La elección de esta fecha como Día Internacional de las Matemáticas obedece a que, en muchos países, el 14 de marzo ya se celebraba como el Día π, escrito en el formato MM/DD con los números 3/14. En 2009, el Congreso de los Estados Unidos aprobó una resolución que declaró oficialmente el 14 de marzo como Día del Número π. El origen de esta conmemoración está, por tanto, ligado a la constante π = 3,1415926…; y, de manera significativa, coincide también con la fecha de nacimiento de Albert Einstein en 1879 y con la del fallecimiento de Stephen Hawking en 2018.

La expedición de resoluciones oficiales que declaran el Día Internacional de las Matemáticas y el Día π en la misma fecha trae a mi memoria una anécdota que deseo compartir: la sorprendente historia de un proyecto de ley que se hizo célebre por lo absurdo de su contenido, pues pretendía imponer una caprichosa aproximación de π. Este insólito proyecto estuvo a punto de ser aprobado en el Estado de Indiana (EE. UU.) a finales del siglo XIX.

En efecto, la historia comienza cuando el médico y matemático aficionado Edwin J. Goodwin propuso a Taylor I. Record, representante del condado de Posey en la Asamblea General de Indiana, presentar un proyecto de ley basado en lo que él denominaba “una nueva verdad matemática”. Esta supuesta contribución a la educación se ofrecía al Estado de Indiana para su uso gratuito, sin necesidad de pagar derechos de autor, siempre que fuese aceptada y adoptada oficialmente por la legislatura de 1897.

Dicho proyecto contenía una solución —naturalmente incorrecta— al problema de la cuadratura del círculo, cuya imposibilidad había sido demostrada en 1882 por el matemático alemán Ferdinand von Lindemann. Sin embargo, Edwin J. Goodwin logró convencer al representante de que había encontrado un método válido para cuadrar el círculo y que lo había demostrado. En su propuesta, el cociente entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro se expresaba como 

$4 \div \frac{5}{4}$, 

de modo que el valor de $\pi$ resultaba igual a 

$\frac{16}{5} = 3,2$.

Taylor I. Record presentó el proyecto, registrado con el número 246, y este fue aprobado de manera unánime por la Cámara de Representantes de la Asamblea General de Indiana: 67 votos a favor y ninguno en contra. El siguiente paso consistía en remitirlo al Senado estatal para su probable aprobación, dado el respaldo obtenido en la cámara baja, con lo cual se convertiría en ley. Una ley que, insólitamente, habría obligado a fijar el valor de $\pi$ con una sola cifra decimal.

“Si vivo diez años más, ojo con Goodwin. Mi descubrimiento revolucionará las matemáticas. Todos los astrónomos estaban equivocados”, declaró el propio médico Edwin J. Goodwin en una entrevista concedida al diario local Sun el mismo día en que el proyecto sería discutido en el Senado de Indiana.

Por fortuna, apareció casi de manera providencial el matemático Clarence Abiathar Waldo, quien había acudido a la sesión del Senado para gestionar el presupuesto anual de la Universidad de Purdue y de la Academia de Ciencias de Indiana. Al enterarse de que también se debatía un proyecto de ley relacionado con las matemáticas, decidió permanecer en la sala y escuchar atentamente.

Waldo, escandalizado, se negó a dialogar con el autor, afirmando que ya había conocido suficientes locos en su vida. Esa misma tarde explicó a los senadores el contenido del proyecto 246 y les hizo ver la barbaridad que supondría aprobar por ley la aproximación de $\pi$ como 3,2. Su intervención resultó decisiva: logró convencer a un número suficiente de legisladores para que desistieran, y el proyecto quedó pospuesto indefinidamente.

Goodwin no vivió diez años más: el 22 de junio de 1902 falleció a los 77 años. El diario local New Harmony News publicó entonces un obituario titulado “Fin de un hombre que quería beneficiar al mundo”.

Esta insólita anécdota revela cómo la irracionalidad de algunos parlamentarios puede llegar a convertir en “racional” al más constante de los irracionales.

@MantillaIgnacio

Contar bien es esencial. Y, aunque muchos lo consideran una tarea simple, en realidad el acto de contar encierra más sutilezas de las que parece. En realidad, existen numerosos problemas que requieren reflexión antes de responder apresuradamente. Un ejemplo clásico es el siguiente: si en una reunión diez personas se saludan estrechándose la mano, ¿cuántos apretones se realizan en total?

En este caso, para llegar a la respuesta correcta conviene razonar paso a paso. La primera persona estrecha la mano con las otras nueve; la segunda lo hace con ocho, pues el saludo con la primera ya fue contado; la tercera con siete, dado que los dos anteriores ya se registraron; y así sucesivamente: seis para la cuarta, cinco para la quinta, cuatro para la sexta, tres para la séptima, dos para la octava y uno para la novena. Los saludos de la décima persona ya quedaron incluidos en los anteriores.

En total:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45

Por tanto, se realizan 45 apretones de mano.

Después de esta breve introducción, pasemos al tema del Mundial de Fútbol 2026, que está a punto de comenzar. El propósito ahora es determinar cuántos partidos se disputarán en el torneo. Antes de hacerlo, conviene recordar que en el último Mundial, celebrado en Catar en 2022, participaron 32 equipos; en cambio, esta vez serán 48 selecciones las que competirán.

En el Mundial pasado se conformaron 8 grupos de 4 equipos cada uno.

Cada grupo disputó un torneo de todos contra todos, y avanzaron a la siguiente ronda 16 equipos, es decir, los dos mejores de cada grupo. Estos equipos se organizaron en 8 parejas y, a partir de allí, el campeonato continuó bajo el formato de eliminación directa: el equipo que perdía quedaba eliminado.

En la ronda inicial, cada grupo de cuatro equipos disputó un torneo de todos contra todos. Siguiendo el razonamiento del ejemplo de los saludos, esto equivale a

3 + 2 + 1 = 6

partidos por grupo. En consecuencia, en la fase de grupos se jugaron:

6 x 8 = 48

partidos.

