A mi modo de ver, la mayoría de estas preocupaciones proviene de la idea de que los matemáticos dejarán de ser valiosos. Hay un aparente temor a que se pierda la utilidad de su labor, a que su capacidad para resolver problemas sea superada por la indiscutible superioridad de la IA en el procesamiento de la información.

No obstante lo anotado anteriormente, creo que ese tipo de preocupaciones ha existido siempre, y no solo entre los matemáticos. La aparición de la imprenta de Gutenberg, por ejemplo, suscitó numerosas inquietudes debido a la difusión masiva de textos que antes estaban reservados a unos pocos. Además, provocó la gradual desaparición de algunos oficios, como el de los amanuenses o copistas, encargados de transcribir manuscritos a mano, labor que generalmente se realizaba en monasterios y talleres.

En la evolución de las herramientas utilizadas para efectuar cálculos y resolver problemas ha habido siempre, por supuesto, un efecto sobre la manera de hacer matemáticas. Desde los ábacos utilizados por numerosas culturas se llegó a inventos de enorme importancia, como las calculadoras mecánicas: la pascalina, diseñada por Blaise Pascal en 1642, o la extraordinaria máquina de Leibniz, presentada en 1673, con la que ya podían realizarse las cuatro operaciones aritméticas básicas, incluida la división. Cada uno de estos avances generó temores y contribuyó gradualmente a la desaparición de oficios ya tradicionales que dependían de la habilidad para efectuar cálculos manuales de forma rápida y precisa, como los de los calculistas que realizaban complejos cómputos numéricos para la astronomía, la navegación, la ingeniería o la administración.

El siguiente gran salto se produjo con la aparición de las calculadoras electrónicas hacia mediados del siglo XX. Estas máquinas, inicialmente costosas y reservadas a instituciones científicas, militares y empresariales, realizaban en segundos operaciones que antes requerían largos cálculos manuales. Ya en la década de 1970 se popularizaron, y los estudiantes universitarios podían adquirirlas para reemplazar las reglas de cálculo y las tablas logarítmicas en la ejecución de sus tareas en las asignaturas de matemáticas.

Desde entonces hemos ido abandonando algoritmos y procedimientos que antes aprendíamos tras dedicarles mucho tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el cálculo manual de una raíz cuadrada, tarea que estoy seguro de que la mayoría de los lectores no podría realizar hoy sin detenerse primero a recordar el procedimiento. Sería prácticamente imposible, por ejemplo, determinar en pocos minutos el valor de √17,3 sin la ayuda de una calculadora.

Como había ocurrido con innovaciones anteriores, la llegada de estos instrumentos de cálculo despertó inquietudes entre quienes temían que las nuevas tecnologías sustituyeran habilidades que durante siglos habían sido altamente valoradas. Sin embargo, lejos de hacer innecesarias las matemáticas, las calculadoras electrónicas permitieron abordar problemas cada vez más complejos y liberaron a los investigadores de numerosas tareas rutinarias, permitiéndoles concentrarse en los aspectos conceptuales de su trabajo. Del mismo modo, los profesores de matemáticas pudieron dedicar menos tiempo a la ejecución mecánica de los cálculos y más a la comprensión de los conceptos y a sus aplicaciones. Como era de esperar, esta transformación introdujo cambios importantes y exigió nuevas formas de adaptación.

Pero la verdadera transformación llegó con la aparición de los computadores. A diferencia de las calculadoras electrónicas, que estaban concebidas principalmente para realizar operaciones numéricas, los computadores podían ejecutar secuencias de instrucciones y resolver una gran variedad de tareas. Surgió así la programación, es decir, el arte de describir mediante algoritmos precisos los pasos necesarios para resolver un problema. Durante décadas, aprender a programar se convirtió en una habilidad fundamental para científicos, ingenieros y matemáticos, del mismo modo que antes lo había sido dominar las técnicas de cálculo manual.

Los computadores no eliminaron la necesidad de pensar; por el contrario, exigieron nuevas formas de razonamiento y obligaron a expresar con claridad procedimientos que hasta entonces muchas personas realizaban de manera intuitiva. Surgieron así nuevos problemas matemáticos y computacionales: fue necesario desarrollar algoritmos y métodos numéricos eficientes, que requirieran poca memoria, ejecutaran los cálculos en tiempos razonables y produjeran resultados fiables a pesar de los errores de redondeo propios de la aritmética de máquina. 

Y, una vez más, la historia se repitió: aparecieron nuevas profesiones y nuevas áreas de especialización, mientras algunos oficios tradicionales fueron perdiendo relevancia o desaparecieron por completo.

El desarrollo de computadores cada vez más veloces y capaces permitió, como está ocurriendo ahora, resolver problemas matemáticos que habían permanecido abiertos durante siglos. Un ejemplo particularmente interesante del impacto de los computadores en las matemáticas ocurrió en 1966, cuando L. J. Lander y T. R. Parkin utilizaron un computador CDC 6600 para encontrar un contraejemplo a la conjetura de Euler, formulada en 1769. Este computador, diseñado por Seymour Cray, pertenecía a una línea de máquinas que daría origen posteriormente a los famosos supercomputadores Cray. Considerado el computador más rápido del mundo en su época, el CDC 6600 podía ejecutar aproximadamente tres millones de operaciones de coma flotante por segundo, una cifra extraordinaria para mediados de la década de 1960. El resultado obtenido por Lander y Parkin mostró que cuatro quintas potencias pueden sumar otra quinta potencia, contradiciendo una creencia que había permanecido vigente durante casi dos siglos.

Nadie podía imaginar entonces que llegaría un momento en el que las máquinas no solo ejecutarían instrucciones escritas por los seres humanos, sino que comenzarían también a generar respuestas, textos e incluso programas a partir de simples indicaciones formuladas en lenguaje natural. Así surgió la inteligencia artificial generativa, una herramienta que, al igual que la imprenta, las calculadoras electrónicas o los computadores, ha despertado entusiasmo y preocupación a partes iguales.

Sin embargo, su impacto va más allá de la automatización de tareas rutinarias. Apenas la semana pasada se anunció una posible solución a uno de los Problemas del Milenio, el relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes, obtenida con ayuda de un sistema de inteligencia artificial que coordinó miles de agentes computacionales trabajando de manera simultánea. Si este resultado resiste el escrutinio de los especialistas, podría convertirse en uno de los hitos más importantes de la historia reciente de las matemáticas y en una muestra de cómo las nuevas herramientas, lejos de eliminar la actividad matemática, están transformando profundamente la forma en que se produce el conocimiento matemático.

Pero, ante los nuevos temores sobre una eventual pérdida de relevancia de la labor matemática debido a la inteligencia artificial, merece la pena considerar la posición de Terence Tao, uno de los matemáticos más influyentes y reconocidos de nuestro tiempo. En diversas ocasiones ha defendido el uso de estas herramientas, aunque con matices: ha llegado a compararlas con un asistente de posgrado «mediocre, pero no del todo incompetente», capaz de colaborar en tareas rutinarias, pero sin la capacidad de aprender de sus errores que sí tienen los estudiantes humanos. Sin embargo, también ha señalado un posible riesgo: que la obtención demasiado rápida de la solución de un problema pueda privar a la comunidad matemática de algunos de los beneficios que tradicionalmente han surgido durante la búsqueda de esa solución. En efecto, el esfuerzo por resolver un problema no solo conduce a una respuesta, sino que suele dar origen a nuevas áreas de estudio, estructuras matemáticas, teorías, métodos y preguntas que terminan siendo tan valiosos como la solución misma.

De hecho, es importante resaltar que, de acuerdo con lo que ha expresado Tao, las tareas que realizan los matemáticos no se reducen a resolver problemas difíciles. Entre ellas se encuentran la aplicación de las teorías matemáticas a otros campos del conocimiento, la búsqueda de soluciones a problemas abiertos, tanto puros como aplicados, y la investigación que conduce al desarrollo de nuevas teorías, estructuras, métodos y técnicas. Los matemáticos también contribuyen a una mejor comprensión del mundo que nos rodea, sostienen una comunidad científica que se transmite y renueva de generación en generación, forman a nuevos investigadores y señalan posibles caminos para el desarrollo futuro de la disciplina. A ello se suman la divulgación, la docencia y la formación matemática de profesionales de muy diversos campos. En última instancia, las matemáticas son también una actividad profundamente creativa, capaz de producir construcciones intelectuales de extraordinaria belleza y de un valor cultural que trasciende su utilidad inmediata.

