Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

En matemáticas también hay noticias falsas

Frecuentemente he mencionado ejemplos que muestran cómo los números primos despiertan entusiasmo y son un reto permanente que ha dado origen al desarrollo de algunas áreas de las matemáticas. También, por esa misma razón, aparecen frecuentemente noticias sobre nuevas aplicaciones y descubrimientos que asombran al mundo, incluyendo a veces noticias falsas que se propagan por las redes sociales rápidamente sin filtro alguno. 

Un ejemplo de este fenómeno es el que quiero compartirles, destacando que en matemáticas, aun cuando no sea falso un anuncio, ocultar la trivialidad en su presentación es también una forma de engaño para los incautos que pueden ver elevado a la categoría de teorema lo que puede ser un simple ejemplo.

Un interés especial en la comunidad matemática es el que ha existido por tener un generador de números primos, como si fuera posible construir o descubrir una máquina que nos arroje todos los números primos o al menos una buena cantidad de ellos. 

Precisamente este 7 de abril vi en la cuenta de Twitter @AlgebraFact el siguiente trino:

x² – 2999x + 2248541 produces 80 primes from x = 1460 to 1539”.

Por supuesto que mi interés en este anuncio me llevó a examinar ese polinomio y a verificar tan sorprendente noticia, y luego me motivó a escribir esta nota.

Empiezo por recordar que fue Leonard Euler (1707-1783), quien dio a conocer el siguiente sencillo polinomio de grado 2, con coeficientes enteros,

P(n) = n²+n+41 

que genera 40 números primos distintos cuando n toma valores desde 0 hasta 39. Y no tenía yo conocimiento de otro polinomio de segundo grado capaz de generar tantos primos; que superara el descubierto por  G. Fung y R. Ruby en 1990, F(n) = 36n² − 810n + 2753, que genera 45 primos desde n = 0 hasta 44; así que recibir la noticia según la cual fue encontrado otro polinomio de grado 2 y coeficientes enteros que produce 80 primos, ya parecía ser un gran avance si se tiene en cuenta además, que hasta se han organizado concursos en internet para buscar polinomios generadores de números primos.

Pero no es así, en realidad, aunque la noticia no expresa nada que no sea cierto, sí tiene un tufillo engañoso, pues sí son 80 los primos que se generan con ese polinomio, pero son los mismos 40 que genera el polinomio de Euler, repetidos:

1601, 1523, 1447, …, 47, 43, 41, 41, 43, 47, …, 1447, 1523, 1601. 

Pero además esto no tiene nada de especial, pues se puede observar que, en ese sentido, un polinomio como el de Euler, más sencillo aún que el anunciado (cambiando dos signos):

Q(n) = n²-n-41 

también arroja los mismos 80 primos, basta tomar valores de n entre -39 y 40. 

Y es fácil construir todos los polinomios que se quiera con esta misma virtud, basta cambiar n por (n-a) en el polinomio de Euler para algún número a ≥ 1, por ejemplo, con a = 40 obtenemos:

R(n) = n²-79n+1601 

que arroja los mismos 80 números primos cuando n toma valores desde 0 hasta 79. 

Por lo tanto el polinomio citado en el trino mencionado es apenas uno, obtenido al elegir a = 1500, de los infinitos que, como ya se dijo, podemos encontrar con esa propiedad.

Para complementar la información sobre el tema debo añadir que en la búsqueda de estos polinomios aparecen los que son llamados “números afortunados de Euler”, números enteros positivos m, que cumplen la condición de que para todos los enteros positivos k, menores que m, el polinomio 

 − k + m

produce un número primo. Se puede probar que los “números afortunados de Euler” son solamente seis: 

2, 3, 5, 11, 17 y 41.

Una pregunta relevante es si puede un polinomio no constante, de coeficientes enteros, tomar solamente valores primos. La respuesta es no.

Por lo tanto, la aparición de Fake News matemáticas vendiendo tan buenas cosas no debe engañarnos.

@MantillaIgnacio

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