Por estos días, debido a las noticias internacionales, hemos aprendido muchas cosas sobre Ucrania, pero poco se conoce sobre los aportes y el legado de personajes sobresalientes de las matemáticas, de origen ucraniano.
Se conoció que el bombardeo ruso sobre la ciudad de Járkiv en la guerra de Ucrania cobró el pasado 8 de marzo la vida de la joven prodigio Yulia Zdanovska, matemática de 21 años que representó a Ucrania en las Olimpiadas Europeas Femeninas de matemáticas en 2017.
Cuando conocí esta lamentable noticia, consecuencia de la brutalidad de la guerra, recordé a otra matemática ucraniana de la que tenía alguna referencia y busqué si había alguna noticia de ella. Por suerte está con vida y trabaja actualmente en Suiza. Se trata de Maryna Viazovska, quien obtuvo su título de doctorado en la Universidad de Bonn (Alemania) en 2013. Ella se hizo famosa entre los matemáticos por haber resuelto un viejo problema originado en una conjetura de Kepler sobre empaquetamiento de esferas.
Pero quienes hemos profundizado en el estudio de las matemáticas, recordamos a un muy famoso matemático ucraniano, que casi siempre es presentado como ruso, llamado Gueorgui Voronói (1868-1908), más conocido por ser el creador del “Diagrama de Voronói”, del cual quiero hablarles. Se trata de una estructura muy sencilla, que en ocasiones se usa como ejemplo para mostrar que las matemáticas se descubren y no siempre se inventan.
Un Diagrama de Voronói puede definirse para dos, tres o más dimensiones, pero voy a restringirme al plano. De manera muy intuitiva un Diagrama de Voronói es una construcción geométrica para realizar una partición de una superficie en tantas regiones como puntos u objetos tengamos, pero de tal forma que a cada punto dado se le asigna la región formada por todo lo que está más cerca de él que de ningún otro de esos puntos.
Es muy importante saber que un Diagrama de Voronói se construye según el número de puntos u objetos que tengamos. Imaginemos que sobre una mesa solo hay un pequeño objeto, entonces la región de Voronói correspondiente será toda la mesa; y si hay dos objetos habrá dos regiones de Voronói que se pueden obtener trazando la mediatriz entre los dos puntos; esto es, la línea recta perpendicular al segmento que une los dos puntos, trazada por su punto medio, como lo indica la figura.
Si continuamos aumentando el número de puntos u objetos sobre la superficie, aumentamos también el número de regiones obtenidas a través de la división por medio de las mediatices correspondientes, como se ilustra en la siguiente imagen.
Para entenderlo mejor, pensemos por ejemplo en un municipio que debemos dividir en zonas a partir de sus hospitales. Si solo hay un hospital (nuestro único punto), solo habrá una región consistente en todo el municipio, pero si hay tres hospitales, es posible asignar a cada habitante el hospital más cercano a su lugar de residencia, logrando así dividir la población en tres grupos y optimizar el uso de los servicios hospitalarios. Podemos también pensar en el problema inverso y construir un Diagrama de Voronói para tratar de ubicar en forma óptima nuevos hospitales en un municipio, de tal manera que la población total pueda estar bien repartida para acudir a estos puntos, sin sobrecargar la atención en alguno en particular, pero que además sea el más cercano para cada habitante.
Estas estructuras pueden aplicarse en múltiples usos, incluso en el fútbol. Imaginemos que un jugador es un punto en la cancha. A cada jugador se le asigna el terreno de juego que domina, o sea el que está más cerca de él que de cualquier otro jugador. Naturalmente el diagrama se modifica a cada instante porque los jugadores no se están quietos, pero puede determinarse también en cada instante cuál equipo tiene un mayor dominio del terreno si se divide la cancha en regiones de un color o de otro, de acuerdo con los clores de la camiseta de cada equipo. La película completa puede resultar útil en el análisis que realice un entrenador para diseñar estrategias de juego y sacar ventajas posicionales, observando cómo su equipo puede ocupar una mayor región del campo y buscando la manera de conectarlas para facilitar los pases entre sus jugadores. Actualmente existen herramientas, fruto de distintos algoritmos, para calcular estos diagramas en tiempo real, con puntos en movimiento.
En un diagrama de Voronói también pueden usarse sus líneas fronterizas entre las distintas regiones para pasar lo más alejado posible de cualquier punto. Imaginemos cómo evitar por ejemplo minas antipersonales o expendios de licores.
Una novedosa y reciente aplicación de los diagramas de Voronói, fue la que descubrió el profesor de la Universidad de Sevilla (España) Luis M. Escudero para el tratamiento de tumores, al observar que la organización de las células en los tejidos epiteliales a la luz del microscopio mantienen una forma geométrica denominada escutoide. Este hallazgo se logró usando modelos computacionales que utilizaban los diagramas de Voronói. Gracias a este estudio ha sido posible idear un método que puede servir para revolucionar el diagnóstico de ciertas formaciones tumorales.
Las aplicaciones de los diagramas de Voronói son abundantes y pueden usarse, de manera insospechada, en prácticamente cualquier organización de objetos. Recientemente usé un diagrama de Voronói para ubicar en forma óptima cuatro lámparas solares en mi jardín. Fue muy divertido.
Ojalá el conflicto en Ucrania no nos prive de nuevos aportes de sus ciudadanos a las ciencias. Y esperemos que la forma de dividir el mundo sea con las matemáticas de Voronói y no con la guerra.
@MantillaIgnacio