Vista desde esta perspectiva, la inteligencia artificial no parece una amenaza para la existencia de las matemáticas, sino una nueva herramienta que, como tantas otras a lo largo de la historia, obligará a redefinir algunas destrezas, transformará ciertos oficios y abrirá oportunidades cuya magnitud todavía no alcanzamos a comprender plenamente.

Y, como cierre, quiero compartir un pronunciamiento de especial relevancia. El pasado 11 de septiembre, veinticinco ganadores de la Medalla Fields, el máximo reconocimiento en matemáticas, publicaron una declaración encabezada por Terence Tao acerca de los desafíos y oportunidades que plantea la inteligencia artificial para el futuro de la investigación matemática. Lejos de rechazar estas nuevas herramientas, los firmantes reconocen su enorme potencial, pero advierten también sobre los riesgos que podrían derivarse de privilegiar la obtención rápida de resultados por encima de la comprensión profunda, la formación de nuevos matemáticos y el desarrollo de ideas que constituyen la esencia misma de la actividad matemática.

Una grave falta de alineación entre la IA y las matemáticas

11 de septiembre de 2026 en publicidad, opinión | Etiquetas: IA, Medallas Fields | por Terence Tao

Me enorgullece figurar entre los 25 firmantes iniciales, todos ellos galardonados con la Medalla Fields, de la declaración que aparece a continuación, surgida de las conversaciones mantenidas entre nosotros durante la última semana. También hemos publicado nuestra declaración en una página web e invitamos a nuevas adhesiones, de manera similar a la Declaración de Leiden. Es una lástima que no hayamos tenido tiempo para un proceso más participativo, como ocurrió con Leiden; sin embargo, consideramos que la situación era lo suficientemente urgente como para publicar una declaración cuanto antes.

Véase también un reciente artículo de The Economist sobre nuestra declaración.

Durante los últimos meses, las capacidades matemáticas de los grandes modelos de lenguaje (LLM) han mejorado de forma espectacular, hasta el punto de que pueden resolver importantes problemas abiertos en numerosos campos de las matemáticas. Sin embargo, el empeño de las empresas de IA por resolver problemas matemáticos como criterio de referencia resulta perjudicial para la ciencia matemática y para la comunidad matemática. Los objetivos de las empresas de IA y los objetivos de la comunidad matemática están gravemente desalineados. Consideramos que esto forma parte de problemas más amplios de alineamiento que afectan también a otras profesiones científicas y creativas, así como al conjunto de la sociedad.

La investigación matemática se ocupa de comprender las estructuras fundamentales de las formas, los números y los fenómenos naturales. A lo largo de generaciones, ha construido un vasto corpus de ideas sofisticadas, métodos, abstracciones y otras herramientas para comprender el paisaje matemático. A su vez, las tecnologías y ciencias modernas se fundamentan en herramientas matemáticas.

Los problemas famosos han servido a menudo como hitos y faros que permiten medir una comprensión más profunda de ese paisaje. Resolver uno de estos problemas ha sido siempre una señal inequívoca de nuevas intuiciones y métodos interesantes, que posteriormente eran estudiados por una comunidad de matemáticos mediante un largo y arduo proceso de conferencias, discusiones y simplificaciones. Idealmente, al final de ese proceso se obtiene una presentación de los resultados apta para un libro de texto, accesible para cualquier estudiante de máster o incluso de grado. Algunas de estas ideas matemáticas continúan su recorrido y, décadas o siglos después, llegan a convertirse en herramientas comprendidas y utilizadas por toda la población.

La comunidad matemática funciona, en muchos sentidos, como una versión en miniatura de la humanidad. Está formada por individuos que emplean una amplia variedad de enfoques distintos, unidos por valores fundamentales compartidos. Los recursos más valiosos de nuestra profesión son los estudiantes y las ideas, y los cultivamos con enorme cuidado. Nos sentimos responsables de permitirles desarrollarse hasta alcanzar todo su potencial, para que puedan llevar una vida propia dentro del mundo matemático. A los estudiantes solemos proponerles problemas con la intención principal de desarrollar capacidades que los sitúen en una buena posición para realizar avances en investigación y en otros ámbitos. Nuestras ideas las difundimos mediante conferencias, conversaciones privadas y exposiciones escritas cuidadosamente elaboradas, conectándolas con las ideas previas de otras personas. Estos procesos requieren invariablemente tiempo y se basan en la interacción humana.

En los últimos meses, el éxito de la IA al resolver importantes problemas matemáticos ha ocupado titulares incluso fuera de los círculos matemáticos. Pero resolver problemas es únicamente una herramienta y un indicador indirecto para alcanzar el objetivo principal: la comprensión conceptual y la generación de intuiciones profundas. Olvidar esto en el contexto de la IA puede convertir la herramienta en un obstáculo para ese objetivo. De hecho, la producción masiva y cada vez más acelerada de proposiciones «verdaderas o falsas» podría destruir un terreno fértil en lugar de insuflar vida a nuevas ideas.

Con frecuencia, estas soluciones se anuncian precipitadamente, sin dejar tiempo para una redacción adecuada, para identificar y aislar los nuevos métodos e ideas, ni para citar debidamente los trabajos previos relevantes de otros investigadores. Como ocurre en todas las profesiones creativas, esto plantea graves cuestiones de atribución y plagio. Además, sin los matemáticos dispuestos a encargarse de su desarrollo e integración en el canon matemático, las ideas concebidas por la IA nunca llegarían a cobrar plenamente vida y se perdería la crucial cadena humana de transmisión del conocimiento entre matemáticos.

Estamos siendo testigos de una amenaza general para el trabajo intelectual, derivada del desalineamiento entre los resultados producidos mediante el uso de la IA y los fines originales de dicho trabajo. En muchos campos y actividades, los años de formación no han servido únicamente para producir una respuesta final o un producto terminado, sino también para desarrollar comprensión y capacidad para formular nuevas preguntas e ideas. Sin embargo, apoyándose en un inmenso cuerpo de trabajo humano previo, los sistemas de IA son cada vez más capaces de producir directamente los resultados de dicho trabajo, y los objetivos dejan de coincidir. Los problemas a los que se enfrenta hoy la comunidad matemática son similares a los que ya experimentan otras profesiones científicas y creativas, y apuntan a cuestiones que podrían afectar a toda la humanidad: cómo garantizar que, a medida que la IA transforma la manera de trabajar, no perdamos de vista aquello que ese trabajo pretendía alcanzar en primer lugar.

La IA ofrece el potencial de mejorar y acelerar el estudio y la comprensión auténticamente matemáticos. Como profesión, las matemáticas deberán adaptarse a estos cambios de diversas maneras. Sin embargo, que esos cambios beneficien finalmente al campo o tengan un efecto destructivo dependerá en gran medida de las decisiones que tomen los seres humanos que controlan esta nueva tecnología.

Estos problemas deben abordarse con urgencia, tanto en la comunidad matemática como por parte de las empresas que desarrollan estas tecnologías y, de forma más amplia, por una sociedad que se enfrentará a cuestiones similares en muchas otras formas de trabajo intelectual.

Firmantes iniciales

• Artur Avila (Medalla Fields 2014)
• Manjul Bhargava (Medalla Fields 2014)
• Caucher Birkar (Medalla Fields 2018)
• Pierre Deligne (Medalla Fields 1978)
• Yu Deng (Medalla Fields 2026)
• Simon Donaldson (Medalla Fields 1986)
• Hugo Duminil-Copin (Medalla Fields 2022)
• Alessio Figalli (Medalla Fields 2018)
• Martin Hairer (Medalla Fields 2014)
• June Huh (Medalla Fields 2022)
• Maxim Kontsevich (Medalla Fields 1998)
• Elon Lindenstrauss (Medalla Fields 2010)
• Pierre-Louis Lions (Medalla Fields 1994)
• James Maynard (Medalla Fields 2022)
• Curt McMullen (Medalla Fields 1998)
• Shigefumi Mori (Medalla Fields 1990)
• Ngô Bảo Châu (Medalla Fields 2010)
• Andrei Okounkov (Medalla Fields 2006)
• Peter Scholze (Medalla Fields 2018)
• Stanislav Smirnov (Medalla Fields 2010)
• Terence Tao (Medalla Fields 2006)
• Maryna Viazovska (Medalla Fields 2022)
• Cédric Villani (Medalla Fields 2010)
• Wendelin Werner (Medalla Fields 2006)
• Efim Zelmanov (Medalla Fields 1994)

El premio es otorgado por el Instituto Clay de Matemáticas, una fundación estadounidense sin ánimo de lucro dedicada a promover y estimular la investigación matemática. Además de diversos programas de apoyo y reconocimientos para matemáticos destacados, el Instituto estableció en el año 2000 su iniciativa más conocida: la selección de siete grandes problemas abiertos, denominados «Problemas del Milenio», y la oferta de un premio de un millón de dólares para quien consiguiera resolver cualquiera de ellos.

