El gran escritor ruso León Tolstói (1828 -1910), mundialmente conocido por ser el autor de obras tan famosas como Guerra y Paz, hizo también famoso un bonito problema de matemáticas que se conoce como “El problema de los segadores de Tolstói”
En su libro Álgebra Recreativa, Yakov Perelman menciona el gusto del escritor por el campo y por las matemáticas, y en especial por este problema que sabía de memoria y ponía de ejemplo para aplicar las matemáticas en el trabajo del campo. Afirma también que “en los recuerdos acerca de León Tolstói, el conocido físico A. Tsinguer, refiere el problema de los segadores que agradaba en extremo al eminente escritor”.
Voy a tratar de plantear el problema de los segadores, es decir de quienes cortan hierba con la hoz, adaptándolo a nuestra época y a nuestro medio, cambiando la hoz por la guadaña y a los segadores los voy a llamar también con el sinónimo de guadañeros (como se acepta llamarles a los segadores que utilizan una guadaña, según la RAE). Con esta aclaración, el problema de matemáticas que más disfrutaba Tolstói se puede presentar de la siguiente manera:
“Una cuadrilla de segadores (o guadañeros) debía guadañar dos prados. Uno tenía doble superficie que el otro.
Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande; después de almorzar, una mitad de la gente quedó en el prado grande y la otra mitad trabajó en el pequeño.
Durante esa tarde fueron terminados los dos prados, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuyo corte ocupó el día siguiente completo a un solo guadañero.
¿Con cuántos segadores contaba la cuadrilla?”
Estoy seguro de que León Tolstói conocía de memoria la respuesta, pero no he podido encontrar referencia alguna al método que él usó para encontrarla, y solo se menciona que disfrutaba mucho explicando la solución. He retomado el problema para compartirles, en forma de artículo, la solución que he logrado sin recurrir al planteamiento de ecuación alguna y así poder deleitarles también a quienes sienten rechazo hacia las ecuaciones algebraicas. No obstante hay que mantener un buen nivel de concentración para no perderse en el procedimiento y en el razonamiento.
Mi solución es la siguiente: del texto del problema es trivial deducir que la cuadrilla debe componerse de un número par de segadores, pues dice que durante medio día toda la cuadrilla trabajó en el campo grande y durante el otro medio día (después del almuerzo) la mitad de la cuadrilla trabajó en el mismo campo hasta terminar por completo el corte del prado del campo grande. Si fuese impar el número de trabajadores no podría dividirse por mitad el grupo. Sin embargo este es un dato que no aporta mucho ahora y que más bien servirá al final para comprobar una característica que debe tener la respuesta.
Pero de lo anterior puede deducirse también un dato importante: el campo grande fue guadañado completamente por dos medias cuadrillas (igual a una cuadrilla) en la mañana y por media cuadrilla en la tarde; es decir que el campo fue guadañado por tres medias (3/2) cuadrillas en el día. Por lo tanto cada media cuadrilla hizo la tercera parte del trabajo; es decir que cada media cuadrilla guadañó (1/3) del campo grande.
El campo pequeño en cambio fue guadañado por media cuadrilla en medio día, más un guadañero trabajando durante todo el día siguiente. Esto significa que media cuadrilla guadañando el campo pequeño en media jornada realizó en el campo pequeño el trabajo equivalente al de guadañar (1/3) del campo grande, pero desconocemos aún qué porción del campo pequeño logró guadañar esta media cuadrilla durante la tarde. Sólo sabemos que la porción que quedó faltando es la que logra un solo segador en la siguiente jornada completa.
Ahora bien, como el campo grande es el doble del campo pequeño, la tercera parte (1/3) del grande es lo mismo que las dos terceras partes (2/3) del pequeño, lo que quiere decir que:
(*) media cuadrilla logra guadañar (2/3) del campo pequeño en medio día.
La última línea la he marcado con (*) pues, como veremos, es la clave que usaré para dar con la solución a la pregunta de Tolstói.
Procedamos empezando por el final: evidentemente la parte no guadañada del campo pequeño en el primer día debe ser su tercera parte (1/3), pues de (*) se deduce que esa fue la porción que quedó faltando para la segunda jornada. Y con esta información sabemos entonces que un solo trabajador logró guadañar la otra tercera parte (1/3) del campo pequeño en un día (el segundo día).
De esta última observación se sigue inmediatamente que si un trabajador logra guadañar la tercera parte (1/3) del campo pequeño en un día, dos trabajadores logran guadañar entonces el doble, o sea dos terceras partes (2/3) del campo pequeño en un día. Por lo tanto el doble de los guadañeros; es decir 4 trabajadores, lo harán en la mitad del tiempo que es medio día.
Hemos probado entonces que para guadañar (2/3) del campo pequeño en medio día se necesitan 4 guadañeros. Pero antes habíamos dicho (ver nuevamente la línea (*)) que ese fue el trabajo que realizó media cuadrilla.
Por lo tanto media cuadrilla está compuesta por 4 guadañeros, así que la cuadrilla completa debe tener el doble, o sea 8 trabajadores.
Y así hemos llegado al final obteniendo la respuesta buscada: 8 segadores conforman la cuadrilla.
Espero que este problema les haya entretenido tanto como para recordarlo cada vez que vean una cuadrilla de trabajadores guadañando nuestros parques y separadores de las avenidas. Y para recordar su solución, trate ahora de explicárselo a un niño; comprobará entonces que al enseñar se aprende mejor.
@MantillaIgnacio