Ecuaciones de opinión

Publicado el Ignacio Mantilla Prada

La regla del 7

Saber si un número dado es divisible entre otro es de los retos más comunes que enfrentamos y frecuentemente esta tarea hay que realizarla mentalmente. Es incuestionable la utilidad que tiene este tipo de cálculos cuando se desea repartir entre pocos grupos una cantidad, especialmente si ésta es grande y por eso desde los primeros años escolares se enseñan algunas reglas de fácil recordación.

Obviamente lo natural es hacer la correspondiente división. Si el residuo es cero podemos afirmar que el número dividido es múltiplo del divisor, en otro caso decimos que el número no es divisible por ese divisor, pero este no es propiamente un método útil sin la ayuda de una calculadora y algunas veces solo queremos saber si es posible dividir un número grande en pocas partes enteras; es por eso que aprendemos los criterios de divisibilidad más comunes y los recordamos toda la vida. A continuación menciono algunos de ellos, que seguramente los lectores conocen:  

Un número entero no negativo n es divisible:

  • Por 2, si su última cifra es par. 
  • Por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplo: las cifras de 777 suman 21, entonces es divisible por 3.
  • Por 4, si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. Ejemplo: 2316 es múltiplo de 4 porque 16 lo es.
  • Por 5, si la última cifra es 0 o 5.
  • Por 6, si es un número par divisible por 3. Ejemplo: 5328 es múltiplo de 6 porque es par y es múltiplo de 3.
  • Por 8, si el número formado por sus tres últimas cifras es múltiplo de 8. Ejemplo: 1000 es divisible por 8 porque 000 = 0 es un entero no negativo, divisible por cualquier número entero positivo, en particular por 8. 
  • Por 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplo: 24 327 es divisible por 9 porque 2 + 4 + 3 + 2 + 7 = 18. 
  • Por 10, si su última cifra es 0. 
  • Por 11, si la suma de sus cifras en posición par, menos la suma de sus cifras en posición impar, es un múltiplo de 11 (incluido el 0). Ejemplo: 79 124 309 es divisible por 11 porque
    (9 + 2 + 3 + 9) – (7 + 1 + 4 + 0) = 23 – 12 = 11.
    Si en esta diferencia resulta un número negativo, se toma el valor absoluto. Por ejemplo el número 97 213 490 es divisible por 11, porque
    (7 + 1 + 4 + 0) – (9 + 2 + 3 + 9) = 12 – 23 = -11
    y el valor absoluto de -11 es 11, que es múltiplo de 11.

En la lista de criterios que les he compartido he omitido el de divisibilidad por 7, porque aun cuando hay más de uno, no son sencillos de recordar. Les presento los dos que recuerdo (hay más) para saber si n es divisible entre 7.

Primer criterio:

  • Hay que separar la cifra de las unidades y restar al número, sin esta última cifra, el doble de la cifra de las unidades. Si el resultado es múltiplo de 7 entonces el número es divisible por 7 y en caso contrario no lo es.
    Ejemplo: n = 7224. Procedemos entonces así:
    722 – 2·4 = 722 – 8 = 714,
    como el número obtenido es grande, repetimos el procedimiento con él:
    71 – 2·4 = 71 – 8 = 63.
    Como 63 es múltiplo de 7 concluimos que 7224 es divisible por 7. En efecto 7224÷7 = 1032.
    Si examinamos el número 1 111 111 tenemos:
    111111 – 2 = 111109
    11110 – 18 = 11092
    1109 – 4 = 1105
    110 – 10 = 100
    10 – 0 = 10.
    Como 10 no es múltiplo de 7, concluimos que el número 1 111 111 no es divisible por 7.

Segundo criterio:

  • Se suman los productos de los dígitos {1, 3, 2, –1, –3, –2} por los dígitos de las unidades, decenas, centenas, … del número n, es decir en el orden inverso de n, repitiendo esta sucesión de multiplicadores si es necesario. Si el resultado es un múltiplo de 7, entonces n es divisible por 7, en caso contrario no lo es.
    Ejemplo: si n = 4 968 460 entonces:
    1·0 + 3·6 + 2·4 + (–1)·8 + (–3)·6 + (–2)·9 + 1·4 = 0 + 18 + 8 – 8 -18 -18 + 4 = -14. Como 14 es múltiplo de 7 entonces n es divisible por 7. En efecto:
    4968460÷7 = 709780.

Aun cuando hoy en día se tiene a mano muy frecuentemente una calculadora, conocer algunas reglas para comprobar mental e inmediatamente la divisibilidad por un número pequeño será siempre un bonito reto para ejercitar nuestra memoria.

@MantillaIgnacio

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