—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que caiga sello es de 1/2 o sea que tienes el 50% de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo— si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17% de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50%? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven— si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20%.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y por lo tanto no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes, entonces el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y si no lo realiza antes entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día, así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces por la misma razón no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy, entonces no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban y por lo tanto se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente “paradoja”.

@MantillaIgnacio

Números afortunados: un número afortunado es un número entero $Q_n$, que resulta de la expresión 

$q-P_n = Q_n$

donde $P_n$ es el producto de los primeros $n$ números primos y $q$ es el número primo más pequeño que es mayor que $P_n+1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el menor primo $q$ mayor que $7 = (6+1)$ es $q=11$, entonces

$q-P_2 = Q_2 =11-6=5$,

por lo tanto $5$ es un número afortunado.

Si $n = 8$ tenemos que los primeros $8$ números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19$ cuyo producto es $9.699.690$. El menor primo inmediatamente mayor que $9.699.691$ es $q= 9.699.713$. Por lo tanto

$Q_8=q-P_8=9.699.713-9.699.690=23$

es un número afortunado.

Los números afortunados $Q_n$ pueden ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $Q_{10} ,Q_{12},Q_{17}$ son iguales al número $61$.

Los primeros números afortunados, omitiendo los repetidos para diferentes valores de $n$ son:

$3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, ….$

La autoría del nombre número afortunado es atribuida al antropólogo neozelandés Reo Franklin Fortune (1903-1979), quien ademas conjeturó que todos los números afortunados son primos. Y no sabría si el nombre que dio a estos números tiene qué ver directamente con su apellido.

Números de la suerte: No hay que confundir los números afortunados con los Números de la Suerte que se consiguen mediante una criba, como la conocida Criba de Eratóstenes, ingenioso algoritmo que es eficiente para encontrar los primeros números primos.

En el caso de los números de la suerte la criba consiste en ir tachando inicialmente todos los números que aparecen en las posiciones pares, así nos quedan los impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…$ Como el segundo número que ha quedado es el 3, tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3 y nos quedan ahora los números: $1, 3, 7, 9, 13,…$ Como el siguiente número que quedó es el 7, eliminamos ahora, como antes, todos los que aparecen en las posiciones que son múltiplo de 7 y continuamos en esta forma, así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números de la suerte.

Los primeros números de la suerte son:

$1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127,…$

Números recostados: ahora bien, a partir de los números afortunados podríamos definir otro conjunto similar, que al beneficiarse de la existencia de estos, yo llamaría números recostados y que pueden definirse en forma parecida a los afortunados: un número recostado es un número entero $B_n$, que resulta de la expresión 

$P_n-r = B_n$

donde $P_n$  es, como arriba, el producto de los primeros $n$ números primos y $r$ lo definimos como el número primo más grande que es menor que $P_n-1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el mayor primo $r$ menor que $5 = (6-1)$ es $r=3$, entonces

$P_2 -r= B_2 =6-3=3$

por lo tanto $3$ es un número recostado.

Si $n = 6$ tenemos que los primeros 6 números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13$ cuyo producto es $30.030$. El mayor primo inmediatamente menor que $30.029$ es $r= 30.019$. Por lo tanto

$B_6=P_6-r=30.030-30.019=11$

es un número recostado. Obsérvese que $11$ no es un número afortunado.

Los números recostados $B_n$ también podrían ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $B_6= B_4 =11.$

Los primeros números recostados serían

$3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, …$

y también creo que se puede conjeturar que son todos primos.

Como se observa, en torno a estos nuevos conjuntos podemos proponer una diversidad de conjeturas que ofrecen retos que no son sencillos de resolver.

@MantillaIgnacio

Hay conjeturas, como la de Goldbach, formulada por el matemático alemán Christian Goldbach en 1742, que establece que «todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos», que aún nadie ha podido demostrar ni refutar.

Uno de los matemáticos más sobresalientes y célebres de nuestro tiempo ha sido el británico John Conway, quien falleció en 2020, a causa del Covid, en Princeton donde fue profesor durante sus últimos años de vida. 

El legado de Conway en varias ramas de las matemáticas lo constituyen contribuciones complejas, difíciles de transmitir, pero Conway también incursionó en la matemática recreativa y nos dejó algunos acertijos y juegos fáciles de entender, así como problemas abiertos y conjeturas.

Un ejemplo de uno de esos retos es la conjetura conocida bajo el nombre de «la escalada hasta un primo», que consiste en escoger un número entero positivo cualquiera que sea mayor que 1 y seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer el número elegido en sus factores primos. Esto es posible siempre, gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que «cada número entero mayor que 1 es primo o puede expresarse como un producto único de números primos, salvo por el orden de los factores». Ejemplo, si el número elegido es 40, los primos de su descomposición son 2, 2, 2 y 5, ya que
   
   40 = 2³ · 5.
   
