En Colombia, cuando se viaja por carretera es frecuente encontrar avisos de precaución anunciando curvas peligrosas. Para ir de un lugar a otro, la espesa vegetación, los ríos y quebradas que comúnmente hay que atravesar, así como las características de las altas montañas y el clima, han sido las causas principales en la elección del trazado de nuestros caminos pendientes y serpenteantes.
Desde principios del siglo XIX los caminos que unen nuestras ciudades han sido un martirio para los viajeros; pero además ha existido una férrea oposición para mejorar sus trazados y evitar el paso por el centro de todos los poblados. El propio Alexander von Humboldt, en las narraciones sobre su expedición científica, no pudo evitar hacer mención recurrentemente al mal estado de las vías principales y los caminos que transitó en 1801, cuando recorrió Colombia. Particularmente, llama la atención la referencia que hace al camino que unía Honda con Santa Fe. Humboldt menciona que en algunos tramos era tan estrecho que ni siquiera podían transitar las mulas de carga, por lo que había que valerse de cargueros para pasar la carga a sus espaldas en algunos puntos. Pero cuando se propuso ampliar y mejorar el camino para que pudiesen pasar las mulas cargadas, se presentó un “paro” de los cargueros con el que se logró que fuese prohibido ampliar el camino.
Este fue seguramente el primer paro de transportadores, pero la narración de Humboldt explica también el origen de nuestras posteriores carreteras, algunas construidas sobre esos mismos caminos que nadie pudo modificar y otras privilegiando los caprichos de poderosos que lograron trazados absurdos para comunicar sus propiedades o para favorecer a sus electores.
Muchas de esas primeras y primitivas carreteras aún las transitamos frecuentemente, algunas son trochas y otras recibieron una capa de pavimento, pero todas presentan hoy un mayor tráfico sin modificaciones esenciales en sus trazados. Por fortuna, aunque con un rezago importante, se han emprendido en los últimos años proyectos para la construcción de autopistas y vías que llamamos 4G y que deberán ofrecer todas las características técnicas para reemplazar las precarias vías existentes que unen las grandes ciudades actuales.
Y justamente a una de esas características, imprescindible en el trazado de una vía moderna, quiero referirme ahora, reafirmando también con este ejemplo cómo las matemáticas están presentes en todas partes, particularmente cuando de curvas en las carreteras se trata.
Quiero presentarles a quienes no la conocen, la llamada espiral de Euler o espiral de Cornu. Se trata de la curva que mejor conecta una recta con una circunferencia, en la que su radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella.
Esta curva es conocida más ampliamente como la clotoide. Es una curva relativamente fácil de calcular desde el punto de vista matemático, basta considerar a la recta como una «curva de radio infinito» y tomar el radio de la circunferencia como su radio de curvatura; así el radio de curvatura R decrece proporcionalmente a la longitud L de la recta.
Ahora bien, ante la tarea de unir una recta con una circunferencia suavemente, aparece la clotoide inmediatamente, ya que sin un enlace adicional entre ambas, recta y circunferencia, habría que imaginar lo que es pasar bruscamente de un radio muy grande (“infinito”) a uno finito y este es justamente el detalle importante que debe tenerse en cuenta cuando un trayecto recto de una carretera desemboca en una curva cerrada.
Hay que anotar que las entradas a curvas circulares y las salidas de estas son transiciones entre circunferencias y rectas. Esto fue justamente lo que observó en 1890 el ingeniero estadounidense Arthur Talbot al buscar una curva de transición para vías férreas y fue así como él redescubrió la clotoide y la usó para conseguir trazados óptimos.
En los años treinta del siglo pasado apareció esta curva en la construcción de autopistas alemanas y norteamericanas y desde entonces ha sido incorporada continuamente también en el trazado de vías para unir tramos rectos con tramos curvos o para unir dos tramos circulares de curvaturas diferentes.
Otra característica importante es la seguridad automovilística ya que, como se dijo, el radio de curvatura disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, lo que permite al conductor y a los ocupantes de un vehículo adaptarse suavemente al cambio de trayectoria sin sentir esas súbitas sacudidas que experimentamos en algunas de las carreteras colombianas.
La clotoide también está presente en las montañas rusas y en los toboganes de los parques de diversiones y en las cintas transportadoras de equipajes de los aeropuertos, entre otros usos.
Hay que recordar que en la historia de las matemáticas la aparición de ciertas curvas, como respuesta a problemas físicos, ocupa un capítulo muy importante. Otra de esas curvas famosas que vale la pena mencionar es la que esconde una propiedad extraordinaria: la curva conocida como la braquistocrona (del griego brachistos, el menor, y cronos, tiempo). Esta curva cicloide fue la respuesta al problema de “determinar la curva, entre las infinitas posibles, por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad”.
(ver https://matemelga.wordpress.com/2016/04/11/el-descenso-mas-rapido/)
Este problema, también llamado “de la curva de descenso más rápido”, ocupó a importantes matemáticos como Galileo, Johann Bernoulli, Leibniz y Newton, entre otros. Uno de los métodos de solución más bello es el que dio precisamente Bernoulli en 1697, planteando una ecuación diferencial. Una preciosa solución que bien vale a pena estudiar en un curso básico de ecuaciones diferenciales.
La próxima vez que viaje por tierra observe el trazado de la carretera y siéntase seguro cuando sepa que las matemáticas le protegen en cada curva.
@MantillaIgnacio