Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Matemáticas y ajedrez

Desde su invención, el juego del ajedrez ha atraído como un imán no solo a los aficionados, sino también a los matemáticos, bien sea por su tablero que tiene un especial atractivo para los amantes de los “cuadrados mágicos” o por sus reglas que originan acertijos de variados grados de dificultad.

El ajedrez está ligado a las matemáticas y ha sido una fuente de inspiración de múltiples problemas y retos matemáticos, algunos de los cuales tienen fama universal.

La conocida historia acerca de su invención es ya un excelente ejemplo del significado de “crecimiento exponencial”, que hoy en día se usa tan frecuente y erróneamente como expresión. Para quienes no conozcan esta maravillosa historia, se las cuento brevemente a continuación.

Cuando el creador del juego del ajedrez, un legendario matemático de la India, de nombre Sessa, le presentó su invento a un poderoso rey de Oriente, éste quedó tan maravillado que le ofreció la recompensa que quisiera. Sessa le pidió entonces al rey algo que parecía bastante humilde: que por el primer cuadro del tablero le diera un grano de trigo, por el segundo dos granos, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, y así sucesivamente hasta el último con el doble de granos del penúltimo. El rey ordenó que hicieran la cuenta y entregaran a Sessa un costal con el trigo que había pedido.

Pero al rato, cuando los tesoreros del reino terminaron las cuentas, tuvieron que informar al rey que era imposible satisfacer a Sessa con esa recompensa, lo que molestó al rey.

En efecto, el inventor pedía lo correspondiente a la suma de potencias de 2, desde 2° = 1 hasta 2 elevado a la potencia 63. Esa suma es igual a: 

2^64 – 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Si escribimos en palabras esta cantidad, debemos decir: dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y uno mil seiscientos quince granos de trigo.

 

 

Para tener una idea de la cantidad de trigo solicitado, vamos a estimarlo en toneladas métricas (Tm), sabiendo que en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 20 000 granos. Entonces, dividiendo la cantidad de granos entre 20 000 obtenemos la cifra en kilogramos y dividiendo esa cifra entre 1000 pasamos a toneladas métricas. El resultado es el siguiente: 

922 337 203 685 Tm. 

Pero, para tener una mejor apreciación de esta cifra, vale la pena saber que, de acuerdo con la FAO, la producción mundial de trigo en el año 2019 fue de cerca de 770 millones de toneladas métricas. Es decir que si tomamos esta cifra como producción mundial anual, entonces el tiempo necesario para reunir el trigo pedido por Sessa, destinando para su recompensa toda la producción mundial, sería de

922 337 203 685 / 770 000 000 ≈ 1198 años.

Esta bella historia es un claro ejemplo de cómo el crecimiento exponencial, a partir de un solo grano de trigo, en 64 pasos, duplicando el término anterior, puede conducir a unas cantidades inimaginables de trigo, que solo podrían recolectarse en unos 1200 años tomando la producción mundial anual.

El ajedrez, como lo decía al principio, también es fuente de problemas muy interesantes que surgen de las reglas para mover las fichas por el tablero. Uno, muy entretenido, que me gusta mucho y que solía incluir en los cursos de Análisis Numérico a mi cargo, es el problema de las 8 reinas, propuesto por el alemán Max Bezzel en 1848. 

Consiste en ubicar 8 reinas en el tablero de ajedrez sin que se ataquen, respetando las reglas del juego, es decir sabiendo que la reina se puede desplazar vertical, horizontal o diagonalmente. En realidad, el problema se reduce a situar 8 fichas en el tablero de tal manera que no haya dos en la misma columna, fila o diagonal.

Uno de los primeros en entretenerse con este reto y resolver el problema fue Gauss, lo que no debe extrañar a nadie. 

Encontrar una solución significa haber encontrado otras 4 posiblemente, pues la rotación del tablero puede revelar nuevas soluciones. Pero inventar un algoritmo para encontrar una solución es un problema sumamente didáctico para los estudiantes que están aprendiendo a programar, por ejemplo. Más difícil resulta encontrar todas las soluciones posibles, lo que también se logra modificando el primer algoritmo. 

El número total de soluciones de este problema es 92, pero si no se tienen en cuenta los giros del tablero, de 90, 180 y 270 grados, ni las simetrías, solo hay en total 12 soluciones. Sin duda este es un buen reto para los lectores en el fin de semana.

Uno de los problemas más famosos y fascinantes es el que se conoce bajo el nombre de “problema del caballo de ajedrez”. Consiste en intentar recorrer todos los cuadros del tablero con un caballo, que como se sabe, se mueve en “L”, pero sin repetir ninguno. ¿Es esto posible?

El primero en dar una respuesta positiva fue el gran matemático Leonhard Euler, quien presentó en 1759, ante la Academia de Ciencias de Berlín una solución bellísima.

Euler numeró los cuadros en el orden en que se debe desplazar el caballo por todo el tablero, desde 1 hasta 64, como lo indica la figura.

Pero, como se observa, Euler no se limitó a dar una solución al problema propuesto, también logró un cuadrado mágico: cada una de sus filas y cada una de sus columnas suma 260. Y su genialidad agregó otra curiosidad: cada uno de los cuatro subcuadrados (indicados con distinto color en la figura) es un cuadrado mágico cuyas filas y columnas suman la mitad del grande: 130.

La combinación de ajedrez y matemáticas, como se puede comprobar a partir de estos ejemplos, está llena de sorpresas y de historias increíbles y geniales.

@MantillaIgnacio 

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