   
2. El segundo paso consiste en tomar esos números primos y sus exponentes, ordenarlos de menor a mayor tal como aparecen en la descomposición y concatenarlos formando un nuevo número. En el ejemplo, el nuevo número es el proveniente de 40 = 2³ · 5. O sea:
   
   235.
   
   
3. A partir de aquí, repetir los dos pasos anteriores con el nuevo número hasta conseguir un número primo. Para el ejemplo:
   
   235 = 5 · 47
   
   y aquí termina la escalada del número 40 hasta un primo porque el nuevo número formado con los factores primos 5, 4 y 7 es el número 547 que es primo.

Con esto podemos ahora formular y comprender mejor la conjetura de Conway conocida como «escalada hasta un primo»: Conway conjeturó que el paso 3 siempre es posible, es decir que cualquier número entero mayor que 1, sometido a este procedimiento, acabaría devolviendo un número primo. Es más, cuando propuso la conjetura llegó a ofrecer 1.000 dólares a quien demostrara su veracidad o falsedad.

Decidir sobre su veracidad o falsedad no es sencillo; hay números que parecen servir de contraejemplos, pero que no lo son; sin embargo su escalada hasta un primo sí constituye una tarea sumamente extensa y tediosa como para creer, al cabo de muchos pasos, que se trata de un contraejemplo; tal es el caso del número 20 por ejemplo, que requiere más de 100 pasos para escalar hasta un primo. Y frente a estos números, después de tantos pasos que hasta se había llegado a creer que se trataba de un contraejemplo y al final no lo era, viene la pregunta: ¿será verdadera la conjetura?

Se le atribuye a un aficionado a las matemáticas, de nombre James Davis, haber demostrado a mediados del año 2017, que la conjetura de Conway «escalada hasta un primo» es falsa. Davis logró encontrar un contraejemplo: el número 

d = 13.532.385.396.179 

que se devuelve a sí mismo al ser descompuesto en números primos, entrando en un bucle sin fin del que no podrá salir un primo. En efecto,

d = 13.532.385.396.179 = 13 · 53² · 3853 · 96179

y obsérvese que el proceso de escalar buscando un primo lo convierte en él mismo, pues el número 2 ocupa el quinto lugar entre sus dígitos y también esa posición como exponente del primo 53 en la descomposición del número, así que d es como un punto fijo que no consigue «escalar» hasta un número primo. 

Naturalmente este no es el único contraejemplo, y teniendo ya uno, a partir de él podemos construir otros. Por ejemplo, si tomamos los 4 dígitos de d, que siguen a los dos primeros (13) tenemos el número 5323 que es primo y si el dígito siguiente (8) lo usamos como exponente, entonces podemos aprovechar que el número que forman los últimos dígitos que quedan (5396179) también es primo, para escribir el número:

D = 13 · 5323⁸ · 5396179 = 45.214.884.853.168.941.713.016.664.887.087.462.487 

que al ser descompuesto en sus factores primos es el mismo número inicial anterior d, por lo tanto D es otro contraejemplo, un número que no puede escalar hasta un primo.

Generalmente el reto de demostrar la veracidad o la falsedad de una conjetura es grande. No siempre es fácil dar con un contraejemplo o con una demostración; ni siquiera es sencillo decidirse por lo uno o por lo otro y en la mayoría de los casos solo la intuición del matemático le induce a buscar la prueba o en cambio el contraejemplo.

@MantillaIgnacio

Digamos ahora lo obvio; lo que se ha manifestado en distintos espacios a lo largo de semanas y meses, pero en unas pocas líneas que traten de motivar el retorno al cumplimiento de la constitución y el espíritu académico, sin renunciar a los caminos de cambio que se considere que deben ser discutidos y emprendidos.

El fallo del Consejo de Estado, que ratificó la legalidad de la elección de José Ismael Peña como rector, para no hablar del fallo del juez de tutela que ordenó hacer efectivo el ejercicio del cargo, no es una sugerencia ni un punto de partida para una asamblea; es una verdad jurídica de obligatorio cumplimiento. En una democracia, las instituciones no son legítimas solo cuando el resultado nos favorece; son legítimas porque emanan de procesos reglados y autoridades competentes. Desconocer un fallo del máximo tribunal de lo contencioso administrativo es, sencillamente, promover la anarquía bajo el disfraz de la “autonomía”.

La doble moral de las urnas

Llama poderosamente la atención la asimetría con la que ciertos sectores miden la democracia. Se exige respeto absoluto por una consulta previa de rectoría que, aunque masiva, es estatutariamente no vinculante; esa es la realidad de las reglas de juego vigentes. Sin embargo, esos mismos sectores celebran como un mandato popular los resultados de la Mesa Constituyente Universitaria (MECUN), a pesar de registrar una  participación ínfima en comparación con el censo total de la Universidad.