Posteriormente, para que quedara un único campeón, fue necesario eliminar a 15 de los 16 equipos clasificados, lo que implicó 15 partidos de eliminación directa. El desglose es el siguiente:

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, la fase de eliminación directa sumó:

8 + 4 + 2 + 1 = 15

partidos.

Además, suele disputarse el partido por el tercer puesto: 1 partido.

De este modo, el Mundial de Catar 2022 registró:

48 + 15 + 1 = 64

partidos disputados.

Se observa que $64 = 2^6$; es decir, en un torneo con $2^5 = 32$ equipos se disputan $2^{5+1}$ partidos. Surge entonces la pregunta de si puede generalizarse la fórmula 

$2^{n+1}$

para un torneo con $2^n$ equipos. 

Veamos: 

Si fuesen $2^n$ equipos, entonces se formarían $2^{\,n-2}$ grupos de 4, cada uno con 6 partidos. El total de la fase inicial sería:

$2^{\,n-2} \cdot 6 = 3 \cdot 2^{\,n-1}.$

En la fase de eliminación directa, de los $2^n$ equipos iniciales debe surgir un campeón. Como ya se ha eliminado a la mitad de ellos, esto implica disputar el siguiente número de partidos:

$\frac{2^n}{2} – 1 = 2^{\,n-1} – 1$.

Por lo tanto, el número total de partidos sería:

$3 \cdot 2^{\,n-1} + (2^{\,n-1} – 1) = 4 \cdot 2^{\,n-1} – 1 = 2^{\,n+1} – 1.$

Si además se incluye el partido por el tercer lugar, el total asciende a:

$2^{\,n+1}$

partidos. Por lo tanto, en los torneos con $2^n$ equipos se disputan en total $2^{\,n+1}$ partidos.

Pero el Campeonato Mundial de 2026, que se disputará en México, Estados Unidos y Canadá, contará con 48 equipos, un número que no responde a la forma $2^n$, lo que modifica la fórmula anterior. En efecto, el Consejo de la FIFA aprobó un formato consistente en una fase inicial de 12 grupos de cuatro equipos, de los cuales clasificarán el primero y el segundo de cada grupo. A ellos se sumarán los ocho mejores terceros para completar la etapa de dieciseisavos de final (ronda de 32 equipos). De este modo, el equipo que se consagre campeón deberá disputar ocho partidos, en lugar de siete como ocurría en las últimas ediciones.

Veamos cuántos partidos se disputarán en total.

En la fase inicial, cada grupo de cuatro equipos jugará un torneo de todos contra todos. Siguiendo el mismo razonamiento, se disputarán 6 partidos por grupo, lo que da un total de:

6 x 12 = 72

partidos en la primera fase.

En la etapa posterior a la fase de grupos, clasificarán 32 equipos: los dos primeros de cada grupo más los ocho mejores terceros. Con ellos se inicia la fase de eliminación directa —la llamada ronda de 32—, que en conjunto comprende 32 partidos, incluyendo el encuentro por el tercer puesto. El desglose es el siguiente:

Dieciseisavos de final (32 equipos): 16 partidos

Octavos de final (16 equipos): 8 partidos

Cuartos de final (8 equipos): 4 partidos

Semifinales (4 equipos): 2 partidos

Final (2 equipos): 1 partido

En total, esta fase suma 31 partidos, que al añadir el partido por el tercer lugar ascienden a 32.

El resultado global es entonces:

Fase de grupos: 72 partidos

Eliminación directa y tercer puesto: 32 partidos

Total: 72 + 32 = 104 partidos

De este modo, el Mundial 2026 será el primero en la historia con más de 100 partidos disputados.

Si observamos que $48 = 32 + 16 = 2^5 + 2^4$, podemos deducir una fórmula general para un torneo con

$2^n + 2^{\,n-1}$

equipos.

Siguiendo el mismo razonamiento que antes, el número total de partidos se obtiene de la suma de dos componentes:

Fase de grupos: cada grupo está formado por 4 equipos, y en un torneo de todos contra todos se disputan 6 partidos, como ya hemos visto. El número de grupos es:

$\frac{2^n + 2^{n-1}}{4} = \frac{2^n + 2^{n-1}}{2^2} = 2^{-2}(2^n + 2^{n-1}) = 2^{n-2} + 2^{n-3} = (2 + 1) \cdot 2^{n-3} = 3 \cdot 2^{n-3}$.

Por lo tanto, el total de partidos en la fase de grupos es:

$6 \cdot \left(3 \cdot 2^{\,n-3}\right) = 18 \cdot 2^{\,n-3} = 9 \cdot 2^{\,n-2}$.

Eliminación directa más partido por el tercer puesto: en esta fase participan $2^n$ equipos que corresponden a los dos mejores de cada grupo, o sea $3 \cdot 2^{\,n-2}$ y los $2^{n-2}$ mejores terceros. Con este número de equipos, la fase de eliminación directa requiere $2^n – 1$ partidos para determinar al campeón; al añadir el encuentro por el tercer puesto, el total asciende exactamente a $2^n$ partidos.

En consecuencia, el total de partidos es:

$9 \cdot 2^{\,n-2} + 2^n = 2^{\,n-2}(9 + 4) = 13 \cdot 2^{\,n-2}.$

Para el Campeonato Mundial de 2026, con $n=5$, se comprueba que el total de partidos asciende a 104.

Como puede advertirse, las matemáticas están presentes en todos los ámbitos; también se harán visibles en múltiples aspectos relacionados con el fútbol y con el torneo mundial que comenzará el próximo 11 de junio. Y si decides participar en una polla, antes de apostar recurre a la probabilidad y a la estadística como tus mejores consejeras.

@MantillaIgnacio

En 1624, el libro de Bachet de Méziriac fue reeditado y ampliado por el propio autor. El éxito de esta publicación fue tal que continuó reeditándose hasta 1959, y los problemas que aparecieron en la edición original han sido reproducidos por muchos autores en libros de matemática recreativa publicados posteriormente.

Uno de los problemas más populares que incluyó Bachet de Méziriac —y uno de mis favoritos— es el clásico conocido como el “problema de las pesas”, que ha dado origen a numerosas variantes de acertijos con pesas y balanzas, muy frecuentes en la matemática recreativa.

