La clasificación de los números de diferente tipo tiene una notable importancia en el estudio de las diferentes áreas de la matemática. La clasificación establece los conjuntos más conocidos:

los naturales ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, …}, 

los enteros, que contienen a los anteriores, ℤ =  {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …},

los racionales ℚ, que contienen a los enteros y que pueden escribirse como fracciones entre enteros (ej. 4/3), su expresión decimal es periódica (ej. 1,33333…),

los irracionales 𝕀, que no pueden escribirse en forma de fracción entre enteros (ej. √3), su expresión decimal es infinita, no periódica (1,7320508076…),

los reales ℝ, que son todos los anteriores,

los complejos ℂ, de la forma (a + bi), que tienen una parte real y otra imaginaria y que contienen a todos los reales.

Y dentro de esta clasificación se encuentran muchas otras categorías, son subconjuntos de estos grandes conjuntos, que se destacan con características especiales, algunos son poco conocidos, pero son tantos, que desde hace un tiempo me he propuesto recoger los nombres de conjuntos de números que tienen una denominación especial.

Por el alto número de tales grupos, he elegido esta vez solo los que son subconjuntos de los Números Primos, que como se sabe, son números naturales mayores que 1, que sólo son divisibles por 1 y por ellos mismos; este conjunto es infinito: {2, 3, 5, 7, 11, …}.

Voy a presentarles ahora solo subconjuntos de estos, los conjuntos de números que también son primos, pero que tienen alguna propiedad adicional especial y que reciben una denominación particular; es decir, que tienen el mismo nombre y diferente apellido.

Primos Gemelos: son pares de números primos que difieren en 2, por ejemplo (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), … Aun cuando parecería que a medida que tomamos primos más grandes estos están cada vez más distantes entre sí y por lo tanto habría menos parejas de gemelos, se conjetura que hay infinitos primos gemelos, más exactamente, que: 

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

Primos de Mersenne: los números primos de Mersenne, en honor al matemático francés Marin Mersenne (1588-1648), son aquellos números primos de la forma 2ᵖ – 1 donde p es también un número primo, por ejemplo 3, 7, 31, 127, … Aunque se conjetura que hay infinitos primos de Mersenne, solo hay 52 conocidos, el último y más grande (el 52) se encontró en octubre del año pasado, se trata del número 

2^{136 279 841} 

que tiene más de 41 millones de cifras. 

Primos de Fermat: los números primos de Fermat, en honor al matemático francés Pierre de Fermat (1607-1665), son aquellos números primos de la forma

donde n es un número natural. Por ejemplo, F₁ = 5, F₂ = 17. Fermat conjeturaba que todos los números de esa forma eran primos, pero Euler demostró en 1732 que no es así. Actualmente solo se conocen cinco primos de Fermat.

Primos de Germain: los números primos de Germain, en honor a la matemática francesa Sophie Germain (1776-1831), son aquellos números primos p tales que 2p + 1 es también primo. Por ejemplo, los números 2, 3 o 5 son primos de Germain, ya que 2 x 2 + 1 = 5, 2 x 3 + 1 = 7 y 2 x 5 + 1 = 11 son también primos. La sucesión de los primeros números primos de Germain son:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, …

Se desconoce, al igual que ocurre con los números primos gemelos, si existen infinitos números primos de Germain.

Primos Seguros: estos números primos se relacionan muy estrechamente con los anteriores. A los números primos de la forma 2p + 1, donde p es un número primo (por lo tanto p es un primo de Germain), se les llama números primos seguros. Los números primos seguros son:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, … 

Primos Fuertes: un número primo fuerte es un número primo que es mayor que el promedio de sus primos vecinos. En otras palabras, si un número primo p tiene primos vecinos a y b, entonces, para que p sea un primo fuerte debe cumplirse que p > (a + b) / 2. Así por ejemplo 11 es un primo fuerte porque sus primos vecinos son 7 y 13 y se cumple que: 11 > (7 + 13) / 2. Los primos fuertes son 11, 17, 29, 37, 41, 59, 67, 79, 97, …

Primos Primoriales: cuando al sumar o restar 1 al producto de los primeros n números primos, el resultado es un número primo, al número resultante se le llama número primo primorial. Por ejemplo, el producto de los 2 primeros primos es 2 x 3 = 6, entonces, tanto 5 = 6 – 1  como  7 = 6 + 1 son primos primoriales.