¿Cómo puede una minoría ruidosa arrogarse la representación de 60,000 estudiantes para detener la vida académica? Es hora de medir con el mismo rasero: si la participación es el termómetro de la legitimidad, la parálisis actual carece de ella. La verdadera democracia universitaria se ejerce en las aulas, en los laboratorios y en los canales institucionales de reforma, no en el bloqueo sistemático del derecho ajeno a la educación. La democracia son las reglas de juego válidamente establecidas y democracia, es también, cambiarlas a través de los mecanismos que respeten esas mismas reglas de juego (los estatutos que en su momento fueron objeto de debates, disensos y consensos). Por algo, la propia Constitución Política puede cambiarse, pero a través de los mecanismos que ella misma estableció por consenso.

El retorno a la razón

El camino para las reformas que la comunidad aspira –como la modificación del sistema de elección de rector, entre otras— existe y está trazado en la ley. Se llama trámite institucional (iniciativa de reforma) ante el Consejo Superior Universitario. Utilizar el paro como mecanismo de extorsión para saltarse los procedimientos legales solo debilita la institucionalidad que los mismos manifestantes dicen proteger de “intervenciones externas”.

El vacío que llena el radicalismo

Es innegable que la estrategia del paro prolongado no busca el consenso, sino la dispersión. Al cerrar las aulas, la inmensa mayoría de la comunidad universitaria —esa que entiende la educación como un proyecto de vida y no como un campo de batalla ideológico (por lo menos, no como una batalla de argumentos y construcción desde la diferencia)— se ve obligada a retirarse a sus casas, dejando los campus físicamente vacíos, pero políticamente capturados. En ese silencio de la mayoría, el debate queda a merced de los sectores más radicales, quienes encuentran en la anarquía el ecosistema ideal para imponer su visión como la única verdad absoluta.

Este fenómeno es, en esencia, una forma de intimidación intelectual y física. El discurso violento y excluyente que emana de las asambleas a puerta cerrada – porque, aunque se muestran como abiertas, se difama y estigmatiza a quien expresa su disenso y deseo de debatir con dinámicas académicas normales de clase-, se erige sobre un falso dilema: o se está con el paro, o se es un “traidor a la causa”. Ante esta polarización extrema, el estudiante o profesor que desea la normalidad académica termina replegado, silenciado por el temor a la estigmatización o a la confrontación directa. Así, lo que se vende como una “gesta democrática” termina siendo el secuestro de la voluntad colectiva por parte de una minoría que, al vaciar la universidad de su pluralidad natural, convierte el campus en un feudo de pensamiento único donde la razón es sustituida por la consigna.

Un ejercicio de honestidad: ¿y si el gobierno fuera otro?

Resulta imperativo plantear un escenario hipotético pero revelador: ¿Cuál sería la narrativa si el Gobierno Nacional actual fuera de derecha y no de izquierda? Probablemente, el discurso de la “resistencia” denunciaría con ferocidad cualquier intento del Ejecutivo por dilatar la posesión de un rector legalmente elegido o por asfixiar financieramente a la institución como medida de presión. Veríamos carteles hablando de “dictadura” y “violación a la separación de poderes”. Hoy, ante un gobierno afín a las tesis del paro, el silencio o la complicidad frente al desacato judicial es ensordecedor. La ley no puede ser un traje a la medida del gobernante de turno o de la ideología predominante en la plaza pública.

La Universidad Nacional debe abrir sus puertas ya. La normalización académica no es una derrota para nadie, sino una victoria para el país que financia, con el esfuerzo de todos los contribuyentes, una educación que hoy está secuestrada por el sesgo.

Señor Rector, profesores, representantes y estudiantes: el respeto a la ley es el único camino. Lo demás es el abismo de la arbitrariedad.

OJF

En el caso de los profesores de matemáticas, estamos bastante acostumbrados a plantear problemas de tal manera que la respuesta sea un valor especial, previamente elegido, por ejemplo un número entero en lugar de una fracción. Pero hay muchos casos en los que la ignorancia da inesperadas sorpresas.

Empezamos como en los cuentos infantiles… Había una vez un rey que, deseando que en su reino hubiera mayoría de varones, decidió decretar que las parejas podían tener los hijos que quisieran mientras fueran niños, pero en cuanto tenían una niña ya no podían tener más hijos. De este modo, pensó el rey, pronto habría familias con varios niños pero ninguna con más de una niña, con lo que la proporción de varones aumentaría notablemente en su reino, tan necesitado de combatientes para fortalecer el ejército. 

Pero analicemos el decreto real con el sesgo machista que prohíbe seguir procreando a quienes tienen una hija. Supongamos que en el momento de promulgar el decreto hay 8000 mujeres en el reino que pueden procrear y que la probabilidad de que nazca un niño es la misma probabilidad de que nazca una niña; es decir que estas 8000 mujeres podrán dar a luz aproximadamente 4000 niños y 4000 niñas.