El problema es el siguiente: un mercader que utiliza una balanza de dos platos tiene una pesa de 40 libras que se le cae y, al chocar con el suelo, se rompe en cuatro pedazos. El mercader pesa esos trozos y se tranquiliza al notar que el peso de cada uno es un número entero y que, combinados, puede obtener cualquier peso entero entre 1 y 40 libras. ¿Cuáles son los pesos de esos pedazos?

Este bello problema tiene un origen muy lejano en el tiempo y, aunque su inclusión en el libro de Bachet de Méziriac lo difundió ampliamente, su primera aparición ocurrió hace más de 800 años, en el Liber Abaci [Libro del ábaco] de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, obra publicada en el año 1202.

Para resolver el problema de las pesas, es necesario entender que, si se tiene una pesa de 7 libras y otra de 5, se pueden pesar, por ejemplo, 2 libras de tomates colocando una pesa en cada plato y agregando tomates en el plato que tiene la de 5 libras, hasta lograr el equilibrio de la balanza. Matemáticamente, lo que estamos haciendo es simplemente una resta:

7 libras – 5 libras = 2 libras,

que es equivalente a añadir 2 libras al plato que contiene la pesa de 5 libras.

Retomando el problema, tenemos un reto: con cuatro pesas aún no determinadas, combinadas de manera adecuada, debemos ser capaces de pesar cualquier cantidad entera entre 1 y 40 libras.

El razonamiento sugerido por Bachet de Méziriac hace 400 años consistía en comenzar con dos pesas únicamente, para luego pasar a tres y finalmente incluir la cuarta.

Siguiendo con el ejemplo de los tomates, es evidente que con dos pesas de 1 y 3 libras podemos pesar entre 1 y 4 libras de tomates de la siguiente manera:

1 libra de tomates se obtiene de manera trivial colocando la pesa de 1 libra en un plato y los tomates en el otro, hasta que la balanza quede equilibrada; lo indicaremos así:

(1P ≡ 1T).

2 libras de tomates: (3P ≡ 1P + 2T).

3 libras de tomates: (3P ≡ 3T).

4 libras de tomates: (1P + 3P ≡ 4T).

Con esas dos pesas no se puede pesar ninguna otra cantidad de libras de tomates; y si tuviéramos pesas de 2 y 3 libras, podríamos pesar 1, 2, 3 y 5 libras, pero no 4. Por ello escogemos las pesas de 1 y 3 libras y buscamos la tercera pesa, teniendo en cuenta que debemos encontrar una cuyo peso, al restarse del máximo alcanzado hasta ahora —4 libras—, produzca el siguiente peso necesario, es decir, 5 libras. De este modo se obtienen todas las cantidades entre 5 y el peso de dicha pesa.

La pesa buscada debe ser de 9 libras, porque la diferencia 9 − 5 es justamente el peso máximo logrado anteriormente, 4. Tenemos entonces las siguientes estrategias para obtener los pesos de los tomates: 5 libras de tomates: 

(9P ≡ 1P + 3P + 5T),

y continuamos así:

para 6: (9P ≡ 3P + 6T),

para 7: (9P + 1P ≡ 3P + 7T),

para 8: (9P ≡ 1P + 8T),

para 9: (9P ≡ 9T).

Pero además se pueden conseguir todos los pesos entre 9 y 9 + 4 = 13; en efecto:

(9P + 1P ≡ 10T), (9P + 3P ≡ 1P + 11T), (9P + 3P ≡ 12T), (9P + 3P + 1P ≡ 13T).

Hasta aquí hemos visto que, con tres pesas de 1, 3 y 9 libras, es posible medir cantidades entre 1 y 13 libras. Como la pesa que se rompió era de 40 libras, el último pedazo debe pesar

40 − (1 + 3 + 9) = 40 − 13 = 27 libras.

Obsérvese que también podemos deducir este peso a partir del razonamiento siguiente: la pesa debe elegirse de tal forma que la diferencia entre su peso $X$ y el máximo peso conseguido hasta ahora —es decir, 13— sea el siguiente peso requerido, que es 14. Como $X-13=14$, entonces $X=27$. Por lo tanto, la cuarta pesa debe ser de 27 libras, y se deduce trivialmente que con ella se puede pesar hasta 27 + 13 = 40 libras.

A manera de ejemplo, si queremos pesar 20 libras de tomates, equilibramos los dos platos de la balanza de la siguiente forma:

(27P + 3P ≡ 9P + 1P + 20T).    

La respuesta al problema de las pesas es entonces la siguiente: los cuatro pedazos de la pesa de 40 libras pesan 1, 3, 9 y 27 libras.

Ahora bien, al observar que esos valores coinciden con las potencias 0, 1, 2 y 3 del número 3, resulta inevitable sentir la tentación de generalizar el problema. Esta tarea escapa al alcance de este artículo, pero algunos lectores podrán realizarla y comprobar que una quinta pesa debería pesar 81 libras, y que con ella se podrán pesar todas las cantidades hasta

40 + 81 = 121 libras.

Problemas sencillos, divertidos y clásicos como este son la base de muchos otros que pasan a engrosar el mundo de las matemáticas recreativas y dan origen a muchos más.

El resultado por el que Arrow es más conocido se denomina teorema de imposibilidad de Arrow, enmarcado en un campo de investigación situado entre las matemáticas y la economía: la teoría de la elección social, desarrollada a partir de su libro de 1951 Social Choice and Individual Values.

El teorema de imposibilidad de Arrow aborda el problema de elegir una opción dentro de un conjunto de alternativas mediante métodos basados en las preferencias individuales, que se transforman en una única preferencia colectiva. Un ejemplo típico es la elección de un representante de una comunidad cuando existen tres o más candidatos.

El significado fundamental del resultado de Arrow es que, sean cuales sean los detalles precisos del mecanismo de selección, resulta imposible que el procedimiento satisfaga simultáneamente ciertas condiciones que, consideradas de manera aislada, parecen naturales e irrenunciables. Esto implica que no existe sistema de elección capaz de evitar, en algún caso, resultados abiertamente contrarios a los fines que el propio diseño del mecanismo pretendía alcanzar.