Entre esos desafíos figura la «hipótesis de Riemann», uno de los problemas más célebres de las matemáticas. Su importancia ha sido resaltada en numerosas ocasiones, entre ellas por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943), quien afirmó:

«Si despertara después de haber dormido mil años, mi primera pregunta sería: “¿Ha sido demostrada la hipótesis de Riemann?”».

La lista de los siete Problemas del Milenio también incluye la «conjetura de Poincaré», las «ecuaciones de Navier-Stokes» y la «conjetura de Hodge», entre otros. Hasta la fecha, solo uno de los siete problemas ha sido resuelto: la conjetura de Poincaré, demostrada en 2003 por el matemático ruso Grigori Perelman. Sin embargo, Perelman rechazó tanto los reconocimientos académicos asociados a su logro como el premio de un millón de dólares ofrecido por el Instituto Clay.

El pasado 8 de septiembre se anunció una posible solución de otro de los Problemas del Milenio: el relacionado con las ecuaciones de Navier-Stokes. Según la información difundida, la solución se habría obtenido con ayuda de la inteligencia artificial, lo que ha suscitado un intenso debate acerca del mérito de este posible logro. Buena parte de la discusión gira en torno al papel desempeñado por los matemáticos españoles Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa, cuyos trabajos y métodos habrían proporcionado la base sobre la que la IA pudo alcanzar la solución presentada.

Sin embargo, en medio de todo el alboroto suscitado no solo por la posible resolución de otro de los Problemas del Milenio, sino también por el alcance que parecen estar adquiriendo las herramientas de inteligencia artificial, resulta especialmente sensato el pronunciamiento que hizo público el Instituto Clay de Matemáticas el pasado 11 de septiembre. No hay que olvidar que es precisamente esta institución la que ofrece el premio de un millón de dólares para quien logre resolver alguno de esos problemas.

A continuación comparto dicho comunicado, para que los lectores puedan conocer de primera mano cuál es la posición del Instituto y comprender mejor el verdadero alcance de este anuncio.

Los Problemas del Milenio fueron presentados por el Instituto Clay de Matemáticas (Clay Mathematics Institute, CMI) en una reunión celebrada en París en el año 2000 para conmemorar «La universalidad del pensamiento matemático».

Estos problemas representan algunos de los desafíos más difíciles que ocupaban a los matemáticos en el cambio de milenio. Al formularlos y asociar a cada uno un premio de un millón de dólares, el CMI perseguía tres objetivos: destacar ante el público general que la frontera de las matemáticas sigue abierta y está llena de importantes problemas sin resolver; subrayar el valor duradero de trabajar en las cuestiones más profundas y difíciles; y reconocer logros matemáticos de trascendencia histórica.

Cada uno de los Problemas del Milenio se refiere a una cuestión clásica de gran importancia que había resistido todos los intentos de resolución durante muchos años. No se trata de acertijos arbitrarios semejantes a complejos crucigramas. Son, por el contrario, desafíos fundamentales que marcan la frontera del conocimiento humano y nos obligan a desarrollar nuevas estructuras y métodos. Constituyen puntos de referencia en la continua lucha, a través de generaciones y culturas, por profundizar nuestra comprensión de las matemáticas y del universo que estas describen. Las innovaciones profundas necesarias para avanzar significativamente en estos problemas suelen abrir nuevas perspectivas que van mucho más allá del ámbito específico de cada cuestión.

El Problema del Milenio relativo al movimiento de los fluidos posee todas estas características. El problema se refiere a la existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en el espacio euclídeo tridimensional. En los últimos años ha crecido la expectativa a medida que diversos avances en áreas relacionadas, algunos reconocidos con el Premio de Investigación Clay, han alimentado la esperanza de que el problema de Navier-Stokes pudiera resolverse pronto. La creciente capacidad de las nuevas tecnologías para acelerar la investigación matemática ha intensificado aún más esa expectativa.

Hoy, el CMI comparte la emoción de la comunidad matemática mundial ante el anuncio de que el problema de Navier-Stokes aparentemente ha sido resuelto. Esperamos asistir a una nueva ola de comprensión humana impulsada por las innovaciones que sustentan este trabajo, a medida que sean analizadas y estudiadas en profundidad.

El Instituto Clay de Matemáticas está dedicado a promover la belleza, el poder y la universalidad del pensamiento matemático. La custodia y promoción de los Problemas del Milenio constituye una de las formas más importantes en que persigue este objetivo. Las reglas que rigen estos premios describen el proceso mediante el cual se evaluarán los resultados obtenidos y se atribuirá el mérito correspondiente. Este proceso es deliberadamente pausado, pero iremos proporcionando información actualizada.

Instituto Clay de Matemáticas.

Como puede apreciarse, todavía será necesario esperar tanto la validación de los resultados por parte de la comunidad matemática como la eventual atribución del mérito correspondiente.

@MantillaIgnacio

Un ejemplo de ello es la célebre conjetura de Euler, formulada en 1769, según la cual, para todo $n>2$:

«No existen $n-1$ números cuyas potencias $n$-ésimas sumen otra potencia $n$-ésima».

De ser cierta, esta afirmación implicaría, entre otras cosas, que tres números elevados a la cuarta potencia no pueden sumar otro número también elevado a la cuarta potencia. En otras palabras, la ecuación

$a^4 + b^4 + c^4 = d^4$

no tendría soluciones enteras positivas.

Y del mismo modo, tampoco las tendría, por ejemplo, la ecuación

$a_1^7 + a_2^7 + a_3^7 + a_4^7 + a_5^7 + a_6^7 = b^7,$

pues la conjetura sostiene que no existen $n-1$ potencias $n$-ésimas que sumen otra potencia $n$-ésima.

Esta conjetura de Euler parece inspirada en el último teorema de Fermat, que afirma que la ecuación

$x^n + y^n = z^n$

no admite soluciones enteras positivas cuando $n > 2$. La idea de Euler extiende, en cierto sentido, este fenómeno: si dos potencias $n$-ésimas no pueden sumar otra potencia $n$-ésima, quizá tampoco puedan hacerlo $n-1$ de ellas.

Pero, a diferencia del último teorema de Fermat, la conjetura de Euler resultó ser falsa. En 1966, Lander y Parkin hallaron un contraejemplo que derriba por completo su afirmación: un solo caso basta para invalidarla, y este es tan sorprendente como elegante —cuatro quintas potencias que suman exactamente otra quinta potencia:

$27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.$

Es decir, la conjetura es falsa, ya que se ha encontrado un contraejemplo para un cierto valor de $n$, concretamente $n=5$. Este ejemplo contradice directamente la formulación de Euler, según la cual “se requieren al menos $n$ potencias $n$-ésimas para obtener una suma que sea otra potencia $n$-ésima cuando $n > 2$”.

Pero esta conjetura —y el contraejemplo encontrado por Lander y Parkin— tiene un ingrediente adicional que la hace aún más fascinante. El artículo donde se publica el resultado que demuestra que la conjetura de Euler es falsa es considerado el artículo más corto aparecido en una revista matemática de alto prestigio: ocupa un solo párrafo, compuesto por dos frases, y contiene una única referencia bibliográfica.

Esta es la imagen de página de la prestigiosa revista “Bulletin of the American Mathematical Society. 72: 1079, 1966) en la que aparece la publicación:

Pero continuando con la exploración de la conjetura de Euler, podría pensarse que aún sería válida para $n=4$. Sin embargo en 1986, Noam Elkies se encargó de refutarla también para este caso, al descubrir el siguiente contraejemplo mediante un método ideado por él mismo:

$2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4$.

