¿Qué es un juego justo?

Los juegos de azar pueden ser de tres clases: de puro azar, de estrategia o mixtos. En el primer grupo pueden incluirse la ruleta, los dados o las loterías. En el segundo, el ajedrez o las damas chinas, y en el tercero el dominó y los juegos de cartas como el poker o el blackjack. Y dentro de los primeros hay unos que son justos y otros que no

lo son, entendiéndose por justo el juego en el que las posibilidades de ganar son las mismas que las de perder, es decir cuando hay un equilibrio y las oportunidades de ganar para cada jugador, cuando participan varios, son las mismas. En términos más formales de dice que un juego es justo si el valor esperado es cero. Este valor se calcula multiplicando cada resultado posible por su probabilidad de ocurrir y luego sumando estos productos.

Para explicar esta idea veamos el siguiente ejemplo, jugando a los dados. Supongamos un juego con un solo dado en el que un jugador puede escoger un número de 1 a 6 y luego lanzar el dado. Si la apuesta que hace el jugador es de $1000, la regla establece que pierde los $1000 cuando al lanzar el dado no sale el número escogido, pero gana $5000 cuando cae en el número escogido, entonces, en este caso la probabilidad de perder es de (5/6) y la probabilidad de ganar es de (1/6); el resultado posible de la apuesta es por lo tanto:

(-1000)(5/6) o (5000)(1/6)

y el valor esperado se calcula sumando los productos de cada resultado por su probabilidad de ocurrir; así que para el caso, el valor esperado es:

(-1000)(5/6) + (5000)(1/6) = 0

y por lo tanto este es un juego justo.

Ahora cambiemos las reglas y planteemos un nuevo juego en el que se realizan tres lanzamientos de un dado de tal manera que la apuesta de $1000 arroje cuatro posibles resultados: 

1. Se pierden los $1000 si no sale el número elegido en ninguno de los tres lanzamientos.
2. Se ganan $1000 si cae el número en uno de los tres lanzamientos.
3. Se ganan $2000 si sale dos veces el número en los tres lanzamientos.
4. Se ganan $3000 si cae el número escogido en cada uno de los tres lanzamientos.

En este caso el valor esperado se consigue, como antes, multiplicando cada resultado posible por su probabilidad de ocurrir y luego sumando estos productos:

1. La probabilidad de que no caiga el número en ningún lanzamiento es de 

2. La probabilidad de que en uno de los tres lanzamientos salga el número elegido es de:

3. La probabilidad de que el número elegido salga en dos de los tres lanzamientos es:

(d)  La probabilidad de que el número elegido salga en los tres lanzamientos es:

El resultado posible de la apuesta es entonces:

(-1000)(0,5787),  (1000)(0,3473), (2000)(0,0695) y (3000)(0,0046)

y el valor esperado será la suma de esos valores:

(1000)(-0,5787 + 0,3473 + 0,1390 + 0,0138) = (1000)(-0,0786) = -78,60

Esto significa que cada apuesta de $1000 representa una pérdida de $78,60; es decir del 7,86% y por lo tanto este no es un juego justo ya que el valor esperado no es cero, pero además es desfavorable porque el valor esperado es negativo (como ocurre en un casino con los juegos de azar puro); así que no sería aconsejable jugar bajo esas reglas. 

Un bonito ejemplo para analizar es el del juego, mundialmente conocido, que no necesita apoyo en dados, cartas, monedas ni artefacto o instrumento alguno, distinto a los dedos de una mano; me refiero al juego denominado como «Pares y Nones». Es el juego utilizado frecuentemente para discernir ciertas disputas como por ejemplo sobre quién hace el saque inicial para comenzar un partido de fútbol. En una de sus variantes el juego consiste en que uno de los dos jugadores elige Pares y el otro Nones (o impares). A continuación, ambos jugadores, que suelen ser los capitanes de los equipos que se van a enfrentar, muestran a la vez su mano, que bien puede estar empuñada (o sea sin ningún dedo extendido) o con uno o más dedos extendidos. Si la suma de los dedos extendidos de las manos de ambos jugadores es par, ganará el jugador que eligió Pares; de lo contrario gana quien eligió Nones.