Estas consecuencias pueden aparecer en determinadas situaciones, y aunque podamos evitarlas mediante una modificación del sistema de selección, al desaparecer las que se pretendía eliminar, inevitablemente surgen otras consecuencias indeseables.

Ante la pregunta de si es posible encontrar un sistema óptimo para establecer la preferencia colectiva —donde cada individuo debe poder ordenar, según su criterio, las opciones de su preferencia—, el teorema de Arrow ofrece una respuesta categórica: no existe sistema alguno capaz de satisfacer simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Universalidad: el sistema produce siempre un resultado para la preferencia colectiva, sean cuales sean las preferencias individuales.
   
2. Unanimidad (eficiencia de pareto): Si para todos los electores A es preferible a B, entonces la elección no puede recaer en B.
   
3. Independencia de alternativas irrelevantes: el resultado no debe depender de las preferencias de los electores por alternativas que ya no están en juego. Si se elimina una opción, el orden de las demás, no excluidas, debe mantenerse.
   
4. Ausencia de dictadores: el sistema garantiza que no exista ningún elector —denominado en este contexto “dictador”— cuyas preferencias coincidan siempre con el resultado, independientemente de las preferencias de los demás.

Originalmente, el enunciado del teorema de Arrow afirma lo siguiente:

“Todo sistema de establecimiento de preferencias colectivas que satisfaga las propiedades 1, 2 y 3 anteriores necesariamente tiene un dictador.”

Esto significa que las condiciones 1, 2 y 3 constituyen requerimientos mínimos de democracia.

Naturalmente, el teorema de imposibilidad de Arrow conduce a paradojas. Consideremos el siguiente ejemplo: los votantes, integrantes de un congreso compuesto por 99 miembros, ordenan sus preferencias entre tres proyectos de desarrollo vial A, B y C, clasificándolos de mejor a peor para decidir cuál de los tres será aprobado. Supongamos que el resultado es el siguiente:

33 votos: A > B > C. Es decir, un tercio del congreso prefiere el proyecto A sobre B, y B sobre C.

33 votos: B > C > A. Otro tercio prefiere B sobre C, y C sobre A.

33 votos: C > A > B. Finalmente, el último tercio prefiere C sobre A, y A sobre B.

En este escenario, al comparar por pares:

A es preferido sobre B (66 votos contra 33).

B es preferido sobre C (66 votos contra 33).

C es preferido sobre A (66 votos contra 33).

Esto presenta un resultado paradójico: 

A > B > C > A.

Es decir, no existe un ganador claro, y el sistema de votación arroja un desenlace contradictorio con la idea de una preferencia colectiva coherente.

No obstante, las paradojas solo aparecen cuando existen tres o más alternativas. A pesar de las implicaciones del teorema, los métodos de votación entre dos opciones no presentan dificultad; y esta es una de las razones por las que se recurre con frecuencia a la eliminación de múltiples alternativas hasta reducir la decisión únicamente a dos. Decidir entre múltiples candidatos cuál goza de mayor favorabilidad conduce a situaciones paradójicas que no se producen cuando únicamente se enfrentan dos candidatos.

El teorema de imposibilidad de Arrow revela los desafíos inherentes a los sistemas de votación basados en el orden de las preferencias, al mostrar que ningún método puede satisfacer simultáneamente todas las condiciones clave de equidad, y pone de relieve las paradojas que entraña la búsqueda de un sistema de elección colectiva perfecto. Se trata de un concepto fundamental en la teoría de la elección social, que subraya la complejidad y los desafíos de la toma de decisiones colectivas.

Gracias a esta investigación, en 1972 Arrow se convirtió en la persona más joven en recibir el Premio Nobel de Economía.

@MantillaIgnacio

La familia está conformada por los padres, ya mayores, junto con su hijo y la esposa de este. Tras avanzar por un estrecho camino abandonado, que el padre conocía desde su infancia, han logrado alcanzar la frontera y, ya entrada la noche, deben cruzar un puente para ponerse a salvo en el país vecino.

La oscuridad de la noche obliga a utilizar una linterna para cruzar. Por fortuna, la familia dispone de una, incluida por la madre en el equipaje a última hora, antes de abandonar la casa con premura. La luz resulta imprescindible para alcanzar el otro lado, pues todo está en penumbras y el puente se encuentra en mal estado.

Adicionalmente, la familia enfrenta varios inconvenientes: la persecución a la que está sometida les concede únicamente quince minutos para atravesar el puente. Por otra parte, debido a su estado y estrechez, este solo soporta el paso de dos personas al mismo tiempo. Considerando las limitaciones físicas y el cansancio, el padre requiere 5  minutos para cruzar, la madre necesita 8, mientras que el hijo lo logra en apenas 1 minuto y su esposa en 2.

Como se indicó previamente, el puente solo soporta el paso de dos personas a la vez, y cuando avanzan juntas lo hacen al ritmo del más lento. La linterna no puede lanzarse de un extremo al otro, de modo que cada vez que dos personas crucen, alguien debe regresar con ella para acompañar a quienes aún esperan. Este procedimiento debe repetirse hasta que todos hayan alcanzado el otro lado.

¿Lograrán atravesar todos en 15 minutos o menos tiempo?

Una estrategia que parece lógica es que el más rápido de la familia, el hijo (H), sea quien acompañe a cada uno de los demás a través del puente. Procedamos primero con los más veloces, siguiendo estos pasos: 

Primer paso: El padre (P), la madre (M), el hijo (H) y la esposa (E) se ubican a la entrada del puente.

Segundo paso: H y E cruzan el puente al ritmo del más lento —el de E—, de modo que demoran 2 minutos en alcanzar la otra orilla.

Tercer paso: E permanece esperando a los demás, mientras H regresa al punto de partida con la linterna; lo hace en 1 minuto, de manera que en total han transcurrido 3 minutos.

Cuarto paso: H y P cruzan ahora el puente, pero necesitan 5 minutos, que es el tiempo requerido por P; al llegar a la otra orilla y reunirse con E, habrán transcurrido en total 8 minutos desde el inicio.

Quinto paso: Como antes, H regresa al punto de origen en 1 minuto y se reencuentra con M, la más lenta del grupo. Para ese momento ya han transcurrido 9 minutos.

