Las matemáticas están en todas partes, pero no siempre las reconocemos ni las identificamos enteramente. Tal vez si fuésemos conscientes de este hecho, su aprendizaje sería más fácil y sobre todo, estaría estimulado cotidianamente. Tampoco los profesores de matemáticas explotamos con frecuencia la actualidad ni las noticias más importantes para motivar a nuestros estudiantes. Esta era una virtud que siempre admiré en el profesor Yu Takeuchi, quien estaba pendiente del acontecer nacional para incluir ejemplos que despertaran mayor interés en sus clases. Él descubría las matemáticas en todas partes y con su buen humor también era un deleite oírle sus cuentos en las pausas para el café en la sala de profesores. Recuerdo muy especialmente la anécdota según la cual él contaba que su pequeña nieta, que solo sabía pronunciar tres palabras, ya dominaba en ellas conceptos matemáticos: la niña sabía decir “NO” cuando no quería algo, como lo hacen todos los niños, pero para Takeuchi ese era el dominio del concepto lógico de la negación. También la niña podía decir “MÁS” cuando algo le gustaba, claramente ahí se reconoce la adición, decía; y por último, la pequeña decía “MÍO” cuando le quitaban algún juguete, entonces ya maneja el concepto de pertenencia, explicaba el orgulloso abuelo, y luego soltaba una carcajada. 

Un buen ejemplo para el aprovechamiento de las matemáticas con ejemplos de actualidad, no comunes, es el que bien podría ser utilizado el día de elecciones, cuando todos estamos pendientes de los resultados de un conteo de votos. La mayoría cree que las únicas matemáticas necesarias allí son las elementales operaciones aritméticas y a lo sumo el cálculo de unos porcentajes; sin embargo, este evento democrático se presta para reforzar conceptos matemáticos que todos deberían dominar, como quiero mostrarles a continuación.

En Bogotá, para la elección de alcalde se aprobó en 2019 el Acto Legislativo 03 del Congreso de la República, que modificó el artículo 323 de la Constitución Política de Colombia, para incluir la segunda vuelta; esto significa que bajo ciertas condiciones, los dos candidatos que obtengan la mayoría de los votos se tendrán que enfrentar en una nueva jornada electoral. Las reglas sobre este mecanismo están perfectamente explicadas y se prestan para un buen ejemplo de lógica matemática elemental. 

En efecto, la norma se puede enunciar de dos maneras: diciendo bajo qué condiciones tendrá lugar una segunda vuelta o equivalentemente, bajo qué condiciones no habrá una segunda vuelta. Una oportunidad maravillosa para tomarlo como ejemplo y aprender o repasar cómo presentar correctamente algunas proposiciones. 

¿Cuándo hay segunda vuelta? La regla establece que habrá segunda vuelta siempre que se cumpla alguna de las dos condiciones siguientes: que el candidato ganador no alcance el 40% de los votos o siempre que la diferencia con el candidato que obtenga la segunda votación sea menor que el 10% de los votos. 

¿Cuándo no hay segunda vuelta? Equivalentemente la norma establece entonces que no habrá segunda vuelta cuando se cumplan las dos condiciones siguientes: el candidato ganador alcance como mínimo el 40% de los votos y además tenga una ventaja sobre el segundo candidato que sea igual o superior al 10% de los votos.

Como se observa, aquí aparecen una serie de expresiones afirmativas y negativas que nos ofrecen una rica combinación para explorar matemáticamente con proposiciones, es decir con enunciados que pueden ser calificados de verdaderos o falsos, como sigue: definimos

P := “el candidato ganador obtiene una votación del 40% o superior”

Q := “la diferencia entre los dos primeros candidatos es igual o superior al 10%”

S := “hay segunda vuelta”

Ahora podemos expresar la regla de cuándo no hay segunda vuelta así:

P y Qimplica (no S), 

y con la notación matemática, de la siguiente manera: 

(P∧Q) ⇒ ¬S, donde los símbolos significan ∧: conjunción “y”, ∨: disyunción “o”, ⇒: implicación “entonces”,  ¬: negación “no”.

Es decir que si se cumple P (“el candidato ganador obtiene una votación del 40% o superior”) y se cumple Q (“la diferencia entre los dos primeros candidatos es igual o superior al 10%”), entonces no se cumple S; o sea no “hay segunda vuelta”. 

En este punto conviene ahora aprovechar para recordar las Leyes de De Morgan que se pueden enunciar como:

  1. La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones, o sea: 

no (P y Q)” es lo mismo que “(no P) o (no Q)”, que se expresa matemáticamente así:

¬(P∧Q) ⟺ (¬P)∨(¬Q)

2. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones, es decir:

no (P o Q)” es lo mismo que “(no P) y (no Q)”. Esto es:

¬(P∨Q) ⟺ (¬P)∧(¬Q)

El tema puede explotarse un poco más allá, recordando que en una implicación 

A ⇒ B, 

A es la hipótesis y B es la tesis. 

A implica B es equivalente a (¬A)∨B, por lo tanto la negación de una implicación

¬(A ⇒ B) es equivalente a A∧(¬B), 

lo cual quiere decir que al negarse la implicación se cumple la hipótesis pero ya no la tesis. 

En nuestro ejemplo, A es la proposición (P∧Q), que cuando es verdadera implica ¬S, es decir que no hay segunda vuelta: 

(P∧Q) ⇒ ¬S

y esta implicación es equivalente a 

¬(P∧Q)∨(¬S).

Su negación validaría la hipótesis pero no la tesis, sería como desobedecer la ley. En efecto:  

¬[¬(P∧Q)∨(¬S)]  es equivalente a  (P∧Q)∧S

es decir, se cumple P (“el candidato ganador obtiene el 40% o más de los votos”) y se cumple Q (“la diferencia entre los dos primeros candidatos es mayor o igual al 10% de los votos”), pero además se cumple S (“hay segunda vuelta”). O sea que estaríamos ante una clara violación de la regla para la segunda vuelta. 

Las elecciones son también una fuente de problemas matemáticos para explotar, más allá de estas consideraciones lógicas. Para mencionar solo uno, se puede preguntar si habría una segunda vuelta en el caso hipotético en el que cada candidato, empezando con el penúltimo, hubiese obtenido el doble de los votos del anterior. Este es un bonito ejercicio, como veremos.

En Bogotá hubo 9 candidatos en el tarjetón. Supongamos que el de menor votación obtuvo N votos, en ese caso la votación de los 9 candidatos fue de:

Por lo tanto, bajo esa hipótesis no se necesita una segunda vuelta.

Problemas que surgen del acontecer, como los expuestos pueden despertar, como lo dije al principio, un interés particular y estimular el gusto por las matemáticas. Se trata entonces de llevar también la actualidad a las aulas de matemáticas. 

@MantillaIgnacio

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