Posteriormente, en 1988, Roger Frye, utilizando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para $n=4$:

$95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.$

Estos sorprendentes contraejemplos revelan la riqueza y la complejidad de las ecuaciones diofánticas. No solo resuelven una conjetura formulada hace más de dos siglos, sino que también muestran la vitalidad de la matemática: una disciplina donde las ideas más brillantes pueden afianzarse o refutarse con un único ejemplo fruto de nuevas ideas, técnicas y herramientas que amplían su desarrollo.

@MantillaIgnacio

Este es precisamente el caso de la conocida Ley de Benford, a la que me referiré a continuación. Aunque lleva el nombre de Benford, fue descubierta varias décadas antes por el matemático y astrónomo canadiense Simon Newcomb (1835‑1909).

La historia es bastante interesante y surgió a partir de una observación que hizo Newcomb. En 1881, mientras consultaba una de esas tablas de logaritmos —los pequeños libros que se usaban antes de la aparición de las reglas de cálculo y, más tarde, de las calculadoras— notó algo curioso: las primeras páginas de la tabla que tenía entre las manos estaban mucho más usadas, sucias y desgastadas que las últimas. ¿A qué se debía aquello?

Tras un análisis cuidadoso, Newcomb concluyó que los dígitos iniciales de los números que empleaba para estudiar las observaciones astronómicas no aparecían con la misma frecuencia. El dígito 1 surgía con mayor frecuencia, seguido del 2, mientras que el 9 era el que menos aparecía al comienzo de los números. Así llegó a la sorprendente conclusión de que la posición de los dígitos iniciales no era equiprobable.

La pregunta que se formuló Newcomb fue sencilla pero profunda: ¿es más probable que un número empiece por el dígito 1 que por otro dígito, como el 7, por ejemplo? En principio, parecería lógico suponer que todos los dígitos tienen la misma probabilidad de ocupar la primera posición en un número elegido al azar. Sin embargo, Newcomb dedujo —sin ofrecer aún una explicación matemática formal— que el dígito inicial no nulo más frecuente es el 1, seguido del 2, luego del 3, y así sucesivamente hasta el 9.

Con base en esta observación, expresó que la probabilidad de que un número tenga como primera cifra no nula un dígito $C$ puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

$P = \log(1 + 1/C)$

Décadas después, en 1938, el físico Frank Benford retomó las observaciones de Newcomb y amplió notablemente su alcance. Reunió más de 20 000 datos provenientes de fuentes muy diversas —longitudes de ríos, constantes físicas, números de artículos periodísticos, direcciones, valores bursátiles— y comprobó que el patrón descrito por Newcomb se mantenía de manera sorprendente en múltiples contextos.

Esta curiosa propiedad se verifica para cualquier lista de números que se obtenga como resultado de datos tomados en forma aleatoria, por ejemplo se ha verificado con estadísticas deportivas, valores de impuestos, constantes y magnitudes físicas, longitudes de ríos y carreteras, poblaciones de países y ciudades, cifras económicas.

A partir de ese estudio sistemático, Benford publicó la propiedad que hoy lleva su nombre: la Ley de Benford, según la cual los dígitos iniciales de muchos conjuntos de datos reales no se distribuyen de forma uniforme, sino que siguen la pauta logarítmica descubierta por Newcomb.

Paradójicamente, y en perfecta sintonía con la Ley de Stigler, el crédito histórico terminó asociado al segundo investigador, no al primero.

Los conjuntos de datos que no se ajustan a la Ley de Benford suelen ser aquellos que provienen de distribuciones uniformes o normales, en los que los dígitos iniciales están determinados por reglas externas. Tal es el caso de los números de loterías, las listas telefónicas, los números de identidad y, en general, cualquier secuencia numérica construida artificialmente o restringida por formatos fijos.

Pero, de manera sorprendente, se han descubierto aplicaciones insospechadas de la Ley de Benford que han motivado una intensa actividad investigativa en las ciencias de la computación, un campo particularmente dinámico en la actualidad y, en especial, en áreas como la criptografía y el análisis algorítmico de datos.

Además, la ley ha encontrado usos muy efectivos en la detección de fraudes, tanto en datos electorales como en auditorías fiscales, donde las desviaciones respecto del patrón de Benford pueden revelar manipulaciones o irregularidades en los registros numéricos.

Uno de los usos más frecuentes consiste en aplicar la ley a través de pruebas repetidas sobre conjuntos de datos similares, con el fin de verificar si su distribución de dígitos iniciales se ajusta al patrón esperado. Cuando la ley no se cumple o aparece una desviación significativa, es razonable sospechar que existe alguna anomalía o que ciertas cifras han sido manipuladas, lo que permite identificar rápidamente los datos que requieren una revisión rigurosa.

Un ejemplo ilustrativo aparece en el ámbito electoral: si en los resultados de unos comicios la distribución de los primeros dígitos se aparta de manera notable de la Ley de Benford, resulta prudente realizar un reconteo de votos o una auditoría detallada para confirmar la validez de los resultados.

Una de las aplicaciones más importantes de la Ley de Benford se encuentra en la detección de fraudes financieros. En 1992 se demostró que los datos contables y tributarios reales se ajustan notablemente bien al patrón de Benford, lo que permite identificar cambios, alteraciones o inconsistencias en declaraciones de impuestos y en las cifras que las empresas reportan periódicamente.

La presencia de dígitos iniciales con frecuencias que violan la Ley de Benford no implica necesariamente la existencia de fraude, pero sí constituye un indicio sólido de que algo no encaja y de que conviene realizar una investigación más detallada. En auditorías modernas, esta desviación funciona como una señal temprana que orienta al revisor hacia los segmentos de datos que requieren especial atención.

En tiempos recientes, la Ley de Benford ha encontrado una aplicación especialmente relevante en el análisis de las cifras asociadas al comportamiento del COVID‑19. Diversos estudios han mostrado que tanto el número de contagios como el de muertes atribuidas a la pandemia siguen una distribución tal que las frecuencias de los dígitos iniciales reportados por distintos países se ajustan de manera sorprendentemente precisa al patrón previsto por esta ley.

En la página web coronavirus.app/map puede consultarse, entre otros ejemplos, el ajuste entre las frecuencias de los casos de contagio y de las muertes reportadas por COVID‑19 en Colombia y las distribuciones esperadas según la Ley de Benford.

Este tipo de análisis resulta útil para evaluar la consistencia estadística de los datos epidemiológicos y para detectar posibles irregularidades en los reportes oficiales. Cuando las cifras se alinean con la distribución de Benford, ello sugiere que reflejan un comportamiento natural del fenómeno; por el contrario, desviaciones significativas pueden señalar errores de registro o incluso manipulación, y constituyen un indicio que amerita una revisión más detallada.

Así, la Ley de Benford se convierte en una herramienta estadística de gran utilidad para analizar la evolución de una epidemia y anticipar comportamientos anómalos en los datos. Su capacidad para detectar desviaciones en las cifras reportadas permite identificar a tiempo inconsistencias que podrían afectar la interpretación del avance del coronavirus en una población. De este modo, el uso adecuado de la ley contribuye tanto a predecir tendencias como a tomar medidas de control oportunas, apoyando la toma de decisiones en contextos donde la calidad y fiabilidad de la información son esenciales.

La historia de la Ley de Benford, desde la observación casual de Newcomb hasta sus aplicaciones contemporáneas en la detección de fraudes y el análisis epidemiológico, revela cómo una simple curiosidad matemática puede transformarse en una herramienta poderosa para comprender la realidad. Más allá de su aparente sencillez, esta ley nos recuerda que los números —cuando se observan con atención— pueden revelar patrones ocultos y advertirnos sobre irregularidades que escapan a la mirada superficial. En última instancia, la Ley de Benford es una prueba de que las matemáticas no solo describen el mundo, sino que también lo protegen.

@MantillaIgnacio

Establecer el objetivo de la educación es el primer punto que habría que abordar en esta importante discusión. Y creo que, como en muchas definiciones, resulta más fácil identificar inicialmente todo lo que no es su objetivo. En este sentido, me parece importante retomar el pensamiento del gran matemático y filósofo británico Bertrand Russell (1872-1970), Premio Nobel de Literatura (1950), quien, en su ensayo Sobre educación, publicado en 1926, compartió ideas y reflexiones que aún mantienen una vigencia indiscutible.