Sexto paso: Cuando M y H intentan cruzar el puente, la linterna se agota antes de conseguir el objetivo, pues necesitarían 8 minutos y, desde el inicio, sumarían 17 minutos.

Por lo tanto, la estrategia anterior falla.

¿Cómo ayudar a la familia en apuros con una estrategia exitosa?

Veamos la siguiente alternativa para minimizar el tiempo de recorrido. Parece natural arriesgar enviando a las personas más lentas en un solo viaje. El primer esquema propuesto es el siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. H regresa → 1 minuto (total: 3 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 11 minutos).

4. E regresa → 2 minutos (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).

Como se observa, esta estrategia resultó exitosa.

Una solución adicional del acertijo es la siguiente:

1. H y E cruzan → 2 minutos.

2. E regresa → 2 minutos (total: 4 minutos).

3. P y M cruzan → 8 minutos (total: 12 minutos).

4. H regresa → 1 minuto (total: 13 minutos).

5. H y E cruzan nuevamente → 2 minutos (total: 15 minutos).
   
   

Las dos últimas estrategias exitosas, conseguidas en cinco viajes, permiten a la familia ponerse a salvo.

Podemos ahora plantearnos el reto de generalizar el problema a un grupo arbitrario de personas, con ritmos de cruce distintos y un tiempo límite, manteniendo invariable la capacidad del puente. Se trata de un problema que, sin duda, encuentra sustento en la conocida teoría de grafos; así, un sencillo acertijo de lógica puede conducir a la formulación de teoremas más generales.

@MantillaIgnacio

Existe una carta dirigida a Henry Oldenburg, de fecha 24 de octubre de 1676, en la que Newton comenta que Leibniz había desarrollado un método nuevo para él, refiriéndose a las series de potencias, lo que revelaría que incluso llegaron a trabajar juntos, pues tanto Leibniz como Newton, gracias a ese intercambio de cartas, pudieron haber conocido los avances del otro.

Aun cuando en 1713 la Real Sociedad determinó que Newton se había anticipado a Leibniz algunos años, esta conclusión no fue aceptada por todos y la disputa tomó muchos años, hasta después de muertos los dos. Hoy en día se acepta que ambos llegaron al cálculo independientemente, por lo que no hubo plagio.

Pero hay que reconocer que Leibniz tuvo que enfrentar a un gigante de la ciencia como lo fue Isaac Newton, tarea que para la época nadie hubiese querido realizar; sin embargo, Leibniz no fue un enano de la ciencia, sino uno de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII, reconocido como «el último genio universal». Realizó profundas e importantes contribuciones en áreas de filosofía, matemáticas, física, geología, jurisprudencia e historia. 

Leibniz presentó en Londres su desarrollo del cálculo, así como una máquina calculadora que había estado diseñando y construyendo desde 1670, la primera máquina de este tipo que podía ejecutar las cuatro operaciones aritméticas básicas. Por estos aportes, la Real Sociedad, muy complacida, le nombró miembro externo.

Menos conocida es la controversia que existió entre Newton y Raphson por la invención del conocido «método de Newton» o «método de Newton-Raphson» para calcular ceros de funciones en forma aproximada. El matemático inglés Joseph Raphson (1668-1715) fue nombrado miembro de la Real Sociedad en 1689, cuando tenía apenas 21 años de edad, a solicitud del célebre astrónomo, físico y matemático Edmond Halley, y su elección se basó principalmente en la solidez de su trabajo. 

Según consta en las actas: “El Sr. Halley relató que el Sr. Raphson había inventado un método para resolver todo tipo de ecuaciones y dar sus raíces en series infinitas que convergen rápidamente, y que le había pedido que le propusiera una ecuación de quinta potencia, a la cual devolvió respuestas con siete cifras en mucho menos tiempo del que se podría haber logrado con los métodos conocidos de Vieta”. 

Este método, dado a conocer por Raphson y descrito en su libro Analysis aequationum universalis, publicado en 1690, es el que se denomina ahora método de Newton o método de Newton-Raphson, pues también Newton lo describió como un método para aproximar las raíces de una ecuación en su trabajo Method of Fluxions. La controversia surge aquí al intentar determinar quién es el autor del método, cuestión que vamos a tratar de aclarar a continuación.

El método Newton, o método de Newton-Raphson, es un poderoso procedimiento iterativo para resolver 

$f(x)=0$

cuando $f$ es una función continuamente diferenciable en una vecindad de la raíz buscada. Se trata de un método iterativo particular de punto fijo, tal como lo conocemos hoy, en el cual la función $f(x)$ se linealiza en $x_n$ para hallar $x_{n+1}$. Presentado con la notación que se usa actualmente (la de Leibniz), dado un valor inicial $x_0$, se define:

$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad n = 0,1,2,\dots$

La convergencia del método está garantizada siempre y cuando el valor inicial elegido esté suficientemente próximo a la raíz buscada.

En 1671, Newton describió ese método para aproximar ceros de polinomios y, como ejemplo, halló la raíz de la ecuación

$x^{3} – 2x – 5 = 0$

situada entre 2 y 3, obteniendo aproximadamente:

$x \approx 2.09455.$

Pero, aunque fue escrito en 1671, no se publicó hasta 1736, por lo que se afirma que Raphson dio a conocer el resultado casi cincuenta años antes que Newton. Las actas de la reunión de la Royal Society del miércoles 17 de diciembre de 1690 (calendario juliano) contienen una referencia al Análisis aequationum universalis de Raphson en los siguientes términos:

“El libro del Sr. Raphson fue publicado hoy por E. Halley, en el cual ofrece una notable mejora del método de resolución de todo tipo de ecuaciones, mostrando cómo extraer sus raíces mediante una regla general que duplica las cifras conocidas de la raíz obtenida en cada operación. De esta manera, al repetir el procedimiento tres o cuatro veces, se obtienen resultados con una precisión de ocho o diez cifras decimales. La Sociedad, muy complacida con su trabajo, le expresó su agradecimiento y le deseó que continuara con los estudios en los que ha tenido tanto éxito”.

El sábado 17 de enero de 1691 (calendario juliano) se presentó a la Royal Society un ejemplar del libro de Raphson como “un regalo del autor”.

