Al comienzo de cada año se suelen hacer predicciones y se acostumbra especular sobre cómo será el nuevo año en todos los órdenes. Por fortuna al comenzar este 2021 han tenido menos espacio los embusteros futurólogos y numerólogos que han perdido toda credibilidad, debido a la evidente pifia mundial que tuvieron en el 2020.
En matemáticas, este nuevo año ha dado origen a una serie de ejercicios aritméticos en torno al número natural 2021. Los cálculos y acertijos no pasan de ser una sana entretención llena de sorpresas, coincidencias y curiosidades que deleitan a todo público. Algunas de ellas son las que quiero compartirles hoy.
La más divulgada de las propiedades del número 2021 ha sido tal vez una curiosidad que raras veces se da: el número 2021 se escribe pegando dos enteros consecutivos, 20 y 21, y sus únicos factores primos son precisamente dos números primos consecutivos, 43 y 47.
Esta última propiedad es muy especial pues 43 y 47 son primos de la misma longitud, es decir que tienen la misma cantidad de dígitos, lo que caracteriza a los llamados números brillantes que se definen como aquellos enteros que se pueden escribir como el producto de dos primos de la misma longitud:
5083 = 13·17·23 no es brillante pues se factoriza con más de dos primos,
77 = 7·11 no es brillante porque los dos primos no tienen la misma longitud, pero nuestro
2021 = 43·47
es brillante, entonces podríamos decir que estamos viviendo un “año brillante”.
La suma de todos los divisores de 2021 da como resultado un número capicúa o palíndromo, es decir que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (la palabra capicúa viene del catalán cap i cua, ‘cabeza y cola’). En efecto:
1 + 43 + 47 + 2021 = 2112.
Pero también, si consideramos el número espejo de 2021, es decir el que se obtiene cambiando el orden de sus dígitos, o sea 1202, y los sumamos o los multiplicamos, nos da como resultado números capicúas:
2021 + 1202 = 3223
2021·1202 = 2429242.
El número 2021 se puede obtener también como la suma simétrica de números primos elevados al cuadrado:
7² + 11² + 41² + 11² + 7² = 2021
13² + 19² + 31² + 19² + 13² = 2021.
Y las curiosidades aritméticas no paran ahí. Obsérvese que 2021 es igual a 33 más la suma de los 33 primeros números primos:
33 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 = 2021.
También es sorprendente que si se escriben en orden ascendente todos los números primos menores que 100, es posible encontrar operaciones aritméticas de tal manera que al operar esos primos también obtenemos 2021:
2 · (3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89) + 97 +2 = 2021.
Dentro del conjunto de los números educados (polite numbers) encontramos también a nuestro número 2021. Estos son los que en teoría de números se definen como aquellos enteros positivos que se pueden escribir como suma de dos o más enteros consecutivos:
2021 = 20 + 21 + ··· + 65 + 66.
Aun cuando 2021 no es la hipotenusa de ningún triángulo rectángulo con catetos enteros, sí hace parte de dos triplas pitagóricas, es decir es el cateto de dos triángulos rectángulos de lados enteros:
(2021, 2042220, 2042221) porque 2021² + 2042220² = 2042221²
(2021, 180, 2029) porque 180² + 2021² = 2029².
2021 es un número Duffiniano, (llamados así por Richard Duffy) ya que no tiene factores comunes con la suma de sus divisores, en efecto:
43 + 47 = 90.
Y este año cada mes tendremos un día 21, de un año 21, de un siglo 21. Esos días a las 21:21 podremos brindar por vivir ese momento, especialmente en mayo, cuando estemos en la semana 21 del año.
Ahora bien, casi todos tenemos un número favorito, un dígito que nos gusta más que los otros por alguna razón y no necesariamente porque creamos en algún agüero, o porque lo usemos como si fuera un amuleto, pero para quienes gustan de las cábalas o para quienes sean supersticiosos, también el 2021 es especial, pues (matemáticamente) es un número apocalíptico. ¿Eso qué significa?
Así como se ha extendido la creencia de que ciertos números como el 13 son de mala suerte y así como la superstición en torno al número 666, llamado número del demonio, se ha generalizado, aprovechando esa simbología, en matemáticas se ha definido el conjunto de los números apocalípticos así:
Un número natural n se llama apocalíptico, si 2^n contiene la serie 666. El conjunto de los números apocalípticos es infinito, el primer número apocalíptico es el 157, el número 666 lo es también, por supuesto y nuestro número 2021 es el número apocalíptico 452.
Como se puede observar, las matemáticas pueden entretenernos, divertirnos y ofrecernos curiosidades para todos los gustos. Espero, en todo caso, que este nuevo año sea próspero para todos los lectores.
Matemáticamente,
@MantillaIgnacio