Se cumplen 120 años este 8 de agosto, de la más famosa conferencia de matemáticas de la historia reciente. Se trata de la que ofreció el matemático alemán David Hilbert en el marco del II Congreso Internacional de Matemáticas que tuvo lugar en París, entre el 6 y el 12 de agosto de 1900.
La trascendencia de la conferencia magistral de Hilbert, realizada en el umbral del siglo XX, radica en el derrotero que trazó para avanzar en la investigación matemática futura, al plantear 23 problemas que deberían ser el mayor reto de los matemáticos.
Así comenzó Hilbert su exposición ese día: “… ¿Quién, entre nosotros, no estaría feliz de levantar el velo detrás del cual está escondido el futuro, poder mirar fijamente los desarrollos de nuestra ciencia y los secretos que se develarán en los siglos que vienen? ¿Hacia qué lugar apuntará el espíritu de las futuras generaciones de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelará el nuevo siglo en el rico y vasto campo del pensamiento matemático?…”.
Hilbert agrupó por áreas los problemas que expuso y uno de los grupos lo conforman seis problemas de Teoría de Números, registrados como los problemas del 7 al 12. En este grupo se encuentran dos de los más famosos, aún sin resolverse hoy: la Hipótesis de Riemann y la Conjetura de Goldbach, que aparecen en el octavo problema, relativo a la distribución de los números primos.
El gran interés de Hilbert por la Hipótesis de Riemann (formulada por Bernhard Riemann en 1859) ha hecho muy famoso a este problema en particular, que para decirlo en unas palabras de moda en Colombia, “goza de presunción de verdadera”, desde cuando Hilbert dijo: “Si yo me despertara después de haber dormido durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿Ha sido demostrada la Hipótesis de Riemann?”.
Actualmente demostrar la Hipótesis de Riemann es un reto catalogado como uno de los siete problemas del milenio y el Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares a la primera persona que la demuestre.
El otro problema antes mencionado es la Conjetura de Goldbach, un bello problema de la Teoría de Números, fácil de comprender, pero difícil de resolver si se tiene en cuenta que no se ha podido demostrar ni refutar desde hace cerca de 300 años. En efecto, en 1742 el matemático prusiano Christian Goldbach le envió una carta al gran matemático suizo Leonhard Euler planteándole el problema de demostrar la siguiente conjetura:
“Todo número par mayor que 2 puede expresarse como suma de dos números primos”.
Euler no logró una demostración y desde entonces se ha convertido en un reto para muchos matemáticos. Por cierto, esta conjetura ha sido el tema central de una excelente novela (que recomiendo leer), “El tío Petros y la Conjetura de Goldbach”, del matemático griego Apostolos Doxiadis.
Para entender la Conjetura de Goldbach, obsérvese que por ejemplo,
6 = 3+3,
8 = 3+5,
10 = 3+7 = 5+5,
16 = 3+13 = 5+11,
18 = 5+13 = 7+11, etc.
Pero aunque demos infinitos ejemplos, ellos no constituyen una demostración; en cambio bastaría encontrar un solo número par, mayor que 2, que no pueda escribirse como la suma de dos primos, para refutarla.
Hace poco, en 1995, la conjetura conocida como “El Último Teorema de Fermat”, tras tres siglos y medio de infructuosos esfuerzos, fue finalmente demostrada por el matemático británico Andrew Wiles y se convirtió entonces en un auténtico teorema. Desde entonces, la reina de las conjeturas de la Teoría de Números es la de Goldbach, considerada como uno de los problemas más difíciles de la historia de las matemáticas.
Una variante de este problema es la conjetura conocida bajo el nombre de “Conjetura Débil de Goldbach”, planteada por Goldbach en la misma carta dirigida a Euler, que afirma:
“Todo número impar mayor que 5 se puede expresar como suma de tres números primos”.
Por ejemplo,
7 = 2+2+3,
9 = 3+3+3,
11 = 3+3+5,
27 = 3+5+19 = 3+7+17,
35 = 3+13+19, etc.
Este problema fue resuelto, tras 271 años, por el matemático peruano Harald Andrés Helfgott. El trabajo, publicado en el año 2013 contiene la demostración que ocupa 133 páginas y se basa en un trabajo previo de más de 100 páginas.
No obstante la Conjetura de Goldbach sigue siendo un problema abierto, ya que de la Conjetura Débil no se puede deducir la fuerte. Interesante es observar cómo, en cambio, si se demuestra la Conjetura de Goldbach, se deduce trivialmente la Conjetura Débil de Goldbach. En efecto, basta restar 3 al número impar n mayor que 5 para obtener el par n-3 que se escribe como suma de dos primos.
Por ejemplo si n = 27, tenemos:
27-3 = 24. Como 24 es par, se puede escribir como suma de dos primos (24 = 11+13) entonces:
27 = 3+11+13 (suma de tres números primos).
Ojalá pronto tengamos resuelta la Conjetura de Goldbach y la Hipótesis de Riemann para que Hilbert pueda despertar tranquilo y revisar qué se ha hecho desde su famosa conferencia del 8 de agosto de 1900.
@MantillaIgnacio