Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Los debates presidenciales vistos desde la lógica matemática

La campaña electoral colombiana y en particular los debates entre los distintos candidatos son un buen reto matemático de lógica. Como si usáramos un detector de mentiras, la lógica permite identificar, entre la abundante retórica contenida en las exposiciones, argumentos que son usados con alguna dosis de genialidad argumentativa o también con alguna inteligente mala intención, pero ante todo facilita el descubrimiento de contradicciones.

Aún con carencia en la formación matemática, cualquier profesional domina operaciones elementales como las que conoció desde niño cuando aprendió las tablas de multiplicar. Tan importantes como esas tablas, son también las que se enseñan posteriormente en los cursos de fundamentos de las matemáticas; me refiero a las tablas de verdad. Pero a diferencia de las primeras, estas se olvidan porque erróneamente se cree que no son útiles.

Las tablas de verdad ofrecen una lógica simple que ayuda a establecer la validez de algunas afirmaciones. Los condicionales por ejemplo, son una poderosa herramienta para identificar enunciados que resultan siempre verdaderos, ante cualquier situación, o también siempre falsos. Es un operador que actúa sobre los valores de verdad de dos proposiciones y que devuelve, como resultado, el valor “falso” (F) cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y “verdadero” (V) en los demás casos. 

La tabla de verdad del condicional es la siguiente:

 

A manera de ejemplo, las siguientes frases serían correctas en el sentido de que son afirmaciones verdaderas:

  1. Si Bogotá tiene más de 5 millones de habitantes, entonces en Bogotá hay más habitantes que en Cali.  (V ⇒ V)
  2. Si en Bogotá hay 200 universidades acreditadas en alta calidad, entonces Colombia es primero en las pruebas PISA. (F ⇒ F)
  3. Si Bogotá tiene 10 líneas de metro subterráneo, entonces Medellín no tiene transmilenio. (F ⇒ V).

Pero la siguiente frase corresponde a una afirmación falsa:

  1. Si Bucaramanga es la capital de Santander, entonces Barranquilla es la capital de Cundinamarca. (V ⇒ F).

Las proposiciones evidentemente falsas (contradicciones) y las evidentemente verdaderas (tautologías) son el plato diario de los debates presidenciales aun cuando los candidatos mismos no sean conscientes de ello. Una estrategia, de las más frecuentes es la de un “discurso correcto” que evite la contradicción: tras iniciar una intervención a partir de una cifra falsa por ejemplo, hablar luego durante unos tres minutos haciendo aseveraciones en cadena, todas verdaderas, para llegar finalmente, cuando ya el público ha olvidado de dónde partió, a una conclusión falsa que arranca el aplauso de los asistentes.

Un método de demostración usado con frecuencia en matemáticas es el conocido bajo el nombre de “método de reducción al absurdo” (Reductio ad absurdum), consistente en encontrar una contradicción si la afirmación que se quiere demostrar no fuera verdadera. Así, se tiene un operador condicional que actúa sobre una proposición (¬ A) que se supone verdadera, a partir de la cual se llega a una proposición B que es falsa, lográndose entonces la contradicción (V ⇒ F) y por lo tanto se concluye que (¬A) no puede ser verdadera, es decir (¬A) tiene que ser falsa y por lo tanto A debe ser verdadera.

Uno de los teoremas más importantes y bellos de las matemáticas, muy antiguo, es el que presentó Euclides en su libro Los Elementos del siglo III a. C. que asegura que hay infinitos números primos. Para demostrarlo, Euclides recurre a este método. Euclides supuso que esto no era cierto, es decir que el conjunto de los números primos era finito y llegó a una contradicción.

El razonamiento que siguió fue el siguiente: supongamos que el conjunto de los números primos es finito con n elementos

P1, P2, …, Pn.

Llamemos ahora Q al número que se obtiene de multiplicar todos esos n primos más 1: 

Q = (P1 x P2 x … x Pn) + 1

Ahora bien, si dividimos a Q por cualquiera de los primos del conjunto vemos que el resto, o sea el residuo de la división, es 1. Esto quiere decir que ninguno de esos primos es un divisor de Q. Por lo tanto Q debe ser primo ya que si no lo fuese, tendría un divisor primo, lo cual no es posible porque la división por cualquiera de ellos tiene como resto 1 y hemos supuesto que en ese conjunto finito están todos los primos. Entonces, al ser un número primo, Q debería pertenecer a ese conjunto, ya que allí están todos. Pero eso es una contradicción pues Q no está en esa lista y es mayor que cualquiera de ellos.

Como esa mala hipótesis de la que partimos conduce a una contradicción; es decir, la suposición de que los primos son un conjunto finito nos lleva a un absurdo, concluimos que el conjunto de los números primos no puede ser finito y así hemos demostrado que hay infinitos primos.

Volviendo al plano político, hay que reconocer que el método de reducción al absurdo es también uno de los preferidos en el debate electoral, pero con una diferencia sustancial como es la dificultad para determinar la veracidad de las proposiciones, que en su mayoría hacen referencia a un futuro impredecible. 

Por ejemplo, si en el punto N. de la propuesta de un candidato se afirma que “Todos los jóvenes de estrato 1 podrán ir a la universidad” y en el debate le preguntan por la gratuidad de la universidad, el candidato responderá: “La universidad será gratuita”. Argumentación: Si la universidad no es gratuita, entonces habrá jóvenes de estrato 1 que no podrán estudiar, lo cual contradice el punto N. de mi programa, por lo tanto la universidad será gratuita. 

Independientemente de la veracidad en los programas, el ejercicio matemático de la lógica en la retórica, como lo indiqué al comienzo, resulta interesante de realizar. Para que los muchos debates que vendrán no resulten aburridos, les invito a entretenerse identificando tautologías y contradicciones en las exposiciones de los candidatos.

@MantillaIgnacio 

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