La relación de Raphson con Newton es significativa, ya que entre ellos no hubo disputa alguna por el método. Raphson fue una de las pocas personas a quienes Newton permitía acceder a sus trabajos matemáticos, incluso llegó a traducir algunos de ellos del latín al inglés.

En 1691, Raphson y Edmond Halley participaron en los planes para publicar la obra de Newton de principios de la década de 1670 sobre la cuadratura de curvas, un proyecto que solo se concretó en 1704. Asimismo, se sabe que en 1711 Roger Cotes y William Jones propiciaron que Raphson pudiera consultar algunos de los trabajos de Newton para su proyecto de redactar la Historia de las Fluxiones, que no se publicó hasta 1715,  después de la muerte de Raphson, bajo el título Historia fluxionum.

En definitiva, la controversia se resuelve aceptando que Newton había descrito el método en 1671, antes de la publicación de Raphson, aunque aplicado exclusivamente a la aproximación de raíces de polinomios. Unos años más tarde, Raphson —quien había tenido acceso a este trabajo— publicó su propio método, más general, válido para el resto de funciones continuamente diferenciables. Por lo tanto, podemos concluir que Raphson partió del procedimiento de Newton para desarrollar su versión del método y que, en consecuencia, no existió un «robo» ni por parte de Newton ni de Raphson. Así, la denominación actual de «método de Newton-Raphson» constituye un justo reconocimiento a la historia de su aparición.

Como bien puede observarse, conocer la historia detrás de los aportes matemáticos que hoy disfrutamos nos permite valorar el esfuerzo y la dedicación de quienes nos transmitieron sus descubrimientos e invenciones.

@MantillaIgnacio

—Si lanzas una moneda al aire, la probabilidad de que salga sello es de 1/2; o sea, que tienes el 50 % de las posibilidades de ganar, pues solo hay dos posibles eventos: cara o sello —le explica el joven a su hermana. Y continúa hablando con entusiasmo—: si ahora lanzas un dado, la probabilidad de que caiga el 5 es de 1/6, o sea que tienes menos del 17 % de las posibilidades de ganar, pues hay seis posibles eventos, y así con cada cosa en la que quieras conocer tus oportunidades para ganar o acertar. 

En este punto su hermana lo interrumpe y le dice:

—¿O sea que la probabilidad de que mi bebé sea un niño es del 50 %? 

—Claro, pero mejor aún —responde el joven—: si tenemos en cuenta que la población de China es aproximadamente la quinta parte de la población mundial, la probabilidad de que sea chino es del 20 %.

Quiero compartirles una historia, que más que un chiste, parece una paradoja lógica. Se trata del anuncio que hace un profesor sobre la realización de un examen parcial. 

El docente protagonista de esta historia, respetado entre sus estudiantes y famoso por ser muy estricto, al terminar la última clase de la semana informa a sus alumnos que la próxima semana realizará un examen parcial sorpresa, que solo será anunciado el mismo día al inicio de la hora de la clase destinada para el examen y que por lo tanto deberán estar preparados porque no podrán conocer de antemano el día en que se realizará el examen.

Cuando el docente sale del aula uno de los estudiantes pasa al frente y les pide a sus compañeros que lo oigan un momento. 

—No es necesario prepararse, pues, según el anuncio del profe, no podrá haber sorpresa y, por lo tanto, no tendremos examen— dice el entusiasta joven a sus compañeros, y pasa a explicar por qué razón no habrá examen.

—Tenemos clase todos los días, de lunes a viernes; entonces, el examen no podrá realizarse el viernes porque es el último día posible y, si no lo realiza antes, entonces sabríamos con toda certeza, de antemano, que el examen es ese día; así que no puede realizarse el viernes. Recuerden que el profesor nos dijo que debíamos estar preparados porque solo podríamos saber el mismo día, al iniciar la hora de clase.

Y continuó con su razonamiento frente a sus compañeros:

—Y como no puede ser el viernes, entonces, por la misma razón, no podrá tener lugar el jueves, pues se violaría el anuncio del profesor, ya que, si no se ha realizado antes el examen, desde el día anterior sabríamos que es el jueves como última opción porque el viernes está descartado.

La expectativa y la atención de todos aumentó para oír al joven, quien prosiguió:

—Exactamente del mismo modo podemos descartar el miércoles y el martes, así que solo quedaría la opción del lunes, pero ya lo sabemos hoy; entonces, no podrá realizar el examen el lunes tampoco. Así que vamos a descansar, que no hay que preparar ningún examen.

El razonamiento del estudiante convenció a sus compañeros, quienes, muy tranquilos, sabiendo que su profesor no incurriría en un error lógico, salieron del salón despreocupados del examen.

A la semana siguiente, todos los estudiantes asistieron a clase el lunes y el martes. Pero para su gran sorpresa, el miércoles al iniciar la clase el profesor dijo: 

—Saquen una hoja, vamos a iniciar el examen.

Claramente no lo esperaban, y por lo tanto, se cumplió la sentencia del profesor cuando les anunció que solo lo sabrían el mismo día del examen.

Les dejo a los lectores la tarea de pensar en la solución a esta aparente «paradoja».

@MantillaIgnacio

Números afortunados: un número afortunado es un número entero $Q_n$, que resulta de la expresión 

$q-P_n = Q_n$

donde $P_n$ es el producto de los primeros $n$ números primos y $q$ es el número primo más pequeño que es mayor que $P_n+1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el menor primo $q$ mayor que $7 = (6+1)$ es $q=11$, entonces

$q-P_2 = Q_2 =11-6=5$,

por lo tanto $5$ es un número afortunado.

Si $n = 8$ tenemos que los primeros $8$ números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13,17,19$ cuyo producto es $9.699.690$. El menor primo inmediatamente mayor que $9.699.691$ es $q= 9.699.713$. Por lo tanto

$Q_8=q-P_8=9.699.713-9.699.690=23$

es un número afortunado.

Los números afortunados $Q_n$ pueden ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $Q_{10} ,Q_{12},Q_{17}$ son iguales al número $61$.