Entre las afirmaciones más relevantes de Russell, me identifico con ese concepto según el cual el proceso educativo no debe convertirse en un instrumento para moldear a los niños y jóvenes ni para someterlos a un adoctrinamiento, privándolos de su independencia y su libertad, e impidiendo el desarrollo de su inteligencia. La misión primera debe limitarse a educar los instintos, de modo que puedan producir un carácter constructivo y no destructivo; pero el objetivo de la educación debe ser formar seres humanos independientes y capaces. Para lograrlo, el proceso educativo debe evitar la influencia de «rebaño» en los jóvenes, y alejarlos de la tendencia a la comodidad que brinda el conformismo.

Desde temprano, al niño debe tratársele como a un adulto en potencia, respetando su personalidad y buscando su independencia. Russell resalta que la curiosidad, la amplitud de criterio, la creencia de que el conocimiento es posible —aunque difícil—, la paciencia, la habilidad, la concentración y la exactitud son los aspectos que la educación debe acentuar.

No obstante, los prejuicios de los padres de familia, de los educadores, de los directivos, de las iglesias y de los gobiernos son tantos que constituyen la principal fuente de los errores que afloran con frecuencia en los planes de estudio, aun cuando no sean intencionados. Y esta influencia alcanza, por supuesto, también a la educación superior. Así, por ejemplo, podría señalarse, como ya lo hizo Russell hace cerca de 100 años, que uno de los defectos más frecuentes de la educación superior moderna es el de intentar convertirla en un puro entrenamiento para adquirir ciertas habilidades, sin preocuparse por ensanchar la mente mediante un examen imparcial del mundo.

Uno de los aspectos más interesantes que abordó Russell fue el siguiente: se ocupó de reflexionar sobre el concepto de utilidad y, especialmente, sobre la importancia de lo que muchos llaman el «conocimiento inútil». A la pregunta de si es cierto que solamente el conocimiento útil es valioso, agregó de inmediato esta otra: ¿es igualmente cierto que el conocimiento valioso siempre es útil? Y, para aclararlo, expone la siguiente ilustración a partir de la obra de Shakespeare: «La comprensión de Hamlet puede no ser de gran utilidad práctica, pero da al hombre un dominio mental del que sería desagradable carecer y, en cierto modo, lo convierte en mejor ejemplar humano. Y este último conocimiento es el que prefiere quien sostiene que la utilidad no es el único fin de la educación. ¡Cuánto placer se obtiene del conocimiento inútil!».

El afán de conocimiento no debería ser utilitario. El conocimiento debe fructificar gracias a la investigación desinteresada, que no tiene más motivo que el deseo de comprender mejor el mundo. Los progresos puramente teóricos y las teorías espléndidas pueden encontrar más adelante una aplicación práctica, pero conservan su valor en sí mismos.

El fundamento de la vida intelectual es la curiosidad, que mantiene viva la actividad de la inteligencia. Decía el prolífico matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) que las matemáticas existen «por el honor del espíritu humano». Y, aunque ese no sea su principal propósito, sí reafirma que el pensamiento creativo aumenta la dignidad del ser humano, y que el placer de la comprensión es, de acuerdo con Russell, el supremo fin por el que ha de valorarse la educación de la mente.

Y, para seguir la tesis de Russell, es indispensable comprender su idea del ocio. En 1932, Russell publicó un breve ensayo titulado Elogio de la ociosidad, en el que hace una interesante defensa del ocio como origen de lo que conocemos por cultura y como interés civilizado por ocuparse de propósitos no utilitarios. Descalifica el exceso de trabajo y afirma que el sabio empleo del tiempo libre es un producto de la civilización y de la educación. Defiende la idea de que, sin una cantidad considerable de tiempo libre, una persona se verá privada de muchas de las mejores cosas de la vida.

Para Russell, si se quiere que la democracia sobreviva, los profesores deberíamos, por encima de todo, tratar de inculcar en los discípulos la tolerancia que surge del intento de comprender a quienes son distintos de nosotros. Se debería animar a los jóvenes a escuchar los argumentos que defienden los diferentes puntos de vista, pero advirtiendo también «el peligro de la tendencia a suponer que la oposición a la autoridad es esencialmente meritoria y que las opiniones no convencionales tienen que ser correctas; no se sirve a ningún propósito útil rompiendo faroles o sosteniendo que Shakespeare no es poeta».

Quiero destacar una reflexión más, que reafirma lo expuesto y que Russell expresa con toda claridad al asegurar que «la disciplina debe ser un hábito y no una obligación». La verdadera disciplina no consiste en obligaciones externas, sino en hábitos que llevan a actividades deseables. «Antiguamente se creía que a los niños no les interesaba aprender, y que solo se decidían a estudiar atemorizándolos. Hoy se ha averiguado que la culpa no era de los niños, sino de los pedagogos».

Estas ideas planteadas por Russell están, como lo dije al comienzo, tan vigentes como hace un siglo, y contribuyen a que las reflexiones sobre la educación —y sobre la manera como la entendemos y la brindamos a nuestros jóvenes y niños— sean el punto de inflexión para la transformación social del futuro.

Cabe entonces preguntarse qué habría dicho Russell sobre el uso de las herramientas modernas y de la inteligencia artificial, hoy elementos ineludibles en la educación. Es probable que no las hubiera visto como una amenaza en sí mismas, sino como él vio siempre al conocimiento: una herramienta cuyo valor depende del uso que se le dé. Si esas tecnologías se convierten en un simple atajo para evitar el esfuerzo de pensar, contradicen todo lo que defendió; pero si, por el contrario, se ponen al servicio de la curiosidad, de la comprensión y de esa independencia de criterio que tanto valoraba, quizás las habría recibido como una nueva y poderosa oportunidad para seguir educando mentes libres. Es posible, incluso, que hubiera valorado también el mayor tiempo libre que estas herramientas pueden ofrecernos, al liberarnos de tareas mecánicas, como una vía adicional hacia ese ocio fecundo que consideraba indispensable para la vida intelectual y la cultura.

Al final, las preguntas de Russell siguen siendo las nuestras: ¿formamos mentes libres o simplemente entrenamos habilidades? En la respuesta que demos —hoy, con inteligencia artificial incluida— se juega buena parte del futuro que queremos construir.

@MantillaIgnacio

Hace algún tiempo me preguntaron para qué sirve un logaritmo. Las respuestas posibles son muchas, pero solo uno de los ejemplos que ofrecí resultó convincente para mi interlocutor. Es justamente esa aplicación —una que la mayoría de las personas desconoce— la que quiero compartir con los lectores, motivada por el fuerte sismo que hemos sentido recientemente en Colombia.

La respuesta a la que me refiero fue, en realidad, otra pregunta: ¿usted sabe cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter que uno de magnitud 3? Mi interlocutor, con toda naturalidad, se animó a afirmar: «pues un poco más de dos veces». No, le dije, y procedí a explicarle por qué la escala de Richter no puede leerse como si fuera un termómetro dividido en grados.

Para entenderlo hay que acudir a los logaritmos, y trataré de explicarlo —como lo hice con mi interlocutor— revisando el origen de la escala de Richter.

Lo primero que debemos saber es que, en sismología, resulta fundamental medir la energía liberada en un movimiento sísmico. Esa magnitud es la que se registra en un sismograma y se expresa mediante una escala como la de Richter, que es logarítmica y asigna un valor que indica la cantidad de energía liberada durante un terremoto.

El nombre de la escala honra al estadounidense Charles F. Richter (1900‑1985), quien la propuso en 1935 con la colaboración del sismólogo alemán Beno Gutenberg. La elección de una escala logarítmica implica reemplazar el valor de una variable por su logaritmo en una base determinada. Recordemos que las bases más usadas para los logaritmos son 2, 10 y e (≈ 2.718 281 828 459 0452…). Cuando se utiliza el número 10 como base, hablamos de logaritmos decimales; y cuando la base es el número de Euler e, hablamos de logaritmos naturales o neperianos, nombre que se debe al escocés John Napier (1550‑1617), quien empleó por primera vez esta herramienta matemática.

