Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

El que parte y reparte se queda con la mejor parte

Parece ser que la primera evidencia de un reparto justo en un pleito por tierras está en la historia que narra el momento de la separación de Abraham y su sobrino Lot en tierras de Canaán, cuando estos patriarcas decidieron terminar el conflicto por la escasez de tierras para sus rebaños, eligiendo Lot a Sodoma, la ciudad del valle del río Jordán y quedando Abraham obligado a dirigirse a Hebrón. Y se cree que fue justo porque Abraham hizo la división, pero Lot eligió su parte de primero.

Este método de reparto es considerado como el método ideal para repartir entre dos, bien sea para repartir una empanada o una finca, pues ambos quedan satisfechos. Y el método se ha extendido a repartos entre más de dos personas, pero cuando son muchos los beneficiarios aparecen complejidades que se han querido resolver matemáticamente, dando así origen a un problema que ha cautivado a algunos matemáticos por años.

Para comprender la dificultad del problema cuando se plantea para un reparto entre un número arbitrario de personas, vamos a mirar el caso particular de un grupo de tres personas que se quieren repartir una torta, de tal manera que cada una de las tres quede satisfecha con la porción que reciba, aunque cada una de las personas valore las características de la torta de manera diferente, bien sea por las frutas del decorado, por la cantidad de crema, por la cobertura de chocolate o por la masa.

Supongamos que la torta se repartirá entre Alicia, Beatriz y Carlos (para no usar A, B y C), evitando que al final algunos de ellos codicie el pedazo del otro. Carlos divide la torta en tres partes de tal manera que las tres porciones, según su criterio, resulten igualmente apetitosas. Seguidamente Beatriz y Alicia señalan el pedazo que cada una prefiere. Si escogen porciones distinta entonces Carlos toma el pedazo no escogido por alguna de ellas y allí termina el reparto.

Pero si Beatriz y Alicia escogen la misma porción entonces hay que entrar a dirimir esta  preferencia por esa porción. En este caso Beatriz debe cortar una pequeña rebanada de esa porción que ambas quieren (la rebanada se reserva para más tarde), de modo que la porción que queda resulte tan valiosa como las otras dos ya cortadas originalmente. Ahora Alicia toma el trozo que prefiere de los tres disponibles. Luego lo hace Beatriz, pero esta vez con una condición: si Alicia no escogió la porción recortada, ella deberá llevársela. Por último Carlos toma la tercera porción, la que ninguna de ellas ha elegido.

Obsérvese que hasta aquí ninguno de los tres debe envidiar la elección de otro. En efecto:

  • Alicia está satisfecha, pues ha elegido primero. 
  • Beatriz está satisfecha porque su segunda opción era igualmente valiosa para ella, ya que fue ella misma quien las igualó al cortar la pequeña rebanada.
  • Carlos está satisfecho, pues elige entre dos de las tres porciones originales que eran igualmente apetitosas según su punto de vista.

Ahora sigue el problema de repartir la pequeña rebanada en tres partes iguales para que todos queden satisfechos. Entonces se procede de la siguiente manera: Beatriz es la encargada de partirla en tres partes igualmente valiosas según su criterio. La primera en elegir ahora es Alicia, le sigue Carlos y por último Beatriz. Es posible que se repita el caso ya expuesto si ahora Alicia y Carlos quieren la misma parte y habría que repetir el proceso.

Es fácil imaginar que el reparto puede llevar a un ciclo en el que al final solo se distribuyan boronas. Pero es posible dividir la torta sin caer en un bucle infinito de divisiones y elecciones si se tiene en cuenta que Carlos debería estar más que contento con su porción de torta: no debe sentirse engañado aunque quien se lleve la porción recortada se lleve también toda la rebanada que quedaba para repartir, pues la porción recortada más la rebanada equivalen a uno de los tres pedazos originales que el mismo estimó como igualmente valiosos, así que la rebanada pueden repartirla entre Alicia y Beatriz con el sistema de reparto entre dos.

Como podrán imaginar los lectores, el algoritmo del reparto resulta muy complejo cuando hay un número mayor de actores. Dividir una torta entre n comensales puede requerir M pasos, donde M es igual a n elevado a la n elevado a la n muchas veces y el mismo número de tajadas de la torta. La mejor estrategia parece ser que quien ya puede estar satisfecho, como es el caso de Carlos en el ejemplo expuesto de tres comensales, abandone su interés en las rebanadas que se van a cortar posteriormente, independientemente de quién se las lleve, y así disminuya el número de participantes progresivamente.

Este entretenido problema es una buena ilustración de cuán difícil es ser justos a la hora de repartir. Pero ojalá, hasta en los repartos más simples, aceptemos ciertas reglas para que la injusticia no se propague, evitando ser parte en el dicho:

El que parte y reparte se queda con la mejor parte”

@MantillaIgnacio

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