Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

El Teorema de la Bola Peluda

La Topología es una importante y activa área de la matemática que, vagamente, podríamos decir que estudia la deformación de las figuras geométricas y sus propiedades. Coloquialmente hablando, es como la geometría de la lámina de caucho o de la hoja de plastilina, porque en Topología está permitido estirar o retorcer los objetos, siempre que no se separe lo que inicialmente estaba unido; intuitivamente, un cuadrado es “topológicamente” lo mismo que un círculo o un triángulo porque podríamos transformar una figura en otra, en forma continua, sin romper y pegar. Pero más formalmente es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los cuerpos geométricos que se conservan sin alterarse por transformaciones continuas.

Con algo de humor, en la Universidad se decía que un topólogo cree que una arepa se puede transformar en un roscón conservando sus propiedades.

Justamente al área de la Topología y más concretamente de la Topología Diferencial, pertenece un interesante resultado conocido bajo el nombre de Teorema de la Bola Peluda. Su enunciado formal (sin ánimo de espantar a nadie) es el siguiente:

«Si n es un número entero par, mayor o igual a 2, todo campo vectorial continuo X sobre la esfera real de dimensión n se anula en al menos un punto; es decir que existe v (que depende de X) tal que: X(v) = 0».

Este teorema, pasando a un lenguaje familiar, explica por qué todos (con excepción de los calvos extremos) tenemos una coronilla o remolino de cabello: un punto que no se deja peinar como sus vecinos. Eso explica el nombre del teorema, pero más allá de eso, el teorema afirma que si tenemos una esfera tal que en cada punto de su superficie hay un vector tangente, sin importar la dirección hacia la cual vayan esos vectores, siempre habrá al menos un punto vacío.

Si imaginamos un coco, por ejemplo, o una cabeza perfectamente esférica de la que sale un pelo liso de cada punto, cada punto de la esfera sería la raíz de un pelo y esos pelos serían los vectores del teorema. Si se intenta peinar esos pelos, alisándolos sobre la cabeza (sin raya o “carrera” alguna) evitando las discontinuidades, el teorema afirma que eso es imposible de lograr, pues siempre habrá un punto donde se forma un remolino, un rizo, una coronilla o aparece un pelo parado. 

El Teorema de la Bola Peluda fue demostrado por primera vez en 1912 por el matemático Holandés Luitzen E. J. Brouwer (1881 – 1966), más conocido en las matemáticas por ser el autor de una generalización de un famoso teorema de punto fijo. Y así como se ha difundido la historia de la manzana que inspiró a Newton o del ascensor de Einstein, se afirma que el origen del teorema fue la observación que hizo Brouwer en una taza de café mientras desayunaba y revolvía la crema que se mezclaba con el café, siempre con un punto que parece inmóvil. 

Esa historia se la conté hace algunos años a un amigo ingeniero y después de oírme me dijo: “oye, ¿tanto tiempo tienen ustedes los matemáticos para andar fijándose en esas cosas?”. En ese momento solo atiné a defenderme con la reflexión que nos dejó el gran matemático y filósofo británico Bertrand Rusell (1872 – 1970) cuando afirmó: «Cuánto placer se obtiene del conocimiento inútil». No obstante, desde entonces quedé con la inquietud sobre la utilidad del Teorema de la Bola Peluda.

Entre otras cosas, el teorema explica el motivo por el cual los huracanes tienen un ojo; un punto en el centro, en el que no ocurre nada y aunque este se puede mover, mientras el huracán se desplaza, en cada instante habrá un ojo sobre la esfera terrestre. Un fenómeno similar es el que explica la forma de las nubes en las imágenes satelitales que vemos en los reportes del tiempo. Además de su utilidad en la modelación del comportamiento del viento y en predicciones en Meteorología, se utiliza en computación gráfica y en diseño. Ante todo es un teorema fundamental en el campo de la Topología Diferencial. Y como tantos otros resultados, seguramente en un futuro aparecerán aplicaciones que no alcanzamos a imaginar actualmente.

Este curioso teorema le debe tranquilizar a los lectores al peinarse cada mañana, especialmente en esta época de confinamiento, cuando el cabello de la mayoría ha crecido sin control.

@MantillaIgancio 

Comentarios