En una escala común, como la lineal, usamos dos ejes perpendiculares, X e Y, para representar los valores de dos variables x e y. En una escala logarítmica —de base 10, por ejemplo— reemplazamos el valor del eje Y por su logaritmo en base 10, que se escribe como log₁₀(Y); aunque también podría hacerse lo mismo con el eje X. Algunos lectores, como ocurrió con mi interlocutor, podrían preguntar: «¿y qué se gana con eso?».

Al ser la función logarítmica la inversa de la exponencial, los valores

10⁰, 10¹, 10², 10³, …

aparecerán en el eje Y de la escala logarítmica decimal en el lugar donde irían las marcas

0, 1, 2, 3, …

respectivamente, obteniéndose así una reducción extraordinaria en el rango de los valores representados. Esto resulta muy útil para la visualización cuando los datos abarcan un rango amplio de magnitudes, algo habitual cuando la función que se desea representar crece rápidamente, como ocurre con la función exponencial.

Para medir la magnitud de los terremotos, la escala de Richter utiliza precisamente una escala logarítmica decimal; es decir, cada «unidad» corresponde en realidad a un múltiplo de 10 y se incrementa diez veces en cada intervalo unitario. Esto significa que un terremoto de magnitud 7 registra en el sismógrafo una amplitud diez veces mayor que uno de magnitud 6, y cien veces mayor que uno de magnitud 5. Por lo tanto, la intensidad de un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter no es apenas un poco más del doble que la de un temblor de magnitud 3: es diez mil veces mayor.

Esta variación en la amplitud, que refleja la energía liberada en un terremoto, muestra claramente la necesidad de recurrir a los logaritmos para representarla en una escala.

El terremoto de mayor magnitud hasta ahora registrado en el planeta ocurrió en Valdivia (Chile) en 1960 y tuvo una magnitud de 9.5. Se han registrado otros devastadores como son el terremoto de Prince William Sound (Alaska) en 1964 con magnitud 9.2, el terremoto de Sumatra (Indonesia) de 2004 de magnitud 9.1, el terremoto de 1952 Kamchatka (Rusia) de magnitud 9 y el de Japón en 2011 de magnitud 9.1.

Mucho antes de que existiera la escala de Richter, el terremoto de Lisboa de 1755 —estimado entre 8.5 y 9 de magnitud según análisis modernos— mostró la fuerza descomunal que puede alcanzar un sismo. El movimiento telúrico se prolongó entre seis y siete minutos, tiempo suficiente para arrasar la ciudad, generar un tsunami y provocar incendios que se extendieron durante días. La energía liberada fue tan enorme que transformó por completo la geografía de la región y dejó registros que, siglos después, siguen asombrando a los sismólogos. Su devastación evidenció la importancia de contar con escalas que permitan comparar de manera rigurosa la magnitud de estos fenómenos.

La escala de Richter es abierta, es decir, no tiene un límite máximo y podrían registrarse terremotos de magnitudes superiores a las mencionadas. Como curiosidad, se estima que la extinción de los dinosaurios, hace unos 65 millones de años, fue consecuencia del impacto de un meteorito que liberó una energía descomunal, equivalente a la de un terremoto de magnitud 13.

La comprensión de estas escalas no es un ejercicio académico aislado: nos ayuda a interpretar con rigor los temblores que vivimos hoy. El sismo registrado ayer en Colombia, cuyo valor en la escala despertó numerosas preguntas, cobra un sentido distinto cuando recordamos que cada unidad en la escala de Richter representa un salto exponencial en la energía liberada. Lo que para algunos puede parecer un número más en un reporte sísmico es, en realidad, la medida precisa de un fenómeno natural cuya intensidad solo puede entenderse plenamente cuando reconocemos la naturaleza logarítmica de su magnitud.

@MantillaIgnacio

No obstante, creo que las matemáticas recreativas —sin necesidad de esforzarme en definirlas— surgen cuando se practican con gusto: cuando se acepta un desafío por el simple placer de resolverlo, de encontrar una solución sin perseguir una utilidad inmediata. Aparecen allí donde el problema se aborda con curiosidad y disfrute, más que con obligación.

Pero ese es, justamente, el punto central que debería buscarse en la enseñanza de las matemáticas. A muchos niños las matemáticas les resultan aburridas y difíciles; y lo que es peor, después de años de estudio —años de resolver ecuaciones por obligación y de seguir algoritmos para memorizar métodos de solución— queda flotando una pregunta inevitable: ¿y esto para qué sirve en la vida cotidiana? El problema es que, cuando la enseñanza se reduce al reforzamiento de procedimientos mecánicos, se aprende a repetir pasos, pero no a disfrutar proceso alguno. Se acumulan técnicas, pero no curiosidad. Y así, la pregunta sobre la utilidad termina eclipsando cualquier posibilidad de placer intelectual.

Este cuestionamiento es constante y difícil de rebatir, porque durante décadas se ha respondido apelando a justificaciones sobre la manera tradicional de enseñar matemáticas o recurriendo a reformas curriculares que rara vez transforman la experiencia real del aula. Los planes de estudio, concebidos como leyes que deben cumplirse, sirven de poco si no vienen acompañados de métodos nuevos que permitan superar el dilema de la utilidad de las matemáticas —y del conocimiento en general— en la vida cotidiana. La enseñanza cambia cuando se modifica la forma de aproximarse a los problemas, cuando se reemplaza la repetición mecánica por la exploración, cuando el estudiante descubre que pensar puede ser más interesante que memorizar. Sin esa renovación metodológica, la pregunta «¿para qué sirve esto?» seguirá apareciendo, no porque las matemáticas carezcan de sentido, sino porque nunca se les permitió mostrarlo.

Creo que sólo si logramos que las matemáticas resulten verdaderamente recreativas para los niños —en el sentido mencionado arriba— los profesores dejarán de desgastarse intentando cumplir reformas curriculares que buscan convencer a sus alumnos de que las ecuaciones que aprenden hoy les serán útiles después del colegio. Si el estudiante descubre el placer de resolver un problema por curiosidad, por desafío o por juego intelectual, la necesidad de justificar la utilidad desaparece. La motivación ya no proviene de un futuro hipotético, sino del disfrute inmediato de pensar.

A través de redes como X (antes Twitter) he podido comprobar que esas matemáticas que, a mi modo de ver, son recreativas —porque las encuentro entretenidas y curiosas, aunque no estén vinculadas a grandes resultados ni a aplicaciones trascendentes— logran, en algunas personas que odiaron la materia en el colegio o la universidad, una inesperada reconciliación. Son personas que, después de años de desinterés y desgano, se dejaron tentar por un pequeño desafío asumido como simple entretenimiento, movidas únicamente por la curiosidad. Y esa actitud les ha permitido descubrir un encanto que nunca habían experimentado como estudiantes.

Estoy convencido de que la atracción por el azar, los acertijos y los juegos matemáticos no ha sido aprovechada en beneficio de la enseñanza, pese a que estos recursos son tan abundantes y antiguos como lo demuestra el De viribus quantitatis, escrito por el fraile y matemático italiano Luca Pacioli y publicado hace más de quinientos años, en 1508. Lo confirma también el Problèmes plaisants et délectables, del monje y matemático francés Claude-Gaspard Bachet de Méziriac, publicado en 1624 y considerado el primer libro dedicado íntegramente a la matemática recreativa. Se trata de una colección de problemas —algunos ya presentes en obras anteriores, aunque dispersos— reunidos con la intención explícita de entretener, sorprender y despertar curiosidad.

La matemática recreativa ha tenido otros grandes pioneros. En 1694, Jacques Ozanam publicó sus Récréations mathématiques, reconocido como el primer título que emplea explícitamente la palabra recreación. Más tarde, en 1840, Edward Riddle presentó una edición ampliada de esta obra que alcanzó notable éxito. En 1882, Édouard Lucas publicó el primero de sus libros de juegos matemáticos recreativos; aficionado a la criptografía —un campo hoy de enorme desarrollo—, le debemos, entre otras contribuciones, el célebre problema de las Torres de Hanói. Esta tradición lúdica, tan antigua como la matemática misma, demuestra que el juego y el asombro no son adornos pedagógicos, sino puertas de entrada privilegiadas al pensamiento matemático.

