Hay un chiste que sirve para ambientar el tema que quiero abordar. Se trata de la historia en la que le dice un niño en la calle a un caballero que acaba de parquear su vehículo:
– ¿Le cuido el carro Mono?
– No niño, usted debería estar estudiando, seguro que ni sabe multiplicar.
– Eso sí lo sé, Mono. Pregunte para que vea que sí me sé las tablas. Apostemos una moneda de mil.
– Está bien, pero me responde rápidamente: ¿cuánto es 7×5? –dice el caballero–. Y responde de inmediato el niño:
– 36
– ¿Se da cuenta niño? Mejor vaya a la escuela a aprender.
– No Mono. Yo gané porque usted me dijo que quería velocidad, no precisión.
Los números son como las aceitunas: te gustan o las detestas. Pero a diferencia de éstas, los números te los sirven todos los días y no puedes rechazarlos porque los necesitas, así que es mejor reconciliarse con ellos y aprender a degustarlos, conociendo un poco más sobre cómo operan y cómo se clasifican.
Empiezo por recordar que entre los números reales, que son los que más frecuentemente usamos, podemos distinguir dos grandes conjuntos infinitos que son disyuntos, es decir sin elementos comunes. Se trata de los racionales y los irracionales. No puede haber un real que sea tanto racional como irracional y unos y otros aparecen mezclados, sin que sea posible separarlos fácilmente; no obstante al unirlos conforman el conjunto de todos los números reales que se pueden representar en una recta de tal manera que cualquier punto que elijamos sobre esa recta corresponde a un único número, bien sea racional o irracional.
Los racionales son fáciles de identificar, contienen a todos los enteros y siempre se pueden expresar como una fracción, es decir, como un cociente de dos números enteros, llamados numerador (la parte de arriba) y denominador (la parte de abajo) con la única restricción de que cero no sea nunca denominador porque ese cociente, escrito en forma decimal, es el resultado de dividir el numerador entre el denominador y no se puede dividir por cero.
Así por ejemplo
5/3 = 1,66666…
es un racional. Obsérvese que el dígito 6 se repite indefinidamente cuando ese quebrado se escribe como decimal; esa es una característica de todos los racionales, que escritos como decimales tienen una o varias cifras que aparecen repetidas periódicamente, infinidad de veces.
Los irracionales en cambio no pueden escribirse así, en forma de cociente de dos números enteros, y su representación en forma decimal se caracteriza porque tiene infinitos dígitos que no se repiten nunca en forma periódica indefinidamente, como por ejemplo el número
t = -1,123456789101112131415161718192021…
Seguramente para la mayoría de los lectores un ejemplo de un irracional que les resulta mucho más familiar es ese número positivo que al multiplicarlo por sí mismo es igual a 2, me refiero a:
√2 = 1,41421356237309…
Como se deduce fácilmente, los números irracionales no pueden escribirse en su forma decimal con todos sus dígitos porque estos son infinitos y no hay memoria suficiente en computador alguno que pueda entonces almacenar a un solo número irracional completo.
Tampoco es siempre fácil demostrar que un número dado es irracional. Así por ejemplo, desde Arquímedes se conocía el número π, pero solo 2000 años después, en 1766, el matemático alemán de origen francés Johann Heinrich Lambert dio la primera demostración de que π es irracional.
La dificultad para expresar a los irracionales en forma exacta, con todos sus dígitos, nos obliga a aproximarlos hasta un cierto número de cifras decimales. En la aritmética que se emplea en los computadores ocurre igual y prácticamente sólo un conjunto finito de racionales tiene la difícil tarea de representar a todos los números reales.
Muchos de los errores más famosos en los cálculos numéricos tienen su origen en una deficiente aproximación (ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/errores-matematicos-fatales).
Dependiendo del número de “Bytes” de memoria que se reserven en un computador para representar un número real, así será la precisión de su aritmética y el tiempo requerido para las operaciones. Un “Byte” es igual a 8 “bits” de memoria y cada “bit” puede almacenar solo un dígito binario; aunque cada vez tenemos equipos mejor dotados de memoria, esta siempre será una limitante; y en cuanto a la velocidad de cómputo, la computación cuántica ofrece una nueva expectativa que ojalá alcancemos a disfrutar en un futuro cercano.
Ahora bien, no siempre se necesita una excesiva precisión pues los costos en tiempo de cómputo para ejecutar los algoritmos pueden ser altos pudiendo evitarse. El uso de una aproximación correcta, que sea suficiente de acuerdo con las necesidades es siempre un reto. Y la escogencia del número de dígitos para aproximar un número irracional no es fácil. Lo voy a ilustrar con una de las más famosas estrellas de los irracionales como lo es el número π.
Si preguntamos el valor del número π a cualquier persona, habrá algunas, quizá la mayoría, que responderán que es 3,14. Esta aproximación es igual al número racional 157/50, pero ¿cómo saber si se trata de una buena aproximación? Lo natural es comparar con algunos dígitos más de su desarrollo decimal y examinar cuál es la coincidencia. El número π, escrito con sus primeras 12 cifras decimales es:
π ≈ 3,141592653589 si truncamos (o π ≈ 3,141592653590 si redondeamos),
así que la aproximación 3,14 no es mejor que otra recordada por muchas personas, con 4 cifras decimales; me refiero a 3,1416 que es justamente el redondeo de π con 4 cifras decimales. Pero escrita como una fracción entre enteros, esa aproximación corresponde a 3927/1250 que no es una fracción fácil de recordar. Ahora bien, si se compara la primera aproximación 157/50 con fracciones como
22/7 = 3,142857142857…
encontramos que esta última es una fracción más fácil de recordar y una sencilla y mejor aproximación. Es más sorprendente aún comprobar que la fracción
355/113 ≈ 3,141592920353…
que puede retenerse fácilmente, ofrece una aproximación de π, con 6 cifras decimales, dos más que la mencionada 3,1416 (= 3927/1250) y resulta ser entonces una excelente aproximación de π, a través de un número racional, por su «bajo costo».
De estas aproximaciones de irracionales por medio de racionales se han ocupado en forma general los matemáticos. En 1837 el matemático alemán Gustav L. Dirichlet demostró que existen infinitas maneras distintas de aproximar los números irracionales con fracciones, con un error que es inversamente proporcional al cuadrado del denominador. Más exactamente: si x es un número irracional cualquiera, existe un número infinito de racionales de la forma p/q tales que:
|x-p/q| < 1/q².
Este resultado permite estimar qué tan buena es la precisión en la aproximación y nos indica que al reemplazar un número irracional mediante una fracción, es el tamaño del denominador del racional el que determina el «precio» de la imprecisión o sea el tamaño del error.
No obstante, este es un resultado teórico y en la práctica no es simple escoger la aproximación. Este es un problema que mantiene todavía un interés muy grande, pues se trata de minimizar el error de una forma segura y como sucede frecuentemente en matemáticas, especialmente en teoría de números, un problema sencillo de entender, resulta muy difícil de solucionar.
@MantillaIgnacio