¿Es este un juego justo? Veamos: para que pueda ser llamado justo, el juego debe ofrecer la misma probabilidad de ganar. La probabilidad aquí no es otra cosa que el cociente entre los casos favorables sobre los casos posibles, tal como lo establece la regla de Laplace. 

Un jugador puede tener 0, 1, 2, 3, 4 o 5 dedos extendidos; o sea 6 posibilidades, que son las mismas del otros jugador. Por lo tanto, en total hay 6×6 = 36 posibilidades. 

Los casos favorables se pueden contar fácilmente: si un jugador ha elegido la opción Pares, entonces los casos favorables tanto para él como para el jugador contrincante que ha elegido Nones son exactamente 18. 

En efecto, para el caso de Pares, son las sumas que dan como resultado uno de los siguientes números pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, que se consiguen con los siguientes números de dedos extendidos de los dos jugadores (la primera componente corresponde uno de los jugadores y la segunda al contrincante):

(0,0), (0,2), (0,4), (1,1), (1,3), (1,5), (2,0), (2,2), (2,4), 

(3,1), (3,3), (3,5), (4,0), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,5)

en total hay 18.

De la misma manera, para el caso de Nones, son las sumas que arrojan como resultado uno de los siguientes números impares: 1, 3, 5, 7, 9, que son también en total 18 y se consiguen con los siguientes números de dedos extendidos de los dos jugadores:

(0,1), (0,3), (0,5), (1,0), (1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (2,5), 

(3,0), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (4,5), (5,0), (5,2), (5,4).

La probabilidad de que la suma del número de dedos extendidos de los dos jugadores sea par es la misma probabilidad de que esa suma sea impar. En cada caso hay 18 casos favorables de 36 posibles y la probabilidad es entonces de 

18/36 = 1/2 

en cada caso, con lo que podemos concluir que este es un juego justo porque cada jugador tiene las mismas posibilidades de ganar.

Pero ¿qué ocurriría si si no fuesen cinco los dedos que se pueden usar? La pregunta puede parecer absurda, pero no lo es, como veremos a continuación. Podría aceptarse una regla adicional y es que el dedo meñique no pueda ser usado por ninguno de los jugadores, por ejemplo; pero más interesante y divertido resulta analizarlo en el mundo de «Los Simpson» como lo leí hace un tiempo, gracias a un artículo publicado en «gaussianos.com» (uno de los mejores portales de matemáticas en español) en el que se pregunta si el juego de «Pares y Nones» jugado por los «Los Simpson» sería un juego justo, teniendo en cuenta que estos personajes solo tienen 4 dedos en cada mano.

En este caso cada jugador tendría la posibilidad de mostrar 0, 1, 2, 3, 4 dedos extendidos; es decir que hay 5×5 = 25 posibles resultados. Para quien se incline por Pares puede ganar en los casos siguientes:

(0,0), (0,2), (0,4), (1,1), (1,3), (2,0), 

(2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,0), (4,2), (4,4)

es decir en 13 posibles resultados.

El jugador con la opción de Nones tiene los siguientes casos favorables:

(0,1), (0,3), (1,0), (1,2), (1,4), (2,1), 

(2,3), (3,0), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)

que en total son 12.

Por lo tanto la probabilidad de ganar para el jugador de opción Pares es 13/25 = 0,52 mientras que la probabilidad de ganar del jugador de opción Nones será 12/25 = 0,48.

Entonces en el mundo de «Los Simpson» el juego de «Pares y Nones» no es justo y es favorable para quien elija la opción Pares.

Este tema de los juegos justos fue estudiado a profundidad desde finales del siglo XIX dando origen al concepto de «Martigala», que es un proceso estocástico de gran utilidad tanto en Pobabilidad como en Economía y Finanzas y que encontró aplicaciones inesperadas en la valoración de opciones.

@MantillaIgnacio