La paradoja de Zenón

Zenón de Elea fue un filósofo griego que vivió en el siglo V a. C. Nació, como su maestro Parménides, en la antigua ciudad griega de Elea, situada en la costa sudoccidental de la península itálica, cerca de la actual ciudad de Salerno. Escribió un libro sobre la naturaleza, orientado a defender las tesis de Parménides usando principalmente razonamientos que, según Aristóteles, producen dolor de cabeza. 

Zenón fue el inventor del razonamiento paradójico y, en lugar de demostrar directamente las tesis de Parménides, se dedicó a debilitar las de sus detractores mediante conclusiones que resultaban más aceptables que las de ellos. De este modo logró formular unas cuarenta paradojas, orientadas principalmente a mostrar las inconsistencias de los conceptos de espacio, tiempo, movimiento y pluralidad dentro de la noción del continuo.

El enunciado de la «paradoja del corredor» es como sigue: «un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que recorrer la otra mitad. Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte y así sucesiva e indefinidamente».

En realidad, la afirmación de Zenón dio lugar a un largo debate que ocupó a numerosos filósofos y matemáticos durante siglos, quienes intentaron explicar la creencia según la cual un número infinito de cantidades positivas no podía tener una suma finita. Este asunto tardó cerca de dos mil años en ser refutado, comprendido y formulado con toda precisión gracias al cálculo infinitesimal y, más exactamente, a la teoría de las series infinitas.

Para los lectores interesados, esta paradoja puede rebatirse formalmente como se muestra al final, donde reproduzco una pieza maestra del análisis matemático. En ella se demuestra que, si el corredor —trotando a velocidad constante— tarda un tiempo $t$ en recorrer la mitad de la distancia, entonces debe tardar el doble, es decir $2t$, en recorrer la distancia total. (*)

La paradoja de Zenón encierra una idea muy interesante, que se esclarece con gran precisión mediante la teoría de las series infinitas, al establecer una distinción entre series tales como la serie armónica

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \;=\; 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$

que diverge y una serie como la que describe la paradoja de Zenón, que en cambio sí es convergente.

Las series infinitas divergentes no pueden operarse con las leyes usuales del álgebra como si fueran sumas ordinarias finitas, pues ello puede conducir a resultados incorrectos que aparentemente no revelan error alguno.

Por ejemplo, consideremos la serie:

$1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots$

Si se agrupan los términos como

$(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + \cdots = 0 + 0 + 0 + \cdots = 0,$

pero si se asocia de la forma

$1 + [(-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots] = 1 + 0 + 0 + 0 + \cdots = 1,$

se obtiene un resultado distinto.

Esto significa que la ley asociativa para la suma no se cumple cuando se trata de una suma infinita divergente.

 

(*) Una demostración

Naturalmente, si se quiere rebatir la paradoja, lo interesante es hacerlo respetando la partición propuesta por Zenón, en la que cada fracción es la mitad de la anterior, y calcular los tiempos parciales que va necesitando el corredor para recorrer las distintas fracciones de la carrera hasta alcanzar la meta.

Los tiempos parciales que necesita el corredor son:

$p(1) = t$

para alcanzar la mitad $\frac{1}{2}$  del recorrido. Como requiere la mitad de ese tiempo para recorrer ahora la cuarta parte, se tiene:

$p(2) = t + \frac{t}{2} = \frac{3t}{2},$

que es el tiempo acumulado necesario para avanzar hasta el siguiente punto, correspondiente a

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

del recorrido. En la siguiente fracción de la carrera:

$p(3) = t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} = \frac{7t}{4},$

tiempo acumulado para alcanzar el punto

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

del recorrido. Continuando con este análisis:

$p(4) = t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} + \frac{t}{8} = \frac{15t}{8},$

que corresponde al punto

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

del recorrido total.

En general, para alcanzar el punto

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{2^{n+1}},$

el corredor habrá acumulado un tiempo de

$p(n+1) = t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} + \frac{t}{8} + \cdots + \frac{t}{2^n}.$

 Si nos concentramos en los tiempos utilizados, observamos que:

$p(1) = 1, \quad p(2) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, \quad p(3) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}, \quad p(4) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8}.$

y estos tiempos se pueden escribir como:

$p(1) = (2 – 1)t, \quad p(2) = \left(2 – \tfrac{1}{2}\right)t, \quad p(3) = \left(2 – \tfrac{1}{4}\right)t, \quad p(4) = \left(2 – \tfrac{1}{8}\right)t,$

de donde se deduce la fórmula general para el tiempo acumulado por el corredor:

$p(n) = \left( 2 – \frac{1}{2^{\,n-1}} \right) t$

para todo $n$ natural.

Ahora bien, es evidente que la sucesión $\{p(n)\}$ tiende a $2t$ cuando $n$ tiende a infinito; sin embargo, como observamos anteriormente, esta sucesión es en realidad la sucesión de sumas parciales de la serie geométrica

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t}{2^k}$,

por lo tanto

$2t = \lim_{n \to \infty} p(n) = p$.

Entonces, el corredor de la paradoja de Zenón sí alcanza la meta, y lo hace en un tiempo finito, que resulta ser el doble del tiempo necesario para recorrer la mitad de la distancia total, es decir $2t$.

@MantillaIgnacio