Los primeros números afortunados, omitiendo los repetidos para diferentes valores de $n$ son:

$3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, ….$

La autoría del nombre número afortunado es atribuida al antropólogo neozelandés Reo Franklin Fortune (1903-1979), quien ademas conjeturó que todos los números afortunados son primos. Y no sabría si el nombre que dio a estos números tiene qué ver directamente con su apellido.

Números de la suerte: No hay que confundir los números afortunados con los Números de la Suerte que se consiguen mediante una criba, como la conocida Criba de Eratóstenes, ingenioso algoritmo que es eficiente para encontrar los primeros números primos.

En el caso de los números de la suerte la criba consiste en ir tachando inicialmente todos los números que aparecen en las posiciones pares, así nos quedan los impares: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…$ Como el segundo número que ha quedado es el 3, tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3 y nos quedan ahora los números: $1, 3, 7, 9, 13,…$ Como el siguiente número que quedó es el 7, eliminamos ahora, como antes, todos los que aparecen en las posiciones que son múltiplo de 7 y continuamos en esta forma, así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números de la suerte.

Los primeros números de la suerte son:

$1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127,…$

Números recostados: ahora bien, a partir de los números afortunados podríamos definir otro conjunto similar, que al beneficiarse de la existencia de estos, yo llamaría números recostados y que pueden definirse en forma parecida a los afortunados: un número recostado es un número entero $B_n$, que resulta de la expresión 

$P_n-r = B_n$

donde $P_n$  es, como arriba, el producto de los primeros $n$ números primos y $r$ lo definimos como el número primo más grande que es menor que $P_n-1$. Así por ejemplo,

$P_2 = 2\times3=6$ y el mayor primo $r$ menor que $5 = (6-1)$ es $r=3$, entonces

$P_2 -r= B_2 =6-3=3$

por lo tanto $3$ es un número recostado.

Si $n = 6$ tenemos que los primeros 6 números primos son $2, 3, 5, 7, 11, 13$ cuyo producto es $30.030$. El mayor primo inmediatamente menor que $30.029$ es $r= 30.019$. Por lo tanto

$B_6=P_6-r=30.030-30.019=11$

es un número recostado. Obsérvese que $11$ no es un número afortunado.

Los números recostados $B_n$ también podrían ser iguales para distintos valores de $n$; así por ejemplo $B_6= B_4 =11.$

Los primeros números recostados serían

$3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73, …$

y también creo que se puede conjeturar que son todos primos.

Como se observa, en torno a estos nuevos conjuntos podemos proponer una diversidad de conjeturas que ofrecen retos que no son sencillos de resolver.

@MantillaIgnacio

Hay conjeturas, como la de Goldbach, formulada por el matemático alemán Christian Goldbach en 1742, que establece que «todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos», que aún nadie ha podido demostrar ni refutar.

Uno de los matemáticos más sobresalientes y célebres de nuestro tiempo ha sido el británico John Conway, quien falleció en 2020, a causa del Covid, en Princeton donde fue profesor durante sus últimos años de vida. 

El legado de Conway en varias ramas de las matemáticas lo constituyen contribuciones complejas, difíciles de transmitir, pero Conway también incursionó en la matemática recreativa y nos dejó algunos acertijos y juegos fáciles de entender, así como problemas abiertos y conjeturas.

Un ejemplo de uno de esos retos es la conjetura conocida bajo el nombre de «la escalada hasta un primo», que consiste en escoger un número entero positivo cualquiera que sea mayor que 1 y seguir los siguientes pasos:

1. Descomponer el número elegido en sus factores primos. Esto es posible siempre, gracias al Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que «cada número entero mayor que 1 es primo o puede expresarse como un producto único de números primos, salvo por el orden de los factores». Ejemplo, si el número elegido es 40, los primos de su descomposición son 2, 2, 2 y 5, ya que
   
   40 = 2³ · 5.
   
   
2. El segundo paso consiste en tomar esos números primos y sus exponentes, ordenarlos de menor a mayor tal como aparecen en la descomposición y concatenarlos formando un nuevo número. En el ejemplo, el nuevo número es el proveniente de 40 = 2³ · 5. O sea:
   
   235.
   
   
3. A partir de aquí, repetir los dos pasos anteriores con el nuevo número hasta conseguir un número primo. Para el ejemplo:
   
   235 = 5 · 47
   
   y aquí termina la escalada del número 40 hasta un primo porque el nuevo número formado con los factores primos 5, 4 y 7 es el número 547 que es primo.

Con esto podemos ahora formular y comprender mejor la conjetura de Conway conocida como «escalada hasta un primo»: Conway conjeturó que el paso 3 siempre es posible, es decir que cualquier número entero mayor que 1, sometido a este procedimiento, acabaría devolviendo un número primo. Es más, cuando propuso la conjetura llegó a ofrecer 1.000 dólares a quien demostrara su veracidad o falsedad.

Decidir sobre su veracidad o falsedad no es sencillo; hay números que parecen servir de contraejemplos, pero que no lo son; sin embargo su escalada hasta un primo sí constituye una tarea sumamente extensa y tediosa como para creer, al cabo de muchos pasos, que se trata de un contraejemplo; tal es el caso del número 20 por ejemplo, que requiere más de 100 pasos para escalar hasta un primo. Y frente a estos números, después de tantos pasos que hasta se había llegado a creer que se trataba de un contraejemplo y al final no lo era, viene la pregunta: ¿será verdadera la conjetura?

Se le atribuye a un aficionado a las matemáticas, de nombre James Davis, haber demostrado a mediados del año 2017, que la conjetura de Conway «escalada hasta un primo» es falsa. Davis logró encontrar un contraejemplo: el número 

d = 13.532.385.396.179 

que se devuelve a sí mismo al ser descompuesto en números primos, entrando en un bucle sin fin del que no podrá salir un primo. En efecto,

d = 13.532.385.396.179 = 13 · 53² · 3853 · 96179

y obsérvese que el proceso de escalar buscando un primo lo convierte en él mismo, pues el número 2 ocupa el quinto lugar entre sus dígitos y también esa posición como exponente del primo 53 en la descomposición del número, así que d es como un punto fijo que no consigue «escalar» hasta un número primo. 