Como solo las primeras 4000 mujeres del grupo de 8000 podrán volver a tener más hijos o hijas, entonces los siguientes nacimientos en el grupo de estudio son a lo sumo de 2000 niños y 2000 niñas aproximadamente.

Siguiendo con las reglas establecidas en el decreto, habrá después máximo 1000 nacimientos y luego solo 500, y así sucesivamente, de tal manera que al cabo de unas 10 oleadas más de bebés, ninguna mujer del grupo inicial de 8000 tendrá derecho a tener más hijos.

Por lo tanto en cada medición de nuevos nacimientos habrá tantos niños como niñas y la población se irá reduciendo sin que sea mayor la proporción de varones, como lo quería el rey.

El deseo de aumentar el número de varones con esa medida, solo logra entonces una disminución de la población en el reino, pero no una mayor proporción de varones.

Entre nosotros es también común legislar con el deseo de lograr un efecto a corto, mediano o largo plazo; que sea este un ejemplo que sirva para llamar la atención sobre las falsas expectativas que pueden crearse con algunas normas.

@MantillaIgnacio

Sessa le pidió entonces al rey algo que parecía bastante humilde: que por el primer cuadro de la perimera fila del tablero le diera un grano de trigo, que por el segundo cuadro de la fila le diera dos granos, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, y así sucesivamente hasta el último cuadro de la última fila con el doble de granos del penúltimo cuadro.

Cuenta la leyenda que el rey ordenó que hicieran la cuenta y entregaran a Sessa un costal con el trigo que había pedido. Pero al rato, cuando los tesoreros del reino terminaron las cuentas, tuvieron que llamar en secreto al rey para informarle que era imposible satisfacer a Sessa con esa recompensa, lo que molestó al rey.

Hago un paréntesis para examinar la cantidad solicitada. En efecto, el inventor del juego pedía lo correspondiente a la suma de potencias de 2, desde 2° = 1 hasta 2 elevado a la potencia 63. Esa suma es igual a:

2⁶⁴  – 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Si escribimos en palabras esta cantidad, debemos decir: dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y uno mil seiscientos quince granos de trigo.

Para tener una idea de la cantidad de trigo solicitado, vamos a estimarlo en toneladas métricas (Tm), aceptando que en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 20 000 granos. Entonces, dividiendo la cantidad de granos entre 20 000 obtenemos la cifra en kilogramos y dividiendo esa cifra entre 1000 pasamos a toneladas métricas. El resultado es el siguiente: 

922 337 203 685 Tm.

Pero, para tener una mejor apreciación de esta cifra, hay que saber que, de acuerdo con la Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (FAO), la producción mundial de trigo actualmente es de aproximadamente 800 millones de toneladas métricas al año; es decir que si tomamos esta cifra como producción mundial anual, entonces el tiempo necesario para reunir el trigo pedido por el joven Sessa, destinando para su recompensa toda la producción mundial cada año, sería de

922 337 203 685 / 800 000 000 ≈ 1152 años.

Este es un claro ejemplo de lo que es el crecimiento exponencial, un ejemplo de cómo a partir de un solo grano de trigo y duplicando en cada paso la cifra anterior hasta llegar a 2⁶³, se obtiene una cantidad inimaginable de trigo, que no podría recolectarse en un milenio ni siquiera destinando toda la producción mundial cada año. 

Ahora, habiendo ya apreciado la cantidad de trigo solicitada por el inventor Sessa, y suponiendo que él era consciente de la imposibilidad del rey para compensarle, continuamos con esta bella historia que se ha convertido en leyenda y que bien puede terminar aquí reafirmando la impotencia del rey para cumplir su promesa.

Pero la historia puede tener otro final, pues al igual que en una partida de ajedrez, tras una jugada audaz, la posición de un jugador que parecía derrotado puede ser victoriosa; y es así como la historia también se puede presentar con un final feliz para el rey, pues al fin de cuentas, en el ajedrez también el rey puede atacar. 

Y es que habiendo sido muy formado en matemáticas, el rey, aprovechándose de la ignorancia y la ambición del buen calculista Sessa, como si este solo fuese un peón en el juego, decide darle ahora una lección y lo hace en los siguientes términos:

“Joven Sessa eres muy listo y por eso quiero ahora premiarte sin límite. Te equivocas si has llegado a pensar que no tengo en el reino trigo suficiente para compensarte, y te daré aún más de lo que pides. Aumentaré vuestra recompensa si lo aceptas de la siguiente manera: por el primer cuadro de la primera fila del tablero te daré un grano, como has pedido, por el segundo dos granos, como has indicado, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, como bien lo has mencionado y así sucesivamente, pero esto no parará en el último cuadro de la última fila, el 64, con el doble del anterior, hasta donde has pedido, sino que sumaremos hasta el infinito estas cantidades”. 

