La pregunta sobre cuál es el número más grande que uno puede imaginar no es fácil de responder y no debe confundirse con la pregunta sobre cuál es el número más grande que conoces y que describe una distancia, una velocidad, un precio o una cantidad de estrellas.
Hace un tiempo escribí sobre cómo esta pregunta, formulada por el profesor de la Universidad de Columbia Edward Karsen a su sobrino de nueve años, dio origen a la palabra Google [gúgol] que se define como un uno seguido de cien ceros:
1 gúgol = 10^100 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.
(ver https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/origen-la-palabra-google).
Cualquier número que imaginemos, por grande que nos parezca, puede superarse inmediatamente, basta sumarle 1 por ejemplo. Y una pregunta semejante es ¿cuál es el número positivo más pequeño que puedes imaginar? También, como antes, por pequeño que nos parezca alguno, lo podemos hacer aún más pequeño, multiplicándolo por 0,5. Pero hay una diferencia sustancial: el número más grande no tiene un referente que sea inalcanzable, mientras que el número positivo más pequeño no podrá ser igual o menor que el cero.
En la aritmética de máquina en cambio, sí hay un número más grande y un número positivo más pequeño, y el tamaño de éstos en los computadores que usamos para calcular depende de los bytes de memoria que se reserven para representar un número real. Cuando los cálculos en un computador arrojan algún número que sobrepasa al más grande que puede dominar la máquina, hay un desbordamiento y se presenta lo que los programadores leen con frecuencia en sus pantallas, overflow, y el proceso se detiene inmediatamente. Los lectores pueden también observarlo en una calculadora: obtener 2^200 no presenta ningún problema en una calculadora común, pero calcular 2^600 ya arroja como resultado “Error” en la mayoría. De la misma manera, cuando se llega a un número positivo muy pequeño, menor que el mínimo que domina la máquina, se presenta otro desbordamiento (underflow), pero comúnmente ese número se aproxima a cero y el proceso aritmético no siempre se detiene debido a este arrastre.
Por otra parte, la distribución de los números reales en la aparente recta real que puede dominar un computador no es uniforme y cerca al cero hay una mayor densidad. Así que en realidad, cualquier computador, por poderoso que sea, solo puede tener a su alcance un número finito de números (racionales) para representar a todos los reales y en ese sentido, nunca una máquina podrá operar algunos números que la mente humana es capaz de imaginar y dominar. Y también, por esas razones, hay ejemplos de resultados falsos con el computador, y de aproximaciones insuficientes que son una barrera para el cómputo y los cálculos que requieren gran precisión. Hay ejemplos que ilustran cómo estas aproximaciones han costado hasta la pérdida de vidas humanas (Ver: https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/errores-matematicos-fatales).
Pero volviendo a la pregunta original, la búsqueda de una respuesta nos debe poner de presente el significado del concepto de “infinito”. Así por ejemplo, desde hace unos 2300 años el matemático griego Euclides demostró que el conjunto de los números primos es infinito, pero conocer un número primo muy grande es otra cosa; no basta con imaginarlo, hay que demostrar que en efecto ese número es primo. Hasta ahora el mayor número primo conocido es el llamado M82589933 que se consigue como 2 elevado a la 82589933, menos 1; una característica por la que es uno de los primos de Mersenne, llamados así en honor a un monje matemático francés del siglo XVII con ese nombre, quien los agrupó como especiales porque son de la forma 2 elevado a un primo, menos 1; por ejemplo 7 es un primo de Mersenne, pero 13 no lo es. El número M82589933 es el quincuagésimo primer número primo de Mersenne y fue encontrado en el año 2018; tiene casi 25 millones de dígitos, cerca de dos millones más que el récord anterior, que había sido encontrado un año antes. Para imprimirlo necesitaríamos unas 10.000 páginas, usando una fuente del tamaño de estas letras.
Pero si nos salimos de este mundo de los números primos para continuar buscando la respuesta a la pregunta del título, encontramos grandes ideas para tratar de expresar el significado de números que parecen ser infinitamente grandes o que se acercan a lo que entendemos por infinito. Por ejemplo Albert Einstein lo resolvió apartándose de los números para dar un famoso ejemplo de infinito, cuando dijo que: “Dos cosas son infinitas: la estupidez humana y el universo; y no estoy seguro de lo segundo”.
Existe una buena lista de números muy grandes que tienen nombre propio y que son difíciles hasta de leer correctamente. Por ejemplo el número de Safford:
133.491.850.208.566.925.016.658.299.941.583.255
que se lee: 133.491 quintillones 850.208 cuatrillones 566.925 trillones 16.658 billones 299.941 millones 583.255.
El nombre de este número es en honor a Truman Henry Safford, quien en 1846 lo obtuvo mentalmente como el cuadrado del número
365.365.365.365.365.365.
Mayor que un gúgol, el número de Leviatán, nombre con el que se conoce a una bestia marina de tamaño descomunal, tiene, por su composición, un origen más bien supersticioso y se define como:
(10^666)! (donde ! significa factorial, recordemos que N! = 1×2×3×4×…×N ).
Ciertamente es un número grande, de casi 1600 dígitos, pero es pequeño comparado con el primo de Mersenne mencionado antes.
Y podría mencionar otros números grandes con nombre propio; eso aun cuando no responde la pregunta original, da ideas a los lectores para imaginar números muy grandes tales como un gúgol elevado gúgol veces a la potencia gúgol.
@MantillaIgnacio