Los veintitrés problemas de Hilbert

En el año 1900 se celebró en París el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas, evento que se había convocado por primera vez en 1897 y que en los últimos tiempos reúne cada cuatro años a los más importantes matemáticos del mundo. El último congreso fue el número XXVIII y su sede fue Río de Janeiro el año pasado.

Pero el de 1900 (un año ordinario, no bisiesto) fue especialmente famoso, pues con el inicio del nuevo siglo se quería fijar una meta hacia la que debían encaminarse los principales esfuerzos de los matemáticos durante los siguientes 100 años. Y a juzgar por lo que ha pasado durante el siglo XX podemos decir que el evento sí logró ese propósito.

La conferencia central del Congreso de París estuvo a cargo del gran matemático alemán David Hilbert (1862 – 1943), quien anunció una lista trascendental de 23 problemas abiertos en matemáticas, todos sin solución en aquel momento, de diferentes áreas de matemáticas, ahora llamados los problemas de Hilbert, como los problemas esenciales de matemáticas que debían resolverse en el siglo XX.

En su conferencia, realizada exactamente el 8 de agosto de 1900 en La Sorbona, Hilbert orientó su presentación reafirmando lo que escribió: “Una rama de la ciencia está viva si ofrece problemas en abundancia; la escasez de problemas indica que está muerta”. Hilbert presentó diez de los 23 problemas, numerados o bautizados desde entonces como los problemas 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22. La lista completa se publicó más adelante.

En el famoso discurso que acompañó la presentación de los problemas, Hilbert dijo lo siguiente: “¿Quién de nosotros no se alegraría si lograra apartar el velo tras el que se oculta el futuro para echar un vistazo a los avances científicos de los siglos venideros y a los secretos de su desarrollo? ¿Contra qué objetivos particulares tendrán que luchar los mejores espíritus matemáticos de las próximas generaciones?”

El reconocimiento y prestigio de Hilbert influyó para que, a partir de este Congreso de matemáticas, los matemáticos dedicaran mucho tiempo y esfuerzos para trabajar en esos problemas; así que la búsqueda de esas soluciones, exitosas o no, resultaron ser muy influyentes en el desarrollo de las matemáticas hasta hoy.

Desde entonces se han resuelto completamente 10 de los 23 problemas propuestos por Hilbert. Otros han sido aparentemente resueltos, pero los expertos no han aceptado tales soluciones, y otros despiertan gran controversia que aún no se supera enteramente; así por ejemplo, el problema 18 sobre la conjetura de Kepler incluye en la demostración una parte calculada con ayuda del computador, que al parecer es difícil de verificar. 

Tal vez el más célebre de todos los problemas de Hilbert es el número 8, que ha ocupado recientemente muchas noticias que hemos compartido: la demostración de la Hipótesis de Riemann. El gran matemático Michael Atiyah, fallecido el pasado 11 de enero a la edad de 89 años, premiado con la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004 entre otros galardones, ofreció una charla en el “Heidelberg Laureate Forum” en septiembre pasado para presentar una demostración que ha dejado dudas y vacíos insalvables, de acuerdo con el examen realizado por los especialistas, por lo que es seguro que el problema sigue estando abierto.

Sobre la Hipótesis de Riemann, pronunció Hilbert una frase que le dio también más estrellas al reto de su solución. Señaló Hilbert que “si despertara después de dormir durante mil años, mi primera pregunta sería: ¿se ha demostrado ya la Hipótesis de Riemann?”

Otro de los problemas de Hilbert, por fortuna ya resuelto, que envuelve una historia propia, es el problema número 13, cuyo enunciado conjeturaba la imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos. En 1956, Andrei Kolmogorov, un reputado matemático ruso, demostró que esto sí era posible, pero utilizando funciones continuas de tres variables, sin embargo al año siguiente Vladimir Igorevich Arnold, estudiante de Kolmogorov y con solo 19 años de edad, demostró que dos variables son suficientes, completando así la solución al problema 13, la cual fue reforzada ese mismo año por el propio Kolmogorov, quien aportó una contundente, elegante y clara demostración. Se atribuye entonces a Kolmogorov y Arnold la solución al problema 13 de Hilbert.

El problema séptimo se refiere a la trascendencia y la irracionalidad de ciertos números tales como 2 elevado a la √2. Aunque hay demostraciones simples y directas sobre la trascendencia de números como π y e, la duda fue resuelta en forma general en 1935 con el teorema de Gelfond-Schneider que demuestra que si a y b son números algebraicos (con a distinto de 0 y 1), y si b no es un número racional, entonces a elevado a la b es un número trascendente; con lo cual queda resuelto el problema 7 de Hilbert.

Aparentes soluciones y resultados parciales de los 23 retos, algunos muy significativos, han sido presentados en todo el mundo desde su planteamiento. Y hay problemas, como el de la Hipótesis de Riemann, que tienen un incentivo especial aún mayor; en efecto, el Instituto Clay de Matemáticas, con sede en Cambridge, ofrece un millón de dólares como premio a quien logre demostrarlo. 

Por estas razones, la resolución de uno de los problemas de Hilbert es el mayor sueño de muchos matemáticos; se cree que los problemas de Hilbert no solo han sido muy bien seleccionados sino que ofrecen un atractivo histórico especial por la belleza que envuelven. Quien logre resolver alguno, tiene garantizada la inmortalidad de su nombre en la selectiva lista de los principales aportes al mundo de las matemáticas.

Ojalá tantos retos universales incentiven también a muchos jóvenes colombianos para estudiar y cultivar las fascinantes matemáticas. Pueden empezar por levantar la mano en el aula para decir: “me pido el número 3 de la tarea”.   

@MantillaIgnacio