Sessa no lo podía creer y sonrió triunfador manifestando su satisfacción por esa recompensa que de antemano sabía que sería imposible de cumplir. Sin embargo, tomando una tiza el buen rey volteó el tablero y sobre el respaldo calculó la cantidad de granos, que llamó S, que debía entregar al incrédulo Sessa. Esta fue la operación que hábilmente hizo el rey delante de Sessa y los contadores del reino para calcular cuánto trigo debía ser entregado:

Y finalmente dijo el rey:

«Como ves querido Sessa, te voy a compensar con creces como lo quisiste y esa recompensa que deseas arroja como resultado una deuda de un grano a mi favor, pero como soy un rey magnánimo, al marcharte, de ese grano me olvidaré».

@MantillaIgancio

El problema del caballo de ajedrez

El problema conocido como «problema del caballo de ajedrez» bien podría clasificarse dentro del grupo de los rompecabezas más apasionantes de ingenio matemático en el ajedrez. Consiste en recorrer todos los 64 cuadros del tablero, pasando solo una vez por cada uno de ellos, con un caballo, respetando las reglas del juego, es decir haciendo que el caballo solo se mueva en forma de “L”. 

Este problema es muy antiguo. Harold Murray, en su libro sobre historia del ajedrez publicado en 1913, cita a los grandes ajedrecistas árabes Al-Adli (hacia el año 840) y Al-Suli (hacia el 910), como autores de manuscitos en los que se presentan recorridos cerrados del caballo en el tablero de ajedrez.

Se han encontrado muchas soluciones a este problema, pero el primero en realizar un análisis matemático riguroso del juego fue el gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien presentó en 1759, ante la Academia de Ciencias de Berlín el artículo titulado «Solución a una cuestión ingeniosa que parece que no ha sido analizada» (Memoria de la Academia de Ciencias de Berlín, 1759) y en sus propias palabras empieza diciendo que: 

“Un día me encontraba en una reunión en la que, con ocasión del juego del ajedrez, alguien propuso la cuestión de recorrer con un caballo todas las casillas de un tablero sin pasar nunca dos veces por la misma y empezando en una casilla dada. Se colocaban fichas, para este fin, en las sesenta y cuatro casillas del tablero, salvo en la que el caballo debía comenzar su ruta, y de cada casilla por la que pasaba el caballo, conforme a su camino, se retiraba la ficha, de manera que se trataba de retirar de esta forma todas las fichas sucesivamente. Había que evitar, pues, por un lado, que el caballo pasara por una casilla vacía y, por otro lado, había que dirigir su camino de suerte que recorriera finalmente todas las casillas”.

Tratándose de Euler, no podía esperarse cualquier solución a este interesante reto. En efecto, Euler decidió dar a conocer una solución, comenzando por la primera casilla de la primera fila y numeró los cuadros en el orden en que se debe desplazar el caballo por todo el tablero, desde 1 hasta 64, como lo indica la figura.

Como se observa, Euler no se limitó a dar una solución cualquiera al problema propuesto, también logró que la solución encontrada fuera un cuadrado mágico: en efecto, cada una de sus filas y cada una de sus columnas suma 260. Y su genialidad agregó otra curiosidad: cada uno de los cuatro subcuadrados (indicados con distinto color en la figura) es un cuadrado mágico cuyas filas y columnas suman la mitad del grande: 130.

Para quienes tengan mayor interés o deseen conocer un análisis matemático del problema del recorrido del caballo sobre un tablero de ajedrez, pueden descubrir cómo este reto se puede plantear formalmente como un problema dentro de la teoría de grafos, como bien se explica en el libro de Raúl Ibáñez, «Del ajedrez a los grafos, la seriedad matemática de los juegos. El mundo es matemático, RBA, 2015».

Pero para el entretenimiento de los lectores, basta con intentarlo eligiendo cualquier casilla para comenzar.

@MantillaIgnacio

Este bello problema que les compartiré está basado en los movimientos de la reina en el tablero de ajedrez y es conocido como «problema de las 8 damas». Consiste en ubicar 8 reinas en el tablero de ajedrez sin que se ataquen, siguiendo las reglas del juego, es decir respetando que la reina solo se puede desplazar vertical, horizontal o diagonalmente, tantas casillas como se desee.

El problema fue propuesto por el alemán Max Bezzel y publicado por primera vez en 1848 en la revista alemana especializada en ajedrez «Berliner Schachzeitung».

En realidad, el problema es equivalente al reto de situar 8 fichas en el tablero de 64 casillas (8 filas y 8 columnas), de tal manera que no haya dos en la misma columna, fila o diagonal. A manera de ejemplo, una solución es la siguiente:

Obsérvese que cuando se encuentra una solución, se pueden reconocer otras tres, rotanto el tablero 90, 180 y 270 grados.

El número total de soluciones que tiene este problema, es 92, pero en realidad solo hay 12 soluciones básicas porque las restantes se obtienen a partir de ellas con giros y simetrías. Hay 12 soluciones que dan origen, cada una, a 3 más, usando rotaciones, como ya indicamos, así que por cada solución básica se revelan 4 mediante rotaciones para un total de

12 x 4 = 48.

