo unitario. Esto significa que un terremoto de magnitud 7 registra en el sismógrafo una amplitud diez veces mayor que uno de magnitud 6, y cien veces mayor que uno de magnitud 5. Por lo tanto, la intensidad de un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter no es apenas un poco más del doble que la de un temblor de magnitud 3: es diez mil veces mayor.

Esta variación en la amplitud, que refleja la energía liberada en un terremoto, muestra claramente la necesidad de recurrir a los logaritmos para representarla en una escala.

El terremoto de mayor magnitud hasta ahora registrado en el planeta ocurrió en Valdivia (Chile) en 1960 y tuvo una magnitud de 9.5. Se han registrado otros devastadores como son el terremoto de Prince William Sound (Alaska) en 1964 con magnitud 9.2, el terremoto de Sumatra (Indonesia) de 2004 de magnitud 9.1, el terremoto de 1952 Kamchatka (Rusia) de magnitud 9 y el de Japón en 2011 de magnitud 9.1.

Mucho antes de que existiera la escala de Richter, el terremoto de Lisboa de 1755 —estimado entre 8.5 y 9 de magnitud según análisis modernos— mostró la fuerza descomunal que puede alcanzar un sismo. El movimiento telúrico se prolongó entre seis y siete minutos, tiempo suficiente para arrasar la ciudad, generar un tsunami y provocar incendios que se extendieron durante días. La energía liberada fue tan enorme que transformó por completo la geografía de la región y dejó registros que, siglos después, siguen asombrando a los sismólogos. Su devastación evidenció la importancia de contar con escalas que permitan comparar de manera rigurosa la magnitud de estos fenómenos.

La escala de Richter es abierta, es decir, no tiene un límite máximo y podrían registrarse terremotos de magnitudes superiores a las mencionadas. Como curiosidad, se estima que la extinción de los dinosaurios, hace unos 65 millones de años, fue consecuencia del impacto de un meteorito que liberó una energía descomunal, equivalente a la de un terremoto de magnitud 13.

La comprensión de estas escalas no es un ejercicio académico aislado: nos ayuda a interpretar con rigor los temblores que vivimos hoy. El sismo registrado ayer en Colombia, cuyo valor en la escala despertó numerosas preguntas, cobra un sentido distinto cuando recordamos que cada unidad en la escala de Richter representa un salto exponencial en la energía liberada. Lo que para algunos puede parecer un número más en un reporte sísmico es, en realidad, la medida precisa de un fenómeno natural cuya intensidad solo puede entenderse plenamente cuando reconocemos la naturaleza logarítmica de su magnitud.

@MantillaIgnacio

No obstante, creo que las matemáticas recreativas —sin necesidad de esforzarme en definirlas— surgen cuando se practican con gusto: cuando se acepta un desafío por el simple placer de resolverlo, de encontrar una solución sin perseguir una utilidad inmediata. Aparecen allí donde el problema se aborda con curiosidad y disfrute, más que con obligación.

Pero ese es, justamente, el punto central que debería buscarse en la enseñanza de las matemáticas. A muchos niños las matemáticas les resultan aburridas y difíciles; y lo que es peor, después de años de estudio —años de resolver ecuaciones por obligación y de seguir algoritmos para memorizar métodos de solución— queda flotando una pregunta inevitable: ¿y esto para qué sirve en la vida cotidiana? El problema es que, cuando la enseñanza se reduce al reforzamiento de procedimientos mecánicos, se aprende a repetir pasos, pero no a disfrutar proceso alguno. Se acumulan técnicas, pero no curiosidad. Y así, la pregunta sobre la utilidad termina eclipsando cualquier posibilidad de placer intelectual.

Este cuestionamiento es constante y difícil de rebatir, porque durante décadas se ha respondido apelando a justificaciones sobre la manera tradicional de enseñar matemáticas o recurriendo a reformas curriculares que rara vez transforman la experiencia real del aula. Los planes de estudio, concebidos como leyes que deben cumplirse, sirven de poco si no vienen acompañados de métodos nuevos que permitan superar el dilema de la utilidad de las matemáticas —y del conocimiento en general— en la vida cotidiana. La enseñanza cambia cuando se modifica la forma de aproximarse a los problemas, cuando se reemplaza la repetición mecánica por la exploración, cuando el estudiante descubre que pensar puede ser más interesante que memorizar. Sin esa renovación metodológica, la pregunta «¿para qué sirve esto?» seguirá apareciendo, no porque las matemáticas carezcan de sentido, sino porque nunca se les permitió mostrarlo.