Y cómo no mencionar al gran divulgador estadounidense Martin Gardner (1914–2010), prolífico autor de libros, columnas y artículos sobre magia, azar y juegos matemáticos. Su trabajo alcanzó una popularidad extraordinaria y ha llevado a afirmar que Gardner fue capaz de convertir a miles de niños en matemáticos y a miles de matemáticos en niños. Su capacidad para despertar asombro, para transformar un problema en un juego y un juego en una invitación a pensar, consolidó definitivamente la matemática recreativa como un puente entre la curiosidad y el rigor.

Sin preocuparme por su definición —como lo anoté antes—, estoy convencido de que la matemática recreativa puede devolverle a las matemáticas el encanto necesario para aprenderlas sin dolor.

Al incorporar el juego, la sorpresa y el desafío intelectual, la enseñanza deja de ser una repetición mecánica de fórmulas y se convierte en una exploración creativa. Este enfoque no solo facilita la comprensión, sino que transforma la relación del estudiante con la disciplina: la matemática deja de ser un obstáculo y se convierte en un territorio para descubrir, imaginar y disfrutar.

A mi modo de ver, ese es el condimento que transformaría el plato: el toque que permitiría que las matemáticas se sirvan bien y se disfruten desde la infancia. Es, por decirlo de algún modo, el ají de una empanada: el picante justo que despierta el apetito y convierte algo común en una experiencia memorable.

@MantillaIgnacio

Pero hay una expresión menos conocida, usada principalmente en Bogotá, cuyo origen resulta especialmente interesante, pues su difusión se popularizó a raíz de un acontecimiento provocado por un fenómeno natural. En efecto, la expresión «eso es de los tiempos del ruido», que los capitalinos emplean con el mismo propósito mencionado antes, se ha transmitido de generación en generación y se ha incorporado al lenguaje popular tras un suceso ocurrido el 9 de marzo de 1687, a las diez de la noche, en la apacible villa de Santafé de Bogotá.

Aunque la tradición oral bogotana seguramente ha añadido con el tiempo algunas leyendas alrededor de lo ocurrido, el hecho fue registrado por el sacerdote jesuita Pedro de Mercado en 1691 y difundido posteriormente por los también jesuitas y cronistas Juan Ribero (1728) y Joseph Cassani (1741). Trataré de resumir aquí esa interesante narración.

Dicen los sacerdotes jesuitas que era un día domingo en el que, a esa hora de la noche, no había ni siquiera una nube y el cielo ofrecía un espectáculo maravilloso con todas sus estrellas. En medio del descanso y la tranquilidad reinantes, de repente se escuchó en la ciudad de Santafé —y en las poblaciones circunvecinas, por muchas leguas a la redonda— un estruendo tan horrible y aterrador que los habitantes de la villa colonial entraron en pánico y huyeron de sus casas, todavía con sus ropas de dormir, por las calles destapadas. La mayoría se refugió en los claustros religiosos, donde permanecieron varios días orando y ayunando, temiendo la llegada de una legión de demonios.

El ruido se escuchó durante quince minutos, aunque otros aseguran que duró media hora. Se sintieron tres explosiones. Los cronistas relatan: «No hubo persona que no se espantase, y que no lo oyese: al primer golpe dudaron, todos al segundo temieron: al tercero se aterraron, y con la perseverancia salieron de sí, y aún de sus casas, y aún de la ciudad. Lo más singular fue, que todo el tiempo que duró este rumor, se esparció por el aire un pestilencial hedor de azufre, que ofendía al sentido…».

El ensordecedor ruido terminó aquella misma noche y nunca volvió a presentarse, mientras que el olor a azufre permaneció durante algunos días más sobre la sabana de Bogotá. El acontecimiento fue comparado por los cronistas jesuitas con el día del juicio final descrito en la Biblia. Dicen que «no es fácil referirse a la confusión y el susto de esa noche de pánico, en la que todas las personas salieron de sus casas por temor a su colapso. Algunos medio vestidos, otros completamente desnudos porque ya estaban en la cama, y todos clamando misericordia, corrían sin dirección a través de las calles oscuras. Los habitantes clamaban al cielo, con el temor genuino de estar sufriendo un castigo de Dios».

Esa noche, añaden los cronistas, reinó la confusión y el miedo. «Los lugares santos estaban llenos de habitantes aturdidos que querían confesar sus pecados. Las confesiones duraron más de ocho días: se reconstruyeron los matrimonios, se saldaron las deudas y se resolvieron conflictos… En las creencias populares se asociaba el olor a azufre con la presencia de demonios y con el olor del infierno».

También Gabo, en El otoño del patriarca, hace mención al suceso de este misterioso ruido. Este ejemplo —no el único— de creencias apocalípticas empleadas para explicar hechos desconocidos fue estudiado hace algunos años por mi colega Gregorio Portilla, profesor del Observatorio Astronómico Nacional, en un artículo publicado junto con Fredy Moreno en la Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, vol. 30, núm. 116 (2006), bajo el título «Hipótesis astronómica al misterioso “ruido” escuchado en Santafé de Bogotá el domingo 9 de marzo de 1687».

Aclara el profesor Portilla que «este fenómeno generó tan profunda impresión en los testigos del evento que modificó notablemente las costumbres de los habitantes. Creó la efemérides, vigente por muchos años, de descubrir en las iglesias cada 9 de marzo el Santo Sacramento… Por ausencia de registro se deduce que no causó movimiento sísmico, incendio, inundación, deslizamiento de tierra, tormenta, ni produjo heridos ni muertos».

Y pasa entonces a ofrecer su explicación desde la astronomía, indicando que el causante del ruido fue un meteoroide —un pequeño asteroide— que, al ingresar a la atmósfera, genera intensas ondas de choque. La desintegración final pudo haber producido sucesivos estruendos de gran intensidad, pues hoy se sabe que objetos de entre 1 y 10 metros de diámetro causan efectos muy semejantes a los descritos en el relato. La entrada de estos cuerpos extraterrestres suele venir acompañada de fuertes detonaciones, fenómenos luminosos, lluvia de pequeñas rocas y olores penetrantes de tipo azufrado.

La hipótesis planteada por el profesor Portilla no elimina todas las dudas y, en efecto, admite una discusión interesante. Como él mismo señala, nadie reportó haber visto el fenómeno luminoso que suele acompañar la entrada de estos cuerpos, ni se encontraron meteoritos en el suelo. No obstante, el propio Portilla recuerda que, en el 85 % de los casos, se escuchan explosiones, mientras que solo en el 55 % de las caídas de meteoritos se observa el fenómeno luminoso. Además, abundan los casos en los que los meteoroides se consumen por completo en la atmósfera sin que fragmentos lleguen al suelo.

Cuando usemos la expresión «de los tiempos del ruido» para referirnos a algo muy antiguo, pasado de moda o irrepetible, conviene recordar que su origen está ligado a un fenómeno natural que, según la ciencia, tiene una alta probabilidad de repetirse. En otras palabras, aquello que los bogotanos evocan como un suceso remoto y casi mítico no pertenece únicamente al pasado: los meteoroides que generan estruendos semejantes siguen entrando en la atmósfera con relativa frecuencia. Así, cada vez que pronunciemos la expresión, sabremos que ese «ruido» podría, en cualquier momento, volver a escucharse en nuestros propios tiempos.

@MantillaIgnacio

Enseñanza tradicional en 1960

Un campesino vende una carga de café por 500 pesos. La carga equivale a 10 arrobas (125 kilos) y, en el exterior, la arroba se paga a 4 dólares. ¿Cuánto gana el intermediario si el tipo de cambio es de 20 pesos por dólar?

Enseñanza estructurada en 1965

Un campesino vende una carga de café por 750 pesos. La carga equivale a 10 arrobas (125 kilos). Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuánto cuesta producir una arroba?

Enseñanza motivadora en 1970

Un campesino vende una carga de café por 1000 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuánto ganaría el campesino si vende dos cargas?

Enseñanza clara en 1975

Un campesino vende una carga de café por 2500 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta. ¿Cuál es su ganancia?

Enseñanza reflexiva en 1980

Un campesino vende una carga de café por 5000 pesos. Sus gastos de producción corresponden a cuatro quintas partes del precio de venta, es decir, 4000 pesos. ¿Cuál es su ganancia?

Enseñanza significativa en 1985

Un agricultor comercializa una carga de café. Sus gastos de producción ascienden a 5000 pesos y su ganancia es de 1000 pesos ¿en cuánto comercializó el café?