Ahora bien, solo hay 11 de las 12 soluciones básicas que dan origen a otras 3 mediante simetría o reflexión porque hay una solución básica con simetría central que no origina nuevas soluciones; esa solución es la que muestra la imagen siguiente:

así que, mediante simetría tenemos

11 x 4 = 44,

y el número total de soluciones es entonces

(12 x 4) + (11 x 4) = 48 + 44 = 92.

El problema de las ocho damas fue un reto con el que se entretuvieron los matemáticos a mediados del siglo XIX, el mismo Gauss encontró en una tarde 76 de las 92 soluciones; pero el primero en encontrar todas las soluciones, en 1850, fue el matemático Franz Nauck.

Actualmente el problema de las 8 damas sigue despertando gran interés, ya no solo como entretenimiento para encontrar alguna solución de forma manual. El problema se ha vuelto bastante popular porque resulta ser un excelente referente para enseñar algoritmos y optimización ya que puede resolverse de múltiples maneras y la tarea de encontrar una solución, donde se exploran diferentes combinaciones y se descartan las que no cumplen con las reglas, de manera rápida y sistemática, es una forma muy didáctica y da origen a una técnica computacional de frecuente uso y múltiples aplicaciones, conocida como «backtracking», que se basa en probar y retroceder cuando algo no funciona.

El reto de encontrar todas las soluciones exige además importantes modificaciones y extensiones de un primer algoritmo para la búsqueda de una sola solución; por lo tanto el ejercicio lógico y computacional brinda un ejemplo que obliga a seguir una buena receta que contemple todas las posibilidades y vaya haciendo barridos en todas las casillas. Pero encontrar todas las soluciones al problema puede ser bastante costoso computacionalmente, ya que hay 4.426.165.368 posibles arreglos y solo 92 soluciones, como ya se indicó.

También se ha formulado el problema general para tableros de nxn siendo n un número que representa más de 8 filas y columnas; esta generalización o «problema de las n reinas» se ha convertido en un desafío computacional. Así por ejemplo, para un tablero de 12×12 hay exactamente 1787 soluciones básicas y un total de 14.200 soluciones.

Sea esta la oportunidad para invitarles a entretenerse un rato con este bello problema intentando dar con una solución y creando su propio algoritmo en forma recursiva.

@MantillaIgnacio

Gracias a algunas famosas pinturas es posible identificar estilos de muebles usados en siglos pasados; así por ejemplo el cuadro de La última cena, de Tintoretto, pintado a finales del siglo XVI nos revela un estilo de mesa y butacas muy particular  

y el Dormitorio de Arles de Van Gogh nos muestra los muebles correspondientes a una austera habitación individual europea de finales del siglo XIX. 

También hay ejemplos de muebles muy particulares, diseñados para cumplir exclusivamente una función, como es el caso de esta ingeniosa silla francesa del siglo XVIII, especialmente diseñada para leer un libro con las manos libres y con soporte para una vela, como fuente de luz, por si si fuese necesario continuar la lectura al anochecer. 

Pero no quiero centrarme en la historia ni en el diseño de muebles sino llamar la atención sobre un detalle que pasa desapercibido y que casi siempre omiten los diseñadores de muebles. Si bien la mayoría de muebles tales como estantes, mesas o sillas tienen cuatro patas; es decir, cuatro puntos de apoyo sobre el suelo, frecuentemente, a pesar de que esas patas tienen la misma longitud, el mueble termina cojeando. 

No se trata de un defecto de fabricación, basta con que el suelo presente un pequeño desnivel para que tengamos una mesa coja balanceándose sin remedio hasta que usemos algún elemento para nivelar la pata que queda en el aire. Los tacos de papel doblado o las cuñas hechas con tapas de botellas de gaseosas y cervezas son las preferidas en los restaurantes y cafeterías populares y se convierten en los correctivos más comunes. 

Sin duda todos hemos experimentado la desagradable experiencia de sentarnos a comer frente a una mesa coja, sin poder evitar que la sopa, el jugo o el café se rieguen cada vez que, sin intención, nos apoyemos en la mesa; y la experiencia es peor aún, cuando además la silla que ocupamos también cojea. Son tan comunes las mesas y sillas cojas, que ya los diseños modernos incluyen tapas atornilladas en las patas para graduarlas y evitar esta molesta situación.

Pero ¿alguna vez se han detenido a examinar muebles de tres patas?

o ¿han observado que los muebles de tres patas no cojean? 

Como siempre, las matemáticas están en todas partes para ofrecernos una explicación; y en este caso la respuesta la encontramos en la geometría euclidiana. En efecto, la razón por la que los muebles de tres patas no cojean es bien clara: un plano es una figura bidimensional formada por un número infinito de puntos y desde hace 2300 años el gran matemático griego Euclides nos enseñó que bastan tres puntos no alineados para definir un plano; más exactamente, Euclides dice que «dados tres puntos no alineados, existe un único plano al que pertenecen». 

