Es indiscutible que la epidemia del covid-19 tiene semiparalizado al mundo y aunque no se puede negar que otras enfermedades epidémicas como la malaria o el dengue cobran miles de víctimas cada año, la alerta que dio China sobre el coronavirus y su propagación en países como Italia y España, así como el efecto en la economía mundial, nos obliga a todos a entender este fenómeno. Con este fin quiero entonces compartir una explicación sobre las matemáticas de esta epidemia que son indispensables para comprender las cifras de su propagación.
Los modelos matemáticos deterministas para describir la propagación de una epidemia por medio de ecuaciones diferenciales han sido ampliamente estudiados desde 1927, tras la publicación del primer artículo sobre el tema, de autoría de los investigadores escoceses W. O. Kermack y A. G. McKendrick, quienes comprobaron sus resultados al aplicarlo para estudiar el comportamiento poblacional en una epidemia ocurrida en la ciudad de Bombay en 1905.
La esencia del planteamiento matemático está en dividir la población en al menos tres grupos: susceptibles, infectados y removidos, siendo estos últimos los recuperados y los fallecidos a causa de la enfermedad. Los individuos susceptibles se infectan y luego estos pasan al último grupo en una forma que se describe mediante las ecuaciones que gobiernan el modelo. Naturalmente, de acuerdo con el tipo de epidemia pueden introducirse nuevos grupos, como por ejemplo una clase latente intermedia entre susceptibles e infectados que portan el virus y lo transmiten, pero que aún no han pasado al grupo de los infectados porque el período de incubación no ha terminado. También es posible considerar un grupo de recuperados que vuelven a ser susceptibles porque no han adquirido la inmunidad.
Pero apartándome de todas las complejidades que pueden tener estos modelos, hay que entender lo más importante: el aumento de la población infectada es proporcional al número de contactos con los susceptibles y su disminución se da de acuerdo con la tasa de remoción. Se supone que los contactos tienen lugar de acuerdo con la ley de acción de masas. Eso, matemáticamente significa que
dI/dt = kS(t)I(t) – rI(t),
donde k es la tasa de infectividad, r la tasa de remoción, y donde I(t) y S(t) representan la población infectada y la población susceptible respectivamente, en el tiempo t. Es decir que el número de infectados en un día n depende de los susceptibles y los infectados que había el día anterior y por lo tanto se infectarán k{[S(n-1)][I(n-1)]} personas ese nuevo día.
La ecuación indicada es una ecuación diferencial no lineal que forma parte de un sistema de ecuaciones similares. Al resolverse numéricamente el sistema se puede mostrar que I(t), que como ya dijimos, representa la población infectada, es una curva que tiene un comportamiento exponencial durante un período de tiempo: crece lentamente al comienzo, alcanza un máximo valor y luego decrece y tiende a cero después de un largo tiempo. La forma de la gráfica se parece a la que seguramente todos conocen bajo el nombre de Campana de Gauss y así se la pueden imaginar mejor.
El período en el que esa curva crece exponencialmente es el que estamos viviendo justamente ahora en Colombia, por lo tanto hay que obrar con cautela, pues en este caso, un solo infectado inicial puede llegar a generar cientos de miles de nuevos infectados, ya que el incremento de nuevos afectados no va a ser el mismo cada día, los nuevos casos pueden duplicarse o triplicarse, dependiendo de los parámetros propios de esta dinámica; así que en lugar de aumentar linealmente, de 1000 en 1000 hasta unos 10.000, en el mismo período podría pasarse de 1000 a 2000, 4000, 8000, …, 512.000, que es significativamente mayor que 10.000.
En el estudio de las epidemias hay un parámetro fundamental llamado Número Reproductivo Básico, definido como
R0 = [S(0)][k/r]
donde S(0) es la población susceptible inicial, que mide el número de casos secundarios que puede generar un solo infectado. Como es natural, cuando R0 es mayor que 1 se presenta la epidemia y cuando es menor que 1 la enfermedad se extingue. Si observamos bien ese número, se trata de una fracción y entonces será pequeño cuando su numerador sea pequeño o cuando su denominador sea grande; es decir, cuando el número de susceptibles iniciales sea pequeño o cuando la tasa de infección sea suficientemente pequeña; también como es de esperarse, cuando la tasa de remoción (el denominador) sea grande.
Cuando el Número Reproductivo Básico es bastante mayor que 1, la población infectada crece a un ritmo extraordinario. En el caso del coronavirus se estima que el Número Reproductivo Básico (R0) oscila entre 2,3 y 3; es decir que un enfermo puede contagiar a 2 o 3 personas sanas y es precisamente ese el número que debemos disminuir con las campañas emprendidas por los organismos de salud.
La información que se puede obtener mediante simulaciones matemáticas es muy valiosa para poder atender una pandemia, pero hay que suponer diferentes escenarios para el covid-19 porque los valores de ciertos parámetros aún no han sido determinados en forma definitiva; por ejemplo, en Corea la tasa de mortalidad a causa del coronavirus es del 0,6% mientras que en Irán se aproxima a 4,4%. Sin embargo, en ausencia de una información más precisa, la razón de cambio de los removidos (fallecidos y recuperados) con respecto al tiempo puede ofrecer alguna aproximación.
Me he dado a la tarea de hacer la simulación de un escenario para Colombia, teniendo en cuenta la nueva información que se va conociendo cada día. Mis cálculos, que pueden variar a medida que tengamos mayor conocimiento o a medida que las campañas de cuarentena y hábitos de higiene tengan efecto, es que podríamos llegar a tener un número máximo de 660.000 personas infectadas simultáneamente. Este es un número menor que el total de posibles infectados durante todo el tiempo que dure la epidemia, pero es ahora el más importante de estimar, pues es el que debemos tratar de reducir drásticamente.
Por lo que se conoce de la enfermedad, solo el 20%, es decir unas 132.000 personas requerirían atención médica simultáneamente en el pico de la epidemia y de esas sólo un 5%, o sea unas 6.600 requerirían hospitalización, pero la mitad (3.300 personas) requeriría cuidados intensivos o al menos intermedios. Así que en el mejor escenario, si tuviésemos la capacidad de atender a tantas personas enfermas simultáneamente, morirían unas 700 personas en los días más críticos a causa del coronavirus, suponiendo que la tasa de mortalidad es apenas 4 o 5 veces mayor que la de una gripa común.
En Colombia la población más vulnerable es de 6.750.000 personas mayores de 60 años, el 13,5% de la población colombiana, de acuerdo a la información del DANE y el mayor número de víctimas del coronavirus pertenecerán a ese grupo poblacional.
Naturalmente si las campañas de control surten efecto, el número de infectados podría repartirse en un intervalo de tiempo mayor y eso facilitaría la atención médica que se requiere para disminuir el número de fallecidos. Por eso es muy importante entender el significado de “aplanar la curva” (flattening the curve): imaginémonos, como en una caricatura, montados sobre la campana de Gauss tratando de aplanarla.
@MantillaIgnacio