Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Números piramidales

Se celebra hoy el Jueves Santo, que coincide con la llegada del mes de abril y que encierra una curiosidad matemática que quiero compartirles al observar que se trata del día 91 del año 2021.

El número 91 es el sexto número piramidal, esto quiere decir que:

1²+2²+3²+4²+5²+6² = 91

y se le llama piramidal porque si se apilaran esferas iguales (imaginen las bolas que se usan en el deporte de los bolos) para formar una pirámide con base cuadrada, el número de bolas necesarias para alcanzar una altura de n esferas es el n-ésimo número piramidal, como lo indica la siguiente ilustración de cómo formar una pirámide con 30 esferas, que corresponde al cuarto número piramidal:

30 =1²+2²+3²+4².

 

En el caso que nos ocupa, se necesitan entonces 91 bolas para formar una pirámide que tenga como base un cuadrado de 6×6 bolas. 

Los números piramidales aparecen como consecuencia de la pregunta que formuló Sir Walter Raleigh al matemático Thomas Harriot en 1587, antes de emprender una expedición a América, sobre cuál sería la mejor forma de apilar balas de cañón en su barco. El problema se le trasladó al famoso astrónomo Johannes Kepler, quien en 1611 formuló lo que se ha dado en llamar “la conjetura de Kepler”: la forma de pirámide es la manera óptima de amontonar esferas en el menor espacio posible. Esta afirmación, sin embargo, solo fue demostrada cuatro siglos después por Thomas Hales quien publicó la prueba en el año 2005 en la revista Annals of matemathics.

La respuesta sobre la mejor manera de apilar esferas dio origen a otro famoso problema conocido bajo el nombre de “problema de las balas de cañón” (cannonball problem): si tenemos una pila piramidal de balas de cañón (esferas) y queremos disponerlas en el suelo formando un cuadrado, ¿cuántas soluciones podemos encontrar? El problema fue planteado en 1875 por el matemático francés Édouard Lucas. 

Además de la solución trivial 1, sorprende la enorme dificultad para dar respuesta a una pregunta aparentemente fácil de responder. En efecto, debe plantearse una ecuación diofántica para determinar cuáles números son simultáneamente cuadrados y cuadrados piramidales.

No fue hasta 1918 que el matemático inglés George Neville Watson demostró que la única solución no trivial es la que arroja como resultado que se necesitan 4900 balas de cañón para conseguir un cuadrado de 70×70 y una pirámide de 24 balas de altura. 

Matemáticamente quiere decir que 24 y 70 son los únicos números (diferentes de 1) que satisfacen lo exigido:

1²+2²+3²+···+23²+24² = 70².

Así, los cuadrados con lados de 1 a 24 suman un área igual a la del cuadrado de lado 70.

Finalmente una recomendación: cuando vaya a apilar naranjas o manzanas en forma piramidal tenga en cuenta que las matemáticas están en todas partes y le pueden ayudar a hacerlo de manera óptima.

@MantillaIgnacio 

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