Si lo miramos en el caso unidimensional, tal vez convenga comparar esa afirmación con el primer postulado de Euclides que entendemos y aceptamos más fácilmente: «Por dos puntos distintos, se puede trazar una única línea recta».  

Entendiendo el principio enunciado, el plano que contenga tres puntos dados (que no estén sobre una misma línea recta) es único; es decir, no puede haber otro.

Si examinamos una mesa de cuatro patas, hay cuatro puntos de apoyo sobre una superficie, pero solo podemos estar seguros de que tres de sus patas se apoyan en el suelo sobre un mismo plano; es posible que el cuarto punto de apoyo pertenezca a otro plano y basta con que la cuarta pata se apoye sobre un plano distinto para que la mesa pierda estabilidad y empiece a cojear, por pequeño que sea el desnivel del piso. 

En una mesa de tres patas, dos de ellas la posicionan en un mismo eje y la tercera pata, tenga o no la misma longitud, se encarga de estabilizar la mesa adaptándola al eventual desnivel del suelo; es decir, las tres patas siempre tocarán el suelo a la vez, definiendo un único plano con la certeza de que nunca llegará a cojear. 

Sin embargo, es importante aclarar que la superficie de la mesa podría no quedar paralela al plano del suelo porque esos planos no necesariamente son paralelos, pero no importa qué tan irregular sea el suelo, las tres patas siempre formarán un único plano, eliminando ese molesto balanceo.  

Paradójicamente, los objetos de tres patas nos transmiten cierta sensación de inestabilidad.  

Con esta breve nota espero que la próxima vez que cambie sus muebles tenga en cuenta que tres patas son suficientes para evitar la cojera y que, por extraño que parezca, la estabilidad del mueble no se pierde porque le falte una cuarta pata.

@MantillaIgnacio

Siempre estuvo vinculado a la Universidad Nacional aunque fue profesor invitado y conferencista en prácticamente todas las universidades colombianas. Sus libros de texto tuvieron tal influencia, que podría afirmar, sin temor a equivocarme, que Takeuchi fue profesor o influyó, durante cinco décadas, en todos los docentes universitarios de matemáticas del país. En 2008, al celebrarse 100 años de relaciones entre Colombia y Japón, fue destacado como el japonés que mayor influencia había tenido en nuestro país.

Dueño de una habilidad e intuición matemática envidiables, manejaba como pocos algunas áreas de difícil dominio, tales como las Sucesiones y Series o el Análisis Matemático y la Variable Compleja. Escribió cerca de 40 libros de matemáticas que él mismo digitó (usando solo sus dos dedos índices) en una vieja máquina de escribir a la que había que cambiarle los tambores metálicos con las letras para estampar algunos símbolos matemáticos. Las gráficas y demás símbolos los hacía a mano en los espacios que reservaba para llenar luego.

En una época en la que los textos de matemáticas universitarias eran importados y por lo tanto muy costosos y de difícil acceso, sus publicaciones, de excelente calidad, estaban al alcance de los estudiantes gracias al bajo costo que tenían, con el que escasamente cubría su edición. En un taller instalado en el garaje de su casa, producía todo ese arsenal matemático con la ayuda de sus hijos, quienes eran sus principales ayudantes a la hora de compaginar, empastar y pegar folletos y libros. 

Pero el profesor Takeuchi no solo se limitó a hacer aportes a las matemáticas, era un excelente observador de nuestra realidad e idiosincracia y hacía críticas tan acertadas, que sociólogos como Alfredo Molano, afirmaba que el mejor sociólogo colombiano no era sociólogo ni era colombiano: era el profesor Takeuchi. Cuando le preguntaron a Takeuchi cuáles eran las diferencias entre los colombianos y los japoneses, lo sintetizó magistralmente: “un colombiano es más inteligente que un japonés, pero dos japoneses son más inteligentes que dos colombianos”.

Una buena descripción de su aguda mirada es la que él mismo expresó cuando dijo: “Mi forma de actuar se debe a que combino la cultura oriental con la malicia indígena, al fin y al cabo yo aprendí esas dos culturas”.

La celebración de la Navidad y Año Nuevo me trae gratos recuerdos del profeosr Takeuchi porque al finalizar el año tenía por costumbre realizar reuniones en su casa para despedir el año; reuniones en las que él mismo preparaba una exquisita cena para unas 20 o 30 personas entre estudiantes de posgrado y profesores de matemáticas, con platos que los asistentes probábamos por primera vez tales como el Sushi, que hace 40 años aún no era ofrecido en Colombia. Era un gran cocinero y alguna vez me confesó que había logrado preparar los platos típicos colombianos más conocidos, menos uno: la lechona. Al preguntarle si había podido preparar tamales, me dijo:

—Sí, los tolimenses y los santandereanos.

