Números colombianos: ¿sabe cuáles son?

Los lectores, en su mayoría, sentirán la misma curiosidad que yo experimenté la primera vez que encontré en la literatura especializada la referencia a un subconjunto infinito de números naturales llamados “números colombianos”. Y no es una broma, más bien es motivo de orgullo tener tan originales e importantes compatriotas. 

Creo que el origen del nombre, sin estar completamente seguro de ello, está en un artículo publicado en 1974, en la revista The American Mathematical Monthly Vol. 81, N.4, en el que el profesor de la Universidad de Winsconsin, D. W. Bange, da la solución a un problema planteado un año antes por el matemático colombiano Bernardo Recamán Santos, consistente en demostrar que en cualquier base existen infinitos números que él llama “decimales colombianos”. Posteriormente el gran divulgador científico, Martin Gardner (1914-2010), incluyó en su libro titulado “Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas”, unas páginas para los números con esas mismas propiedades y desde entonces se volvieron más conocidos.

Para presentarles los números colombianos me voy a restringir a la base 10, que es con la que más familiarizados estamos. 

La definición, que pasaré a explicar luego, es la siguiente: “Los números colombianos son los enteros positivos que no pueden ser expresados como la suma de otro entero con la suma de sus cifras”.

Esta es una de esas definiciones que se entiende mejor si primero conocemos algunos números que no la cumplen, es decir números que no son colombianos. Veamos un buen ejemplo para ilustrarlo: obsérvese que si tomamos un número entero, como el número 12 y lo sumamos con sus cifras, tenemos:

12+1+2 = 15, 

esto quiere decir que el número 15 no es colombiano.

De la misma manera:

13+1+3 = 17,

14+1+4 = 19,

15+1+5 = 21,

significa que 17, 19 y 21 tampoco son colombianos, pues todos esos números pueden obtenerse como la suma de otro entero con sus cifras. Pero en cambio el número 20 no se puede obtener de esa manera y es fácil verificar que no existe un entero que al sumarle sus cifras nos dé como resultado 20. Por lo tanto, 20 es colombiano.

Si ensayamos con el número 103, por ejemplo, tenemos que:

103 = 92+9+2,

eso quiere decir que no es un número colombiano, pero adicionalmente, también lo podemos escribir como:

103 = 101+1+0+1,

por lo tanto, cuando un número no es colombiano, puede haber más de un entero positivo encargado de negarle la nacionalidad colombiana.

Los primeros números colombianos, menores que 100, son solo 13 y hay solo 8 números colombianos de dos cifras:

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.

Obsérvese que todos los dígitos impares son colombianos y podrían usarse para medidas como las de “pico y cédula”.

Entre 100 y 200 hay 10 números colombianos, al igual que entre 200 y 300, ellos son:

108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288 y 299.

En realidad, cualquier número entero positivo puede ser un “número generador”, es decir una semilla que va arrojando una sucesión de números no colombianos; así por ejemplo, si escogemos un número al azar, colombiano o no, digamos el número 190 (= días transcurridos de este año) obtenemos los siguientes números que entonces no pueden ser colombianos: 

190+1+9 +0 = 200,

200+2+0+0 = 202,

y así sucesivamente: 206, 214, 221, 226, 236, 247, 260, …

Los números colombianos son entonces aquellos que no tienen un generador como el del ejemplo anterior y este hecho puede usarse para idear un algoritmo que facilite una forma de encontrarlos. 

Los números colombianos forman un conjunto infinito; por ejemplo, partiendo de 

C(1) = 9 como valor inicial, la sucesión definida por medio de:

C(k) = 8×[10ˆ(k-1)] + C(k-1) + 8 para k = 2, 3, 4, …

produce un número colombiano para cada valor de k, por lo tanto C(k) aporta una lista infinita de números colombianos, aunque no a todos; los primeros son:

9, 97, 905, 8913, …

Los números colombianos también son llamados “autonúmeros” (Self Numbers), nombre con el que fueron descritos por primera vez en 1949 por el genial matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar, de quien les hablaré en otro artículo.

Un buen ejercicio matemático es el reto de saber si un número dado es o no colombiano. Propongo determinar si 2020 es colombiano o no; pero ha sido tan malo este año, que me inclino por creer que no es de los nuestros.

Algunos lectores podrán proponer un algoritmo para detectar la nacionalidad colombiana de cualquier número dado, en forma general. Por fortuna la nacionalidad colombiana de un número se otorga sin necesidad de pasar por las notarías o por la Registraduría; basta reconocer sus huellas en las matemáticas para acogerlo como propio.

@MantillaIgnacio