En Colombia, como en algunos otros países, el nombre completo de las personas se registra casi siempre con dos apellidos, siendo la forma más común con el apellido paterno en primer lugar y el materno en segundo lugar. No obstante, esta combinación puede cambiarse por la secuencia de apellidos madre-padre, haciendo posible, incluso, que hermanos no compartan sus apellidos en el mismo orden. También puede optarse por un solo apellido, o utilizar la secuencia, menos frecuente, de los dos del padre o de la madre, es decir, padre-padre o madre-madre.
Una secuencia hipotética, más lógica, que da equilibrio y evita el dominio del apellido heredado del padre, como ocurre actualmente, es la ingeniosa manera de combinarlos que dio origen a la sucesión conocida bajo el nombre de “Sucesión de Prouhet-Thue-Morse”. Se le denomina así porque fue estudiada por primera vez por el matemático francés Eugène Prouhet en 1851, en un trabajo titulado “Memoire sur quelques relations entre les puissances des nombres”, publicado en la Revista de la Academia de Ciencias de París. Sin embargo la sucesión no fue construida explícitamente hasta 1906 por el matemático noruego Axel Thue quien se encargó de darla a conocer ampliamente en un estudio de combinatoria de palabras. Posteriormente, en 1921, el matemático norteamericano Marston Morse la hizo famosa por su aplicación en una importante área de las matemáticas llamada Geometría Diferencial.
Para llegar a esta sucesión se supone que la base para la secuencia de apellidos es la siguiente: si es una mujer, su primer apellido será el de la madre y su segundo apellido el del padre. Cuando es un hombre, este llevará como primer apellido el del padre y como segundo apellido, el primero de la madre.
En secuencias más largas, de 2^n apellidos, la sucesión de apellidos del hombre, heredados del padre, ocuparán las posiciones impares y la de apellidos heredados de la madre las pares; y en el caso de la mujer, los apellidos heredados de la madre ocuparán las posiciones impares y los heredados del padre las posiciones pares; pero en ambos casos, diferenciando los antepasados del mismo sexo de los antepasados de sexo contrario.
Lo anterior lo podemos realizar asignando el número 0 siempre que ocupemos una posición con el apellido que pertenezca a un antepasado del mismo sexo y asignando el número 1 cada vez que lo ocupemos con un apellido que sea el primero de un antepasado de sexo contrario. Podemos proceder mediante bloques de apellidos de padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos, etc.
Así por ejemplo, tanto en el caso de un hombre como en el de una mujer, la secuencia para los primeros dos apellidos es 0 en la posición impar (la primera) y 1 en la posición par (la segunda). Entonces la secuencia de dos apellidos (2^n con n = 1) es en ambos casos:
01.
Veamos un ejemplo: si la familia conformada por José Durán-Acevedo y María Arango-Escobar tiene dos hijos, un hombre llamado Pedro y una mujer llamada Ana, entonces los dos primeros apellidos de Pedro y Ana, correspondientes a la respectiva secuencia 01, son Durán-Arango para Pedro y Arango-Durán para Ana.
Para una secuencia de cuatro apellidos de un hombre, las posiciones impares (primera y tercera) la ocupan los apellidos heredados del padre, pero usamos 0 o 1 dependiendo del sexo de los antepasados así: en la primera posición va 0 por el padre (apellido paterno) y en la tercera 1 (segundo apellido paterno) porque corresponde al primer apellido de la abuela paterna, progenitora del padre y de sexo contrario. Así que tenemos
0_1_
y ahora debemos determinar el valor que debe ir en las posiciones faltantes que son las pares, para los apellidos heredados de la madre. Claramente la segunda posición es 1 porque corresponde al primer apellido de la madre (sexo contrario) y en la cuarta debe ir 0 porque es el segundo apellido de la madre, el del abuelo materno (del mismo sexo del hombre), que es el que la madre lleva en segundo lugar. Entonces la secuencia para los cuatro apellidos (2^n, con n = 2) es:
0110.
Retomando el ejemplo de la familia conformada por José Durán-Acevedo y María Arango-Escobar, tendríamos que los primeros cuatro apellidos de Pedro serían entonces: Durán-Arango-Escobar-Acevedo.
Es fácil de comprobar que si se trata de una mujer, esta secuencia de números es la misma. Para nuestro ejemplo, los apellidos de Ana son entonces Arango-Durán-Acevedo-Escobar.
Análisis similares muestran que la secuencia para 8 = 2^3 apellidos, usando la representación de los apellidos de los bisabuelos es:
01101001.
Un buen ejercicio para el lector es revisar cómo sería el orden de sus primeros 8 apellidos.
Para 16 = 2^4 la secuencia corresponde a:
0110100110010110.
Obsérvese que en esta secuencia, la segunda parte, es decir:
10010110
es la misma de la primera parte, escrita en el orden inverso
01101001;
es decir, es simétrica con respecto a su centro.
También se obtiene lo mismo si en la primera secuencia simplemente escribimos 0 donde hay 1 y escribimos 1 donde hay 0.
Si extendemos la tarea a 32 = 2^5 apellidos, tenemos:
0110100110010110 1001011001101001
que coincide con el resultado de añadir a la derecha la secuencia de 2^4, pero escribiendo 0 donde había 1 y escribiendo 1 donde había 0. En este caso la secuencia ya no es simétrica con respecto al centro.
Continuando en esta forma se puede construir una sucesión infinita, donde cada secuencia de 2^n apellidos es simétrica con respecto al centro solo cuando n es un número impar.
Esta sucesión no solo se aplica para construir la sucesión de apellidos antes descrita; se conoce, por ejemplo, que el campeón de ajedrez entre 1935 y 1937, el holandés Max Euwe, quien también era matemático, la descubrió independientemente y la usó en 1929 para sus estudios sobre el juego de ajedrez y especialmente para investigar si cualquier partida se puede dar por terminada en un número finito de jugadas o, en otras palabras, si el ajedrez es un juego finito. Euwe usó esta sucesión para demostrar que con las reglas que existían en esa época, podía haber partidas que nunca acababan. Sus conclusiones fueron útiles para establecer las reglas sobre las condiciones para declarar en “tablas” una partida.
Formalmente podemos definir esta sucesión en forma recurrente como sigue. El primer término como
T(0) := 0,
los términos impares por medio de
T(2n+1) := 1-T(n)
y los pares como
T(2n) := T(n).
Con esta fórmula tenemos:
T(0) = 0
T(1) = T(2•0+1) = 1- T(0) = 1
T(2) = T(2•1) = T(1) = 1
T(3) = T(2•1+1) = 1-T(1) = 1-1 = 0
T(4) = T(2•2) = T(2) = 1
y así sucesivamente hasta obtener:
0110100110010110100101100110100110010110011010010110100110010110…
Al mirar esta sucesión como la parte decimal de un número en base 2 y pasarlo a base 10, se obtiene:
0,0110100110010110 1001011001101001…(base 2) =
0,4124540336401075977…(base 10).
Este número es conocido como la «Constante de Prouhet–Thue–Morse» y se acostumbra denotar con la letra griega τ (tau). El número
τ := 0,4124540336401075977…
es un número irracional, pero adicionalmente es un número trascendente, como lo son el número π y el número de Euler e; es decir, es un número que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coeficientes racionales. Demostrar que tau es trascendente es una tarea difícil que escapa al alcance de este artículo, pero doy fe de haber visto esa prueba con plenos ojos matemáticos.
El número τ es entonces un bello ejemplar que seguramente la mayoría de lectores no conocían y que ahora pueden incluir en su colección de números trascendentes.
@MantillaIgnacio