Tuve la fortuna de ser su alumno o más bien su discípulo, fue mi profesor en varias asignaturas y mi director de tesis de maestría en matemáticas. Escribió una carta de recomendación para mi admisión al doctorado en Alemania. Su generosidad era amplia, no solo compartiendo sus conocimientos sino en todos los órdenes, especialmente cuando había que apoyar a algún estudiante necesitado.

Yo solía hablar mucho con el profesor Takeuchi y siempre acudía a él cuando tenía dificultades con algún problema de matemáticas. Era su costumbre desprender una hoja de alguna cartelera y escribir sobre ella, sin importar si tenía o no espacio en blanco.

Su oficina era un caos; un desorden de libros, papeles, cajas de tizas, lápices y esferos; y una torre de libros a punto de caer; sin embargo sabía perfectamente dónde estaba cada cosa que necesitaba.

Como es apenas natural, son muchas las anécdotas que podría compartir sobre el profesor Takeuchi, pero me limitaré a compartir solo un par de ellas. La primera es una historia de hace unos 30 años, que muestra su talante maestro: le comenté que necesitaba comprar un carro, pero agregué que no tenía los recursos y que los préstamos bancarios eran impagables o muy ventajosos para los bancos y que además el vehículo quedaba pignorado hasta el pago total de la deuda. Inmediatamente me dijo que él podría hacerme un préstamo. Escribió sobre un papel la fórmula que aún conservo:

Como la suma prestada es P, entonces valor inicial S(0) = P.

—Muy bien  —dijo el profesor Takeuchi—. Ahora debe decidir cuánto necesita; es decir elegir S(0) y jugar con los tres parámetros: cuota fija Q, y duración del préstamo, determinando el n tal que S(n) = 0. El interés r  es 1 % mensual (r = 0,01 en la fórmula), en una época en la que para este tipo de préstamos el interés se acercaba al doble.

Fue así como recibí un cheque de diez millones de pesos sin firmar ningún papel que garantizara mi cumplimiento y una valiosa fórmula para calcular las cuotas fijas mensuales que pagué rigurosamente durante 24 meses, período en el que el saldo S(24) fue cero. 

Una anécdota que me gusta contar es la que tiene que ver con el análisis que me hizo sobre el dominio matemático de su pequeña nieta cuando la niña apenas empezaba a hablar. 

—Mi nieta sólo sabe tres palabras y con ellas ya domina conceptos matemáticos —me dijo un día en la sala de profesores del edificio 404, mientras se tomaba un café.

—¿Cuáles son esa tres palabras, profesor? —pregunté intrigado.

—Mi nieta dice “MÍO” y eso es porque tiene claro el concepto de pertenencia —sonrió. Y continuó—: mi nieta dice “NO”, lo que indica que maneja la negación lógica y la niña también sabe pedir “MÁS”, o sea que conoce ya la adición. Con tres palabras: MÍO, NO y MÁS se defiende divinamente.

En el año 2010, siendo yo decano de la Facultad de Ciencias tuve el privilegio y la satisfacción de acompañarle, junto con el rector Moisés Wassermann, a la Casa de Nariño a recibir su nacionalidad colombiana. Ese día fue muy especial para el profesor Takeuchi, estaba feliz y se vistió de corbata, única vez que lo vi así vestido. Al terminar la ceremonia le ofrecimos una copa de vino en el Claustro de San Agustín en compañía de su familia y de un nutrido grupo de matemáticos. Sus palabras fueron breves pero aún recuerdo que terminó preguntando: “… ¿Y dónde me entregan cédula de ciudadano colombiano?”

Tras su muerte en diciembre de 2014, el Consejo Superior Universitario de la Universidad Nacional aprobó (unánimemente) llamar con su nombre al edificio en el que el profesor Takeuchi siempre tuvo su oficina.

Recientemente un amplio grupo conformado principalmente por sus exalumnos, en cabeza del colega Iván Castro Chadid, hemos creado un “colectivo” con su nombre para intercambiar noticias, curiosidades y problemas de matemáticas, así como para realizar encuentros y mantener una permanente comunicación compartiendo mensajes que nos mantengan unidos disfrutando de una gran amistad y tratando de continuar la tarea de divulgación de las matemáticas que tanto le importaba a Takeuchi. 

Actualmente, a través de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, la familia Takeuchi entrega anualmente el Premio Yu Takeuchi a la mejor tesis colombiana de doctorado en matemáticas, física o estadística y a la mejor tesis de maestría en alguna de estas mismas áreas, con montos de más de 10 millones de pesos para doctorado y la mitad para maestría.

El legado de Takeuchi es de un enorme valor, su riqueza intelectual, su prodigiosa intuición matemática y su ejemplar vida austera, debe inspirarnos a todos los colombianos.

¡Gracias Maestro!

@MantillaIgnacio