Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Teoremas de amistad*

Cuando se habla de un teorema, inmediatamente pensamos en una verdad demostrada, irrefutable, que prevalecerá en el tiempo; y si ese teorema tiene un nombre propio, heredado de su autor o un sonoro título con el que se le conoce, que indique de qué se trata, puede despertar una mayor curiosidad para conocerlo y comprenderlo; así por ejemplo, nombrar el “último teorema de Fermat” o mencionar el “teorema de punto fijo” causa un mayor efecto, que hacer referencia simplemente al teorema 2.4 del libro de texto. Tal es el caso del impacto que puede tener el teorema conocido bajo el nombre de “teorema de la amistad”.

En realidad existen dos resultados del área de la Teoría de Grafos, conocidos como teoremas de la amistad; el primero fue planteado por el matemático británico Frank P. Ramsey, fallecido a la temprana edad de 26 años, quien demostró un teorema general de combinatoria en su artículo On a problem of formal logic, publicado en 1928, dando origen a la llamada “teoría de Ramsey”. El segundo teorema de la amistad fue demostrado en 1966 por los matemáticos Paul Erdös, Alfréd Rényi y Vera T. Sós y es un caso particular del resultado de Ramsey.

              Frank P. Ramsey

Antes de presentarles los teoremas de la amistad, debo mencionar que dentro de la denominada “teoría de Ramsey” se estudian las condiciones sobre el número de elementos que debe tener un conjunto dado para que se cumpla una determinada propiedad. Un ejemplo sencillo es el conocido “principio del palomar”, que da respuesta a la pregunta de ¿cuántas palomas se necesitan para que, dado un conjunto de n palomares, haya al menos un palomar con más de una paloma? Claramente, si llamamos m al número de palomas, la condición pedida es m > n. El “principio del palomar” también se suele formular así: si hay más palomas que palomares, alguno de los palomares deberá contener por lo menos dos palomas.

Un ejemplo menos sencillo del “principio del palomar” podría ser el siguiente: siempre que el Teatro Colón de Bogotá se llena hay al menos dos personas del público cuyos apellidos coinciden tanto en su primera como en su última letras, como por ejemplo Gómez y González o Restrepo y Romero. En efecto, el Teatro Colón tiene un aforo de 773 personas, que consideramos nuestras palomas, mientras que con 27 letras que tiene el alfabeto, el número máximo de pares de letras (nuestros palomares), como los de los ejemplos anteriores (G,z) y (R,o), que se pueden formar desde (A,a) hasta (Z,z) es de 27×27 = 729. Como hay más palomas (773 personas) que palomares (729 pares de letras) entonces al menos dos palomas (personas) deberán compartir el mismo palomar (par de letras de sus apellidos). Por lo tanto podemos concluir que cuando el Teatro Colón se llena, al menos dos personas del público comparten la primera y última letras de sus apellidos.

El primer teorema de la amistad, mencionado al inicio, puede enunciarse en la siguiente forma: “si en un grupo de personas cada par de ellas tiene exactamente un amigo en común, entonces debe haber una persona que sea amiga de todas las demás”. El lector puede verificarlo y encontrar una divertida entretención comprobándolo para algunos grupos de pocas personas.

El segundo teorema de la amistad afirma que “en un grupo de seis personas, o bien hay al menos tres que se conocen entre sí, o bien hay al menos tres que no se conocen entre sí”.

Para comprobar este resultado, observemos que un grupo de seis personas en el que cada una de ellas se relaciona con cada una de las demás, se puede representar mediante un hexágono con todas sus diagonales. 

Esto significa que obtenemos lo que se llama un grafo completo, pues cada nodo o vértice del hexágono está conectado con todos los demás. Si ahora conectáramos las personas que se conocen con una línea azul y las que no se conocen con un trazo rojo, entonces el teorema de la amistad nos dice que debe existir al menos un triángulo rojo o al menos un triángulo azul, pues ese es el significado de afirmar que siempre es posible tener un grupo de tres personas que se conocen o un grupo de tres desconocidos.

Para visualizar el problema podemos dibujar los 78 hexágonos posibles uniendo los 6 vértices e identificando los triángulos azules de conocidos y los triángulos rojos de desconocidos.

En cada hexágono, el color de las aristas indica la conexión entre conocidos o entre desconocidos. Se observa que en todos los casos existe un triángulo rojo o un triángulo azul, es decir, tres personas extrañas o tres personas conocidas. 

Usando la Teoría de Grafos es posible demostrar que en grupos de menos de seis personas no se tiene un teorema de la amistad.

Guardaba la esperanza de poder afirmar, gracias al teorema de la amistad, que en las coaliciones políticas que hicieron algunos candidatos, había siempre al menos tres precandidatos que se conocían entre sí, pero parece que, también gracias al teorema de la amistad, la conclusión correcta es que en algunas coaliciones, al menos tres de ellos no se conocían.

* Una versión de este artículo se publicó originalmente en ALEPH – Convergencia de saberes – En celebración de la Revista Aleph N. 200, volumen editado por el profesor Carlos Enrique Ruiz, director de la Revista Aleph.

 

@MantillaIgnacio

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