En matemáticas encontramos muchos problemas que nos atrapan, aparentemente simples, cuyo enunciado lo puede comprender cualquier persona, pero que no son fáciles de resolver. El reto de encontrar una solución o demostrar que no existe alguna, comúnmente conduce al planteamiento de conjeturas. Pero en la mayoría de los casos, al no ser posible probar que una conjetura es falsa ni tampoco demostrar que es verdadera, ésta se convierte en un problema que permanece abierto durante años y en algunos casos durante siglos retando a cada nueva generación de matemáticos.
Una de las más famosas conjeturas, que felizmente encontró una demostración, es el último teorema de Fermat, propuesto por el matemático francés Pierre de Fermat en 1637 y demostrado tres siglos y medio después, exactamente en 1995, por el matemático inglés Andrew Wiles. Este teorema afirma que: “no existen números enteros positivos x, y, y z tales que x^n + y^n = z^n cuando n > 2”.
Y dentro de las conjeturas más famosas que aguardan aún una prueba o una refutación está la conocida bajo el nombre de Hipótesis de Riemann, sobre la que escribí hace un tiempo (https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/la-hipotesis-riemann).
También es un gran problema abierto aún, muy fácil de comprender, pero sumamente difícil de resolver, la Conjetura de Goldbach, formulada por el matemático prusiano Chistian Goldbach en 1742: “todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”.
Menos famosa que las conjeturas antes mencionadas, aparentemente sencilla e interesante es la Conjetura de Collatz, propuesta por el matemático alemán Lothar Collatz en 1937. También es conocida bajo muchos otros nombres: Conjetura 3n+1, Conjetura de Ulam (por el matemático polaco Stanisław Marcin Ulam), Problema de Kakutani (por el matemático japonés Shizuo Kakutani), Conjetura de Thwaites (por el británico Bryan Thwaites), Algoritmo de Hasse (por el matemático alemán Helmut Hasse) o Problema de Siracusa.
La abundancia de nombres con los que se puede encontrar es un indicio del interés que ha despertado esta bonita conjetura sin resolver aún. Yo voy a usar el nombre de Collatz para referirme a ella. Se trata del siguiente problema:
Elijamos cualquier número entero positivo, digamos n, y realicemos los siguientes cálculos:
- Si n es par dividámoslo por 2
- Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1
- Con el número obtenido repitamos el proceso sucesivamente.
Entonces el resultado final siempre será 1.
Empecemos, por ejemplo, con n = 12. Como es par, lo dividimos por 2:
12÷2 = 6.
Como 6 es par, dividimos de nuevo por 2:
6÷2 = 3.
Como 3 es impar aplicamos la segunda regla:
3×3+1 = 10.
Continuando el proceso obtenemos la siguiente secuencia a partir de 10:
10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Hay secuencias que pueden resultar largas aunque iniciemos con números relativamente pequeños, pero éstas siempre acaban en 1; tal es el caso de la secuencia, de 111 pasos, que se obtiene empezando con n = 27. La siguiente caricatura de XKCD.COM/GABRIEL RODRÍGUEZ ALBERICH lo resume jocosamente bien.
La Conjetura de Collatz es un problema que cualquier persona puede entender, basta realizar unas operaciones aritméticas básicas en la forma indicada hasta llegar a 1, y sin embargo no hay una demostración de su veracidad ni se ha encontrado un contraejemplo que demuestre su falsedad. Se han hecho comprobaciones computacionales calculando secuencias de números cada vez más grandes. En mayo de 2020 se comprobó la conjetura para todas las secuencias de números menores que 2^68, lo que inclina las apuestas por la veracidad de la conjetura, pero eso no es una demostración.
Ante esta indómita conjetura Paul Erdős dijo: «quizá las matemáticas no están preparadas para este tipo de problemas».
@MantillaIgnacio