Enseñanza organizada en 1990

Un agricultor comercializa una carga de café. La carga tiene 10 arrobas, que equivalen a 125 kilos. ¿Cuántos kilos tiene una arroba?

Enseñanza innovadora en 1995

Ahora los profesores de matemáticas se ven obligados a reforzar la teoría de conjuntos.

Un agricultor intercambia un conjunto C de arrobas de café, cuyo cardinal es 10, por un conjunto P de miles de pesos. ¿Cuál es el cardinal de P si el agricultor recibe 10 miles de pesos?

Enseñanza sistemática en 2000

Un agricultor intercambia un conjunto C, que contiene 10 arrobas de café, por un conjunto P, que contiene 10 paquetes de billetes. Dibuja cada conjunto utilizando puntos negros para las arrobas y puntos rojos para los paquetes de billetes.

Enseñanza metódica en 2005

Las matemáticas deben dejar enseñanzas de conteo.

Un agricultor comercializa cargas de café. Cada carga tiene 10 arrobas. Subraya las palabras cargas y arroba. ¿Cuántas letras iguales contienen?

Enseñanza didáctica en 2010

Un agricultor comercializa cargas de café. Cada carga tiene 10 arrobas. Escribe en forma vertical las palabras cargas y arroba y dibuja flechas que unan las letras iguales.

Enseñanza conceptual en 2015

Un agricultor comercializa su café. Escribe la palabra a‑g‑r‑i‑c‑u‑l‑t‑o‑r. ¿Cuántas letras tiene?

Enseñanza dirigida en 2020

Las matemáticas deben trascender al estudiante mediante proyectos de aprendizaje en todas las áreas.
Actividades de investigación interdisciplinaria a partir de la afirmación:

“Existe un agricultor que comercializa café”.

Matemáticas: Escribe la palabra agricultor tres veces seguidas y usa la calculadora para contar cuántas letras hay. 

Economía: ¿Dónde se puede comprar café? 

Lenguaje: ¿Por qué la palabra café lleva tilde? 

Ciencias: ¿El café es un vegetal o un mineral? Justifica tu respuesta.

Geografía: ¿Dónde se cultiva café? No se permite el uso de Google.

Derecho: ¿Es lícito cultivar café? 

Tecnología: ¿Cómo suena una cafetera cuando prepara el café? 

Sociología: ¿Qué papel juega el café en la vida social? ¿Es bebida, ritual, excusa para conversar, o simplemente un estimulante emocional?

Medicina: ¿Altera los nervios el café?

Química: ¿Por qué cambia de color el café si se le agrega leche?

Estadística: Si dos personas toman cuatro tazas de café al día, ¿cuántas tazas en promedio toma cada una?

Geometría: Dibuja una taza de café en forma cilíndrica

Ingeniería: Ponle una orejita al dibujo anterior

Psicología: Refuerzo para la toma de decisiones con personalidad: escribe lacalificación que debemos darte eligiendo un número entre 30 y 50: _ _. Recuerda que 50 > 30, esto significa que 50 es mayor que 30, o sea el número más grande es 50. Y para aprobar necesitas una calificación mayor que 30. Si te equivocaste por esta confusión puedes tachar y cambiar poniendo ahora la calificación que mereces.

Enseñanza analítica en 2026

Y llegamos a la actualidad en la que hay que combinar la lectura crítica y evitar el uso indebido de la IA.

Lectura crítica: el hacendado propietario de una finca cafetera es un latifundista, explotador e intermediario de las multinacionales; un individuo al servicio del capitalismo para enriquecerse comercializando café. Mientras tanto, el campesino trabaja de sol a sol y cultiva café. Mientras el campesino sí sabe qué es madrugar (su despertador es el gallo) y sí distingue entre una cereza madura y una que todavía está verde; el hacendado solo distingue entre “ganancia bruta” y “ganancia neta”, pero confunde la mata de café con un bonsái decorativo.

En las reuniones, el hacendado proclama solemnemente:

—“Sin mi gestión, este café no llegaría al mercado”.

Y el campesino piensa:

—“Sin mi trabajo, este café no llegaría ni a la mata”.

Responde las siguientes preguntas, pero antes:

1. Demuestra que eres un humano.
2. Responde y califica tus respuestas después de jurar que no has usado IA para contestar a los siguientes interrogantes planteados.

¿Dónde viven los gallos?

¿Madrugan todos los gallos?

¿Distinguen los gallos las cerezas maduras?

¿La mata de café es como un bonsái decorativo?

¿El campesino y el hacendado toman café cuando canta el gallo?

@MantillaIgnacio

El salto conceptual más notable llega con los números imaginarios y, en general, con los complejos, que amplían el ámbito de las soluciones posibles y permiten abordar problemas más generales. Cada nuevo conjunto numérico no reemplaza a los anteriores: los contiene y los extiende.

Y dentro de todos esos conjuntos existen algunos subconjuntos que despiertan especial interés, como es el caso de los números primos, y otros menos famosos, como el de los trascendentes, pero también los hay bastante curiosos y menos conocidos. De uno de estos últimos justamente les quiero hablar en esta nota. Se trata de los Conjuntos de Sidon, que son los conjuntos de números enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas. 

Por ejemplo, el conjunto

$\{1, 3, 5, 11, 15, 22\}$

no es un conjunto de Sidon, pues aparecen sumas repetidas de dos elementos del conjunto:

$1 + 15 = 5 + 11.$

En cambio, el conjunto

$\{1, 2, 4, 8, 13, 21\}$

sí es un conjunto de Sidon, porque todas las sumas de dos de sus elementos son distintas entre sí. Estos conjuntos recibieron su nombre en honor al matemático húngaro Simon Sidon, quien introdujo este concepto en el contexto de sus investigaciones sobre las series de Fourier.

En 1932, Sidon planteó a uno de sus alumnos —quien más tarde se convertiría en el destacado matemático Paul Erdős— el siguiente problema:

¿Cuál es el mayor tamaño posible de un conjunto de números enteros positivos, todos ellos menores que un número dado, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto sean distintas entre sí?

Este problema aritmético, con un marcado sabor combinatorio, cautivó al joven Erdős y se convirtió desde entonces en uno de sus temas recurrentes de investigación. Construir conjuntos de Sidon no es difícil; lo verdaderamente interesante es hacerlo, tal como plantea el problema, con el mayor número posible de elementos.

Si intentamos, por ejemplo, seleccionar la mayor cantidad de enteros positivos entre los 35 primeros de manera que todas las sumas de dos de ellos sean distintas, no tendremos dificultad en elegir unos pocos, pero las restricciones se vuelven cada vez más severas a medida que añadimos nuevos elementos. Para este caso —los 35 primeros enteros positivos— puede demostrarse que el conjunto

$\{1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35\}$,

de solo ocho elementos, es un conjunto de Sidon de tamaño máximo.

Existe una cota muy fácil de recordar para el tamaño máximo de los conjuntos de Sidon cuyos elementos son menores que un número $n$. Es decir, para estimar cuántos enteros positivos pueden elegirse entre los primeros $n$ de modo que todas las sumas de dos de ellos sean distintas. Aunque su demostración escapa al alcance de esta nota, la cota puede expresarse de manera muy compacta como:

$|A| \leq \sqrt{2n} + 1$.

Una cota más refinada se obtiene mediante

$|A| \leq \sqrt{n} + \sqrt[4]{n} + 1,$

que ajusta mejor el crecimiento real del tamaño máximo de estos conjuntos.

Desde la aparición de estos conjuntos surgió de inmediato la pregunta por su posible generalización: qué ocurre si se permite que haya dos sumas iguales, o incluso tres. Este problema, que permaneció abierto durante casi ochenta años, fue resuelto en 2010 por tres matemáticos: los españoles Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa, y el húngaro Imre Ruzsa.

Recientemente se han encontrado aplicaciones de los conjuntos de Sidon en las telecomunicaciones, en particular en el diseño de radares, sonares y detectores de señales que pueden identificarse mediante cambios de frecuencia. 

Los conjuntos de Sidon son un buen ejemplo de cómo ciertos conceptos matemáticos, surgidos de preguntas puramente teóricas, pueden desarrollarse hasta generar trabajos profundos y, al mismo tiempo, aplicaciones insospechadas.

@MantillaIgnacio