Una polémica matemática

La mayoría de los estudiantes, cuando aprenden la potenciación y aplican sus propiedades, se preguntan cuál regla se impone en el caso del cero (0), pues se enseña que todo número diferente de cero, elevado a la cero, es igual a uno; y que cero elevado a cualquier potencia, diferente de cero, es igual a cero; es decir:

Ante esta disyuntiva surge la opción de dejarlo como indeterminado; es decir aceptar que es una cantidad indefinida, como lo es 0/0, universalmente aceptado como indeterminado. 

Muchos de nosotros hemos aprendido eso justamente, que 0⁰ es un número que no se puede definir, es lo que hemos aceptado porque ya en 1821 el gran matemático francés Agustin Louis Cauchy (1789-1857) hizo una lista de formas indeterminadas del tipo 0/0 y en la tabla incluyó a cero elevado a la cero. 

Sin embargo diez años después de la elaboración de esa lista de formas indeterminadas, el matemático italiano Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja (1803-1869) se apartó de la opinión de Cauchy y dio argumentos para que el número “cero elevado a la cero” fuese definido como uno.

Desde entonces el debate se ha centrado en las dos opciones que han quedado vivas: que sea 1 o que sea indeterminado, descartando la posibilidad de que sea 0. Así que la discusión es:

Algunos matemáticos que se han sumado a la controversia sostienen que el valor más adecuado depende del contexto, pero esto es aceptar una definición por conveniencia y no por exactitud, asunto que incomoda. No obstante es interesante conocer los argumentos en defensa de ambas posturas para entender por qué toma tanta fuerza la idea de definir por acuerdo este número. 

Por un lado, quienes defienden que el valor es 1, tienen razones que pueden obtenerse principalmente en contextos algebraicos y en la teoría de conjuntos. Por ejemplo, si n⁰ es el número de subconjuntos vacíos de un conjunto con n elementos, entonces ese valor es siempre 1, y esto es válido también cuando n = 0 porque el conjunto vacío es el único subconjunto de sí mismo, de donde se deduciría que 0⁰ = 1. 

No faltan también las seudodemostraciones en las que se presentan aparentes pruebas simples, pero que contienen errores. Me refiero a cosas como esta, que pueden manipularse para cualquier lado, cambiando de error:

Sin embargo hay también argumentos válidos que inclinan la balanza para que 0⁰ sea definido como 1. Uno de ellos es el siguiente: es difícil de explicar por qué, si al calcular apoyados en una calculadora, expresiones cercanas a 0⁰ nos vamos aproximando a 1, es indeterminado 0⁰. Eso es contraintutivo, en efecto algunos cálculos dan como resultado

que como se observa, son muy próximos a 1, por lo que se esperaría que 0⁰ = 1.

La situación anterior motiva una de las más interesantes posturas como es la que se deriva de considerar 0⁰, no como un número sino como la composición de dos sucesiones o de dos funciones. Para el caso de las dos funciones, se busca una función que tiende a 0, que está elevada a otra función que también tiende a 0; algo así como el límite de 

 Veamos qué resultado se obtiene en este caso:

Con herramientas del cálculo diferencial podemos demostrarlo de la siguiente manera, llamemos 

Ahora usamos la conocida «Regla de L´Hopital» para calcular ese límite y obtenemos que

Como se observa, concluir que el valor de cero elevado a la cero no es indeterminado y que debería estar definido como 1 no es algo descabellado, ¿por qué en cambio sí se acepta sin discusión que 0! = 1? Bueno, tal vez porque es evidente que 

n! = n(n-1)! 

entonces 

1! = 1·0! 

luego

1! / 1 = 0! 

con lo que se concluye que 

0! = 1.

El razonamiento anterior es contundente y no deja duda de cómo debe definirse 0!, pero la prueba de que 

es también un argumento sumamente fuerte a favor de la definición de cero elevado a la cero, como uno; pues aunque podría afirmarse que la función elegida no está definida en cero, justamente lo que se está haciendo es demostrando que la función puede extenderse y definirse en 0 como el valor del límite. ¿No es esto fascinante?

Naturalmente en este razonamiento hay una pequeña “trampa” que vale la pena aclarar: en realidad el límite sólo se puede tomar por la derecha, ya que se usa la función logx en el cálculo y esta solo está definida para x > 0.

En matemáticas encontramos afirmaciones que se aceptan como verdaderas sin necesidad de demostración, son los axiomas, y es a partir de esos axiomas que se van formulando y demostrando los teoremas.

Dependiendo de cómo se defina una cantidad, o de dónde se defina un conjunto, una función, una variable, también puede llegarse a conclusiones distantes. En el caso que nos ocupa hay, como se dijo al principio, tres opciones y aun cuando la más aceptada es que 0⁰ es indeterminado, la controversia que genera la opción de definirlo como 1 es sumamente interesante, tentadora y poderosa.

Este es un ejemplo de los debates y desacuerdos de los que ni las matemáticas se escapan, pero que deben ser resueltas preservando la coherencia. 

@MantillaIgnacio