¿Por qué el cero es par?

La respuesta a la pregunta del título de esta nota es absolutamente clara para los matemáticos y seguramente en esta línea ya muchos colegas hayan abandonado la lectura diciendo: ¡Qué trivialidad!

No obstante, con las nuevas medidas adoptadas en los municipios del país para contener la propagación del coronavirus, tales como “pico y cédula”, es tan frecuente esa pregunta o la variante “¿cero es par o impar?”, que más allá de explicar las razones de la paridad del cero, me he decidido a escribir sobre el tema para compartirles los motivos por los que, a mi juicio, existen tantas dudas.

Como no todos los lectores tienen por qué saberlo, es pertinente recordar que formalmente un número entero m es par si es múltiplo de 2, esto quiere decir que existe un entero n tal que 2×n = m; o sea que al dividir a m entre 2 se obtiene un entero y el residuo es cero.

Claramente 0x2 = 0, por lo tanto 0/2 da como resultado exactamente 0, entonces el residuo de esa división es 0 y por lo tanto 0 es par. Por otra parte, a un número entero impar le antecede siempre un número par y nadie tiene problema en reconocer que el número 1 es impar, por lo tanto tiene un vecino par que le antecede, y ese es el número 0, ya que entre ellos no hay otro entero.

Para que nadie se sienta mal por no saberlo, les comparto que en una publicación de la BBC, de diciembre 2012, se menciona que una de las primeras ciudades en adoptar un sistema como el de “pico y placa” fue la ciudad de París, que ante un alarmante período de contaminación en 1977, limitó el uso del automóvil para que circularan alternándose día a día los de placas terminadas en un número par con los de placas terminadas en impares. Increíblemente la policía no sabía cuándo detener a los vehículos con matrículas terminadas en 0, situación que aprovecharon muchos conductores para que los dejaran circular todos los días. El mismo artículo cita la comunicación del alcalde de Nueva York en 2012 Michael Bloomberg, quien ante la escasez de combustible expidió un comunicado que decía: “Los que tienen placas que terminan en un número par o en cero podrán comprar gasolina o diesel sólo en los días de cifra par”. Así quedaba claro que el cero no era par, pero que por disposición del alcalde de Nueva York se incorporaba el cero al grupo de dígitos pares para que fuesen también cinco, como los dígitos impares. Y hay otros ejemplos de situaciones similares en ciudades de Europa y de América Latina.

Yo creo que una de las principales causas de las dudas sobre si el cero es par o no, está en la forma como contamos. De hecho, los romanos no tenían el cero y fue la cultura india la que lo introdujo en el siglo VI, en un sistema numérico posicional, aunque también los Mayas lo tenían y lo representaban con una figura en forma de concha . Pero tardó varios siglos más en ser acogido en occidente tal y como lo conocemos hoy. 

El primer conjunto numérico, inventado por el ser humano, fue el de los números naturales y tal parece que aún hoy en día el cero es rechazado por llegar tarde a este conjunto. En efecto, entre los matemáticos hay todavía discrepancias al definir los números naturales; en algunos textos de matemáticas se usa la notación de la Ν doble, con la que se denotan los números naturales, seguida del subíndice cero para indicar el conjunto de los enteros positivos y el cero, porque no se acepta que esos, los positivos y el cero, son todos naturales. Pero hay construcciones muy importantes del conjunto de los números naturales que dependen del cero como punto de partida.

Comúnmente se enseña que los naturales son los números que sirven para contar y que hay que excluir el cero porque uno no diría en un bar, donde nos hemos reunido tres amigos: “tráiganos cero, una, dos cervezas”. Pero a favor del cero hay que aceptar que también cuenta; frecuentemente se escuchan expresiones como: “para mí una cerveza con cero alcohol”.

Las diferencias en el uso del cero para contar y para numerar son muy importantes y a diario las usamos indistintamente sin darnos cuenta: en Alemania, por ejemplo, los pisos de un edificio se numeran desde cero (Erdgeschoss) y no desde uno, de tal manera que si estamos en un edificio de 5 pisos y oprimimos el botón 3 en el ascensor, nos lleva al piso cuarto equivalente en nuestra forma de numerar; sin embargo coincidimos en Colombia y en Alemania al decir que el edificio tiene 5 pisos y si convocásemos a una reunión de propietarios de apartamentos de los pisos pares, los asistentes en Alemania serían los de los pisos numerados con 0, 2 y 4; mientras que en Colombia sólo irían los de los pisos 2 (que equivale al numerado con 1 en Alemania) y 4 (que correspondería al del número 3 en Alemania).

Como todos sabemos, en el Calendario Juliano no hubo año cero, por lo tanto en el Calendario Gregoriano vigente (basado en el Juliano) se empezaron a contar los años desde uno y no desde cero; como consecuencia, el segundo milenio se terminó en el año 2000; no obstante ese año, erróneamente, se celebró el inicio del tercer milenio. Aceptamos fácilmente que el último día de junio fue el pasado martes 30, pero nos cuesta aceptar que 2020 es el último año de la segunda década del siglo XXI y a comienzos de año oíamos decir en todas partes que empezábamos una nueva década. Al no contar desde cero sino desde uno, debemos aceptar y entender que el primer año de la nueva década será entonces el año 2021.

Un ejemplo importante, que ilustra la necesidad del cero, es el metro lineal. Imaginemos un metro que numera los centímetros, pero que comienza en 1 y no desde 0. Si queremos medir con él una tabla de 80 centímetros de largo, debemos extenderlo entonces hasta el centímetro marcado con el número 81 y no hasta el del número 80.

Estoy convencido de que la exclusión del cero en algunas formas de conteo como las de los ejemplos dados, son la causa principal de las dudas sobre su paridad; sorprendentemente cuando se pregunta a manera de sondeo si es par o impar, algunas personas responden que no es ni lo uno ni lo otro porque el cero no es nada.

Finalmente, no debemos olvidar que la edad sí se cuenta desde cero y cuando se cumple el primer año de vida ya se han vivido 12 meses; por lo tanto el año que transcurre entre el cumpleaños 9 y el cumpleaños 10 es el décimo de vida; lo que quiere decir que al cumplir los 10 se termina la primera y se inicia la segunda década de vida; así que cuando alguien cumple 50, alcanza entonces el sexto piso y no el quinto, como equivocadamente se celebra.

@MantillaIgnacio