Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Reto matemático en la Edad Media

Uno de los más grandes genios italianos de la edad media, que antecedió a Leonardo da Vinci dos y medio siglos y que vivió cuatro siglos antes de  Galileo Galilei, fue Leonardo Filius Bonacci o Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. 

El padre de Fibonacci tuvo un puesto diplomático en el norte de África y viajó mucho en compañía de su hijo. Fue así como Fibonacci descubrió las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usados en los países que visitó.

Fibonacci fue un matemático innovador, un genio solitario que publicó en 1202 un célebre libro titulado “Liber Abacci” donde introdujo, entre otras cosas, la numeración indu-árabe que actualmente utilizamos. 

Este libro fue una fuente de inspiración durante varios siglos después, a pesar de haber sido un manuscrito que para conocerlo había que conseguir una copia también manuscrita transcrita e imitada, pues fue publicado 250 años antes de la aparición de la imprenta.

Es precisamente en este trabajo, donde aparece, en la tercera sección, la secuencia de los números de Fibonacci, como los conocemos hoy, para dar respuesta al problema de la cría de conejos: ¿cuántos conejos en un lugar cerrado, pueden nacer en un año, a partir de una pareja, si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva? La secuencia resultante es la conocida como “Sucesión de Fibonacci”:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … 

en la que cada número es la suma de los dos números precedentes.

Fibonacci también publicó otros libros: “Practica geometriae” en 1220, “Flos” en 1225 y “Liber quadratorum”, obra que estuvo perdida hasta 1862 como otros textos desaparecidos.

Después de esta breve introducción quiero compartirles un famoso pasaje en la vida de Fibonacci: el emperador Federico II, quien apoyó a Pisa en sus conflictos con Génova y consolidó su poder en Italia, también fundó la Universidad de Nápoles en 1224, para que fuera allí donde se formaran los funcionarios encargados del control del comercio. Por su interés en la aritmética que usaban algunos mercaderes que imponían el precio de los bienes, calculaban el beneficio en las transacciones y se encargaban de la conversión entre las distintas monedas en uso en los países vecinos, tuvo noticias de Fibonacci con quien se reunió en Pisa en 1225.

Para poner a prueba y comprobar la razón de la fama de Fibonacci como matemático, Federico II le propuso un reto, enfrentándolo públicamente a tres problemas que al parecer habían sido escogidos por Juan de Palermo por ser insolubles, como si se tratara de un torneo medieval de matemáticas (estos problemas han perdurado gracias a que Fibonacci los incluyó en su libro “Flos”).

El primer problema que le planteó Federico II, puede enunciarse así: 

Encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle o restarle cinco, dé también cuadrado”.

No pretendo reproducir aquí enteramente el procedimiento para llegar a la solución, pues eso escapa al objetivo de este artículo, pero siendo la respuesta que dio Leonardo producto de una exposición magistral, vale la pena conocer un par de detalles. Fibonacci parte de la identidad siguiente, conocida como Identidad de Fibonacci. En nuestra actual notación se escribe así:

(m²+n²)±4mn(m²-n²) = (m²-n²±2mn)²

A partir de esta, lo primero que concluye Fibonacci es que no puede haber una solución entera, pues es claro que no es posible encontrar dos números m y n tales que 

4mn(m²-n²) = 5, 

ya que un número par no puede ser igual a uno impar, por lo tanto la solución debe ser un número racional y deduce en forma elegante y con un manejo impecable de las expresiones algebraicas, que esa fracción sí existe y es 41/12, que cumple las condiciones pedidas. En efecto:

(41/12)² +5 = 1681/144 + 5 = 2401/144 = (49/12)²

(41/12)² – 5 = 1681/144 – 5 = 961/144 = (31/12)².

El segundo problema había sido planteado por el matemático árabe Omar Ibrahim Jayyam y era calificado como muy difícil, hasta entonces sin solución. Se trata de hallar un número x para el cual 

x³+2x²+10x = 20.

Es evidente que 300 años antes de conocerse una fórmula para resolver ecuaciones cúbicas, éste era un problema muy difícil de resolver. Fibonacci prueba que ninguna de sus soluciones es un entero ni una fracción ni la raíz cuadrada de una fracción. Demuestra que tiene una única raíz (real), que está entre 1 y 2, y da la solución aproximada 

x = 1.368808107, 

que es una aproximación correcta de un número irracional, con nueve cifras decimales. Sin duda, este es un logro sorprendente para la época. Hoy es un bonito ejercicio de programación en los cursos de métodos numéricos para familiarizarse con métodos como el de Newton-Raphson. 

El tercer problema, a mi modo de ver, más sencillo, es la historia de tres hermanos que se reparten al azar una herencia. Posteriormente deciden aportar a un fondo común, el primero aporta la mitad de su porción, el segundo un tercio y el tercero un sexto. Después dividen ese fondo en tres partes iguales y cada cual toma una para sí. ¿Cuánto recibió cada uno en el primer reparto, si la cantidad final fue, para el primero, la mitad del capital inicial, para el segundo la tercera parte y para el tercero la sexta parte? Fibonacci encuentra una solución con cantidades enteras. 

Pero… para no privar de algo de entretenimiento a los lectores, este es un problema que pueden intentar resolver.

@MantillaIgnacio

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