El producto de los primeros 4 números primos es 2 x 3 x 5 x 7 = 210, y como 210 + 1 = 211 es primo, entonces 211 es un primo primorial.

Los primeros números primos primoriales son: 2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, …

Primos de Pierpont: los números primos de Pierpont, en honor al matemático estadounidense James Pierpont (1866-1938), son aquellos números primos de la forma  2^m · 3ⁿ + 1 donde m y n son enteros no negativos. Si n es positivo, entonces m también es positivo, y el número primo de Pierpont es de la forma 6k + 1. Los primeros números primos de Pierpont son:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, … 

Primos Cubanos: el nombre de “cubano” viene de “cubo” y no de “Cuba”. Un número primo cubano es un número primo que se puede escribir como diferencia de dos cubos consecutivos. Más específicamente, que se puede escribir en la forma n³ – (n-1)³, donde n es un entero mayor que 1. Por ejemplo, 61 es un número primo cubano porque es primo y 61 = 5³ – 4³.

Los primeros números primos cubanos son: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, …

Primos Parientes: son pares de números primos que difieren en 4, por ejemplo (3, 7), (43, 47) o (109, 113). Las primeras parejas de números parientes son:

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), …

Primos Sexis: estos números no tienen nada que ver con algún atractivo erótico, su nombre se debe a que la palabra en latín para el número “seis” es “sex”. En forma similar a los anteriores, se trata de las parejas de números primos que difieren en 6, tales como (5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47), (47, 53), (53, 59), …

No se ha demostrado que haya infinitas parejas de primos sexis, sin embargo existe la llamada “Conjetura de Polignac”, formulada por el matemático francés Alphonse de Polignac (1826-1863) que establece que:

“Para cada número natural k, existen infinitos números primos p, tales que (p + 2k) también es primo”.

Esta conjetura aplicaría, tanto para los primos sexis como para los primos parientes y los primos gemelos.

Primos Trillizos: se trata de ternas de primos de la forma:

(p, p + 2, p + 6) o (p, p + 4, p + 6) 

como por ejemplo  (5, 7, 11) o (7, 11, 13).

Obsérvese que en cada terna de números primos trillizos, hay una pareja de números primos gemelos, (p, p + 2) o (p + 4, p + 6), una pareja de números primos parientes, (p +2, p + 6) o (p, p + 4), y una pareja de números primos sexis, (p, p + 6). Así por ejemplo, en la terna de números primos trillizos (37, 41, 43), 41 y 43 son gemelos, 37 y 41 son parientes y 37 y 43 son sexis. 

Las primeras ternas de números primos trillizos son: 

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), … 

También existen los tríos de números primos sexis consecutivos, como (7, 13, 19), (17, 23, 29) o (31, 37, 43), pero estas no son ternas de números primos trillizos.

A manera de anécdota, hay que decir que existe también un conjunto unitario de números primos. Se trata del Primo de Sheldon, el número 73, llamado así porque Sheldon Cooper en un capítulo de la famosísima serie “The Big Bang Theory”, aseguraba que es el mejor número que existe y lo justificaba enumerando bastantes curiosas propiedades.

Como se observa, la variedad de conjuntos de números primos y de parejas de primos con nombre propio es abundante. Finalmente hay que anotar que en la actualidad los números primos se usan especialmente en la construcción de algoritmos que brindan seguridad, pues en los sistemas de cifrado o criptosistemas son ellos el fundamento que permite garantizar la seguridad de los textos cifrados, son los números primos la base de las claves que se emplean en muchos de los métodos de encriptación, así que, aun cuando no lo notemos, los números primos nos protegen también de los ataques que pretenden vulnerar nuestras contraseñas, por ejemplo.

@MantillaIgnacio