Cuando una afirmación verdadera es una aparente contradicción lógica la llamamos paradoja; pero en ocasiones, sin contradicción alguna, simplemente la afirmación resulta contraria a la intuición común y entonces también la calificamos como paradoja. Tal es el caso de la famosa “paradoja del cumpleaños”, según la cual, en un grupo conformado por 23 o más personas la probabilidad de encontrar dos personas que cumplan años el mismo día es mayor que el 50 %.
Nadie duda en aceptar como cierto que si hay 367 personas reunidas en un auditorio, al menos dos de ellas cumplen años en la misma fecha ya que un año tiene 365 días o 366 si es bisiesto. Esto es claro por el llamado “principio del palomar”: si n palomas se distribuyen en m palomares y n > m entonces habrá un palomar con más de una paloma.
Pero cuando pregunto cuántas personas deben integrar un grupo en el que es más probable que improbable encontrar al menos dos con la misma fecha de cumpleaños, la respuesta intuitiva más común, pero incorrecta, es que el grupo debe tener más de 183 personas (la mitad de 366).
Más sorprendente aún puede resultar entonces saber que con una probabilidad mayor al 99 %, en un grupo de solo 60 personas podemos encontrar dos de ellas que cumplen el mismo día. Esto es una verdad matemática que contrasta con la intuición común.
Para entender mejor la paradoja del cumpleaños, imaginemos el grupo de 22 jugadores que inician en un partido de fútbol profesional y sumemos también el árbitro del partido para tener un grupo de 23 personas que son las que participan cuando inicia cualquier partido de fútbol. La paradoja del cumpleaños no significa que la probabilidad de encontrar un jugador que cumpla años en la misma fecha que el árbitro sea mayor del 50 %, tampoco quiere decir que, con una probabilidad mayor que el 50 %, haya dos personas que tengan la misma edad. Lo que se puede afirmar, de acuerdo con la paradoja, es que si consideramos todos los partidos de fútbol que se juegan semanalmente en la liga profesional colombiana, en más de la mitad de ellos están en la cancha, al iniciar el partido, al menos dos personas (jugadores o árbitro) que cumplen años el mismo día.
Veamos que la “paradoja del cumpleaños”, aunque no lo parezca, es verdadera. Para demostrarlo vamos a calcular la probabilidad de encontrar dos personas con la misma fecha de cumpleaños en un grupo de 23 personas.
Procedemos con mayor facilidad si calculamos más bien la probabilidad de que no haya dos personas del grupo que compartan la misma fecha del cumpleaños; así, si conocemos esta probabilidad, que llamamos P, entonces la probabilidad que queremos determinar será (1 – P).
Calculemos la probabilidad suponiendo un año de 365 días, es decir 365 fechas diferentes de cumpleaños:
Primer paso: escojamos una persona del grupo de 23 al azar y luego otra, entonces la probabilidad de que la segunda no cumpla en la misma fecha será: 364/365; es decir 364 casos favorables (todos los días del año excepto el día del cumpleaños de la primera persona elegida) sobre 365 casos posibles (días en los que es posible cumplir años).
Segundo paso: si ahora elegimos una tercera persona del grupo, la probabilidad de que su cumