Un número primo es un número natural mayor que 1, que solo es divisible por 1 y por él mismo, como por ejemplo el número 7. Desde hace cerca de 2300 años el gran matemático griego Euclides demostró que hay infinitos números primos, recurriendo al método conocido como de reducción al absurdo, consistente en suponer que hay un número finito de primos y a partir de allí llegar a una contradicción. La demostración es simple, breve y contundente; una bellísima pieza matemática, que como una extraordinaria composición musical, bien vale la pena oír una y otra vez.
Supongamos que hay un número finito de primos y que
p1, p2, p3,… pn,
es la lista de todos los primos, entonces el número
q := (p1 × p2 × p3 × … × pn) + 1
no hace parte de esa lista, pues es mayor que todos, luego q no puede ser primo, ya que estamos suponiendo que en la lista están todos. Entonces q debe tener un divisor primo, que tampoco puede estar en la lista porque al dividir a q entre cualquiera de ellos, el residuo es 1 y no 0. Por lo tanto hay al menos un primo que no está en la lista y esto es una contradicción.
Siendo este un resultado tan importante, se esperaría que otras afirmaciones sobre los números primos fuesen también fáciles de demostrar, pero desafortunadamente no es así y existen conjeturas como la formulada por el matemático prusiano Christian Goldbach en 1742, según la cual todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos, que aún hoy, casi tres siglos después, no ha podido demostrarse ni refutarse. No obstante el empeño para lograrlo ha permitido descubrir y desarrollar áreas muy activas de la matemática y la computación.
La importancia de los números primos está ampliamente reconocida y la fascinación por todos los secretos que guardan es siempre creciente. Pero así como estudiamos los primos y buscamos y descubrimos cada día primos más grandes recurriendo a potentes computadores y técnicas como el cálculo en paralelo, hay otros números, de gran utilidad, que justamente sobresalen por estar en el polo opuesto de los primos, los “anti-primos”, que se caracterizan por tener muchos divisores; es decir que la pobreza de divisores que acompaña a un primo es la riqueza de estos.
Un interés muy especial por estos números fue el que atrajo la atención del genio matemático indio Srinivasa Ramanujan (1887 -1920), de asombrosa e innata intuición y de quien el matemático británico John Littlewood afirmó: «Cada número es amigo personal de Ramanujan».
A los números con muchos divisores Ramanujan los llamó “números altamente compuestos”. Formalmente un número m es altamente compuesto si todo número menor que m tiene menos divisores de los que tiene m. Así por ejemplo 24 es un número altamente compuesto porque tiene 8 divisores y cada numero menor que 24 (1, 2, 3, …, 23) tiene menos de 8 divisores. El número 16 no es altamente compuesto, pues tiene cinco divisores: 1, 2, 4, 8, 16 y hay números menores que 16 con más divisores; el 12, por ejemplo, tiene 6 divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
El número 5040, que se obtiene multiplicando los primeros siete enteros positivos:
5040 = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7
tiene 60 divisores y es altamente compuesto; por cierto este número fue considerado por Platón como ideal para el número de ciudadanos en una ciudad, precisamente por su carácter altamente compuesto, lo que ofrece la posibilidad de dividir la población en innumerables combinaciones.
Ramanujan encontró numerosas propiedades de los números altamente compuestos y transmitió al famoso matemático británico Godfrey Harold Hardy su pasión por los números con muchos divisores.
Comúnmente se cree que una “cifra redonda” como 100 es la ideal para las escalas. Eso no es del todo cierto, pues 100 no es un número altamente compuesto, mientras que 60 o 120 sí lo son. De hecho, 100 solo tiene 9 divisores, mientras que 60, siendo menor, tiene 12.
Desde la antigua Mesopotamia se nos enseña que un círculo se divide en 360 partes (no en 100), y es que el número 360 es altamente compuesto, tiene 24 divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 y 360 y se facilitan sus divisiones, que resultan bastante simples, mientras que 100, al intentar dividirlo en tres partes, por ejemplo, ya arroja un resultado que no es entero.
El 360 es fácilmente divisible, ideal también para los cálculos en el comercio. También se usó en calendarios antiguos para redondear la duración de un año. Es claro entonces que la división horaria en 60 minutos y no en 100 tiene ventajas innegables por las que seguramente prevalecerá, facilitando la creación de bellos relojes en forma de círculo con 60 divisiones.
Comparto una anécdota final. Entre matemáticos y físicos siempre ha existido una gran rivalidad y unos y otros hacen chistes de los otros. En una ocasión muy especial, asistiendo en la Universidad de Mainz (Alemania) a la celebración del cumpleaños número 60 de un colega matemático, uno de los asistentes se dirigió al numeroso grupo de matemáticos y físicos que asistíamos a la reunión para hacer el brindis y dijo: “En nombre de todos quiero felicitarlo por su cumpleaños 60. Este es un número muy especial, es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 5, por 6. Como dirían los físicos, es divisible por todos los números. ¡Salud!”.
@MantillaIgnacio