Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

Los 36 oficiales y el cuadrado greco-latino

El célebre matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) ha sido uno de los más prolíficos de todos los tiempos y hay tantas ideas matemáticas que tomaron su nombre, que en el siglo XIX, 50 años después de su muerte, su trabajo aún no se había terminado de publicar. Nunca nadie imaginó cuánto aprovecharíamos su legado y menos aún pudo alguien sospechar que sus ideas, soluciones, juegos y métodos podrían cambiar el mundo. Basta con saber que, 300 años antes de la aparición del Internet, ya Euler sentó las bases para la eficiencia de los actuales motores de búsqueda.

Uno de los primeros aportes, producto del talento matemático de Euler, ha sido bastante divulgado como muestra de su genialidad. Se trata del reto matemático anual que propuso la Academia de Ciencias de París en 1727: «¿Cuál es la mejor manera de organizar los mástiles en un barco?». Aun cuando parece un problema muy práctico, el joven Euler lo abordó como un desafío puramente matemático y aunque nunca había puesto un pie a bordo de un barco, se sintió perfectamente calificado para calcular la disposición óptima de los mástiles. Al ser preguntado por su comprobación, respondió que: «No me pareció necesario confirmar mi teoría con experimentos porque se deriva de los principios más seguros de las matemáticas, por lo que no cabe duda alguna de si es o no cierta y funciona en la práctica».

Hay muchos otros problemas, muy relevantes, que resolvió Euler en forma magistral y que, aun cuando en su época no representaban más que un pasatiempo, dieron origen a teorías muy desarrolladas posteriormente y de insospechadas aplicaciones actuales, tales como la Teoría de Grafos, a partir de un problema relacionado con los puentes de la ciudad de Königsberg, del que escribí hace un tiempo los artículos:   

https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/celebre-problema-matematicas

https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/cuantos-intermediarios-nos-separan-del-papa

Menos difundida ha sido la contribución de Euler a la solución dada a un problema propuesto en el siglo XVIII, conocido como “el problema de los 36 oficiales”, que les quiero compartir a continuación. 

En 1779, Leonhard Euler escribió: “Una cuestión muy curiosa que ha desafiado el ingenio de muchas personas me llevó a emprender una investigación que al parecer ha abierto una nueva vía en el análisis y, en particular, en combinatoria. Es una cuestión relativa a un grupo de treinta y seis oficiales de seis rangos diferentes, tomados de seis regimientos distintos, y distribuidos en un cuadrado de tal forma que en cada fila y cada columna haya seis oficiales de diferente rango y regimiento. Pero, después de dedicar muchos esfuerzos a resolver este problema, hay que admitir que tal disposición es imposible, aunque no podemos dar una demostración rigurosa”.

Este problema nos traslada inmediatamente al concepto de los “cuadrados greco-latinos”, consistentes en una forma de disposición en una cuadrícula cuadrada de los elementos de dos conjuntos con el mismo número de elementos, de tal forma que cada celda contenga un par ordenado con los elementos de esos conjuntos, pero logrando que cada elemento aparezca exactamente una vez en cada fila y en cada columna, y evitando que dos celdas contengan el mismo par ordenado. 

Para ilustrarlo mejor, supongamos que tenemos tres letras latinas A, B, C  a la izquierda y tres letras griegas α, β, γ a la derecha. Tanto con las letras latinas como con las griegas podemos formar cuadrados 3×3 de forma que cada celda esté ocupada por alguna letra, evitando que alguna repita su posición en una fila o columna. Ahora podemos combinar esa distribución para formar un cuadrado greco-latino 3×3, como lo ilustra la siguiente imagen central. 

Con las cartas de una baraja de poker podemos también jugar a armar un cuadrado greco-latino 4×4. Para eso podemos dar esta solución: asignamos en la primera fila la celda 1 al As (A), la 2 al Rey (K), la 3 a la Reina (Q), y la 4 a la Jota (J) como se indica en la imagen.

Construimos después, en forma similar, otro cuadrado que tenga los palos: picas, corazones, diamantes y tréboles, y así encontramos el cuadrado greco-latino de la imagen superponiendo ambos cuadrados. 

Volviendo a la tarea de Euler, el anterior ejemplo resolvería entonces el problema si fuera de 16 oficiales: 4 grados y 4 regimientos, pero el reto era el de ubicar a 36 oficiales a partir de 6 rangos (por ejemplo: general, coronel, comandante, capitán, teniente y subteniente) y 6 regimientos en un cuadrado greco-latino 6×6. 

Euler dijo que no había solución para este problema, pero esto no se demostró formalmente sino 120 años después, cuando el matemático aficionado francés Gaston Tarry  publicó en 1900 el artículo: «Le Probléme de 36 Officiers». En Secrétariat de l’Association, ed. Compte Rendu de l’Association Française pour l’Avancement de Science Naturel 1: 122-123.

En realidad Euler planteó el problema para n regimientos y n grados; demostró que el problema tenía solución para n impar o múltiplo de 4, y conjeturó que no había solución para n par que no sea múltiplo de 4, y con ello se despertó el interés por investigar los cuadrados greco-latinos.

En 1960 se demostró que la conjetura de Euler es falsa para n ≥ 10, es decir, existen cuadrados greco-latinos de lado n para todos los n ≥ 3, excepto para n = 6. Con esto quedó resuelto completamente el problema: además del caso del cuadrado greco-latino 6×6, el único otro caso en que el problema no tiene solución es el caso de 2×2, es decir, cuando hay 4 oficiales, caso fácil de verificar. (Para profundizar en el tema puede consultarse el artículo: R.C. Bose, S.S. Shrikhande, and E.T. Parker, Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Square and Falsity of Rulers Conjecture, Canad. J. Math. 12, 189-203, 1960).

Si bien los cuadrados greco-latinos eran solo una curiosidad matemática que encontró aplicación en algunas ramas de las matemáticas y de la estadística como el análisis y la combinatoria, a mediados del siglo XX el estadístico y biólogo británico Ronald Aylmer Fisher los aplicó para estudiar la eficiencia del uso de diferentes fertilizantes en los cultivos, independientemente de la calidad de la tierra de las parcelas. 

Más recientemente los cuadrados greco-latinos se han usado en el desarrollo de algoritmos que tienen como propósito la detección, el control y la corrección de errores en señales digitales; es decir, para eliminar los llamados “ruidos” que afectan los audios, los datos y las imágenes cuando hay interferencias y cortes o alteraciones en las transmisiones y la comunicación, de modo que los mensajes originales puedan reconstruirse correctamente.

Como se observa, el alcance de un problema de matemáticas es siempre insospechado y su sola formulación puede resultar ya muy importante. Aunque Euler se haya equivocado en su conjetura sobre los cuadrados greco-latinos, su contribución fue enorme y ya lo expresó magistralmente Albert Einstein: “Quien no ha cometido nunca un error, nunca ha tratado nada nuevo”.

@MantillaIgnacio

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