Creo que sólo si logramos que las matemáticas resulten verdaderamente recreativas para los niños —en el sentido mencionado arriba— los profesores dejarán de desgastarse intentando cumplir reformas curriculares que buscan convencer a sus alumnos de que las ecuaciones que aprenden hoy les serán útiles después del colegio. Si el estudiante descubre el placer de resolver un problema por curiosidad, por desafío o por juego intelectual, la necesidad de justificar la utilidad desaparece. La motivación ya no proviene de un futuro hipotético, sino del disfrute inmediato de pensar.

A través de redes como X (antes Twitter) he podido comprobar que esas matemáticas que, a mi modo de ver, son recreativas —porque las encuentro entretenidas y curiosas, aunque no estén vinculadas a grandes resultados ni a aplicaciones trascendentes— logran, en algunas personas que odiaron la materia en el colegio o la universidad, una inesperada reconciliación. Son personas que, después de años de desinterés y desgano, se dejaron tentar por un pequeño desafío asumido como simple entretenimiento, movidas únicamente por la curiosidad. Y esa actitud les ha permitido descubrir un encanto que nunca habían experimentado como estudiantes.

Estoy convencido de que la atracción por el azar, los acertijos y los juegos matemáticos no ha sido aprovechada en beneficio de la enseñanza, pese a que estos recursos son tan abundantes y antiguos como lo demuestra el De viribus quantitatis, escrito por el fraile y matemático italiano Luca Pacioli y publicado hace más de quinientos años, en 1508. Lo confirma también el Problèmes plaisants et délectables, del monje y matemático francés Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, publicado en 1624 y considerado el primer libro dedicado íntegramente a la matemática recreativa. Se trata de una colección de problemas —algunos ya presentes en obras anteriores, aunque dispersos— reunidos con la intención explícita de entretener, sorprender y despertar curiosidad.

La matemática recreativa ha tenido otros grandes pioneros. En 1694, Jacques Ozanam publicó sus Récréations mathématiques, reconocido como el primer título que emplea explícitamente la palabra recreación. Más tarde, en 1840, Edward Riddle presentó una edición ampliada de esta obra que alcanzó notable éxito. En 1882, Édouard Lucas publicó el primero de sus libros de juegos matemáticos recreativos; aficionado a la criptografía —un campo hoy de enorme desarrollo—, le debemos, entre otras contribuciones, el célebre problema de las Torres de Hanói. Esta tradición lúdica, tan antigua como la matemática misma, demuestra que el juego y el asombro no son adornos pedagógicos, sino puertas de entrada privilegiadas al pensamiento matemático.

Y cómo no mencionar al gran divulgador estadounidense Martin Gardner (1914–2010), prolífico autor de libros, columnas y artículos sobre magia, azar y juegos matemáticos. Su trabajo alcanzó una popularidad extraordinaria y ha llevado a afirmar que Gardner fue capaz de convertir a miles de niños en matemáticos y a miles de matemáticos en niños. Su capacidad para despertar asombro, para transformar un problema en un juego y un juego en una invitación a pensar, consolidó definitivamente la matemática recreativa como un puente entre la curiosidad y el rigor.

Sin preocuparme por su definición —como lo anoté antes—, estoy convencido de que la matemática recreativa puede devolverle a las matemáticas el encanto necesario para aprenderlas sin dolor.

Al incorporar el juego, la sorpresa y el desafío intelectual, la enseñanza deja de ser una repetición mecánica de fórmulas y se convierte en una exploración creativa. Este enfoque no solo facilita la comprensión, sino que transforma la relación del estudiante con la disciplina: la matemática deja de ser un obstáculo y se convierte en un territorio para descubrir, imaginar y disfrutar.

A mi modo de ver, ese es el condimento que transformaría el plato: el toque que permitiría que las matemáticas se sirvan bien y se disfruten desde la infancia. Es, por decirlo de algún modo, el ají de una empanada: el picante justo que despierta el apetito y convierte algo común en una experiencia memorable.

@MantillaIgnacio