Naturalmente este no es el único contraejemplo, y teniendo ya uno, a partir de él podemos construir otros. Por ejemplo, si tomamos los 4 dígitos de d, que siguen a los dos primeros (13) tenemos el número 5323 que es primo y si el dígito siguiente (8) lo usamos como exponente, entonces podemos aprovechar que el número que forman los últimos dígitos que quedan (5396179) también es primo, para escribir el número:

D = 13 · 5323⁸ · 5396179 = 45.214.884.853.168.941.713.016.664.887.087.462.487 

que al ser descompuesto en sus factores primos es el mismo número inicial anterior d, por lo tanto D es otro contraejemplo, un número que no puede escalar hasta un primo.

Generalmente el reto de demostrar la veracidad o la falsedad de una conjetura es grande. No siempre es fácil dar con un contraejemplo o con una demostración; ni siquiera es sencillo decidirse por lo uno o por lo otro y en la mayoría de los casos solo la intuición del matemático le induce a buscar la prueba o en cambio el contraejemplo.

@MantillaIgnacio

Digamos ahora lo obvio; lo que se ha manifestado en distintos espacios a lo largo de semanas y meses, pero en unas pocas líneas que traten de motivar el retorno al cumplimiento de la constitución y el espíritu académico, sin renunciar a los caminos de cambio que se considere que deben ser discutidos y emprendidos.

El fallo del Consejo de Estado, que ratificó la legalidad de la elección de José Ismael Peña como rector, para no hablar del fallo del juez de tutela que ordenó hacer efectivo el ejercicio del cargo, no es una sugerencia ni un punto de partida para una asamblea; es una verdad jurídica de obligatorio cumplimiento. En una democracia, las instituciones no son legítimas solo cuando el resultado nos favorece; son legítimas porque emanan de procesos reglados y autoridades competentes. Desconocer un fallo del máximo tribunal de lo contencioso administrativo es, sencillamente, promover la anarquía bajo el disfraz de la “autonomía”.

La doble moral de las urnas

Llama poderosamente la atención la asimetría con la que ciertos sectores miden la democracia. Se exige respeto absoluto por una consulta previa de rectoría que, aunque masiva, es estatutariamente no vinculante; esa es la realidad de las reglas de juego vigentes. Sin embargo, esos mismos sectores celebran como un mandato popular los resultados de la Mesa Constituyente Universitaria (MECUN), a pesar de registrar una  participación ínfima en comparación con el censo total de la Universidad.

¿Cómo puede una minoría ruidosa arrogarse la representación de 60,000 estudiantes para detener la vida académica? Es hora de medir con el mismo rasero: si la participación es el termómetro de la legitimidad, la parálisis actual carece de ella. La verdadera democracia universitaria se ejerce en las aulas, en los laboratorios y en los canales institucionales de reforma, no en el bloqueo sistemático del derecho ajeno a la educación. La democracia son las reglas de juego válidamente establecidas y democracia, es también, cambiarlas a través de los mecanismos que respeten esas mismas reglas de juego (los estatutos que en su momento fueron objeto de debates, disensos y consensos). Por algo, la propia Constitución Política puede cambiarse, pero a través de los mecanismos que ella misma estableció por consenso.

El retorno a la razón

El camino para las reformas que la comunidad aspira –como la modificación del sistema de elección de rector, entre otras— existe y está trazado en la ley. Se llama trámite institucional (iniciativa de reforma) ante el Consejo Superior Universitario. Utilizar el paro como mecanismo de extorsión para saltarse los procedimientos legales solo debilita la institucionalidad que los mismos manifestantes dicen proteger de “intervenciones externas”.

El vacío que llena el radicalismo

Es innegable que la estrategia del paro prolongado no busca el consenso, sino la dispersión. Al cerrar las aulas, la inmensa mayoría de la comunidad universitaria —esa que entiende la educación como un proyecto de vida y no como un campo de batalla ideológico (por lo menos, no como una batalla de argumentos y construcción desde la diferencia)— se ve obligada a retirarse a sus casas, dejando los campus físicamente vacíos, pero políticamente capturados. En ese silencio de la mayoría, el debate queda a merced de los sectores más radicales, quienes encuentran en la anarquía el ecosistema ideal para imponer su visión como la única verdad absoluta.

Este fenómeno es, en esencia, una forma de intimidación intelectual y física. El discurso violento y excluyente que emana de las asambleas a puerta cerrada – porque, aunque se muestran como abiertas, se difama y estigmatiza a quien expresa su disenso y deseo de debatir con dinámicas académicas normales de clase-, se erige sobre un falso dilema: o se está con el paro, o se es un “traidor a la causa”. Ante esta polarización extrema, el estudiante o profesor que desea la normalidad académica termina replegado, silenciado por el temor a la estigmatización o a la confrontación directa. Así, lo que se vende como una “gesta democrática” termina siendo el secuestro de la voluntad colectiva por parte de una minoría que, al vaciar la universidad de su pluralidad natural, convierte el campus en un feudo de pensamiento único donde la razón es sustituida por la consigna.

Un ejercicio de honestidad: ¿y si el gobierno fuera otro?

Resulta imperativo plantear un escenario hipotético pero revelador: ¿Cuál sería la narrativa si el Gobierno Nacional actual fuera de derecha y no de izquierda? Probablemente, el discurso de la “resistencia” denunciaría con ferocidad cualquier intento del Ejecutivo por dilatar la posesión de un rector legalmente elegido o por asfixiar financieramente a la institución como medida de presión. Veríamos carteles hablando de “dictadura” y “violación a la separación de poderes”. Hoy, ante un gobierno afín a las tesis del paro, el silencio o la complicidad frente al desacato judicial es ensordecedor. La ley no puede ser un traje a la medida del gobernante de turno o de la ideología predominante en la plaza pública.

La Universidad Nacional debe abrir sus puertas ya. La normalización académica no es una derrota para nadie, sino una victoria para el país que financia, con el esfuerzo de todos los contribuyentes, una educación que hoy está secuestrada por el sesgo.

Señor Rector, profesores, representantes y estudiantes: el respeto a la ley es el único camino. Lo demás es el abismo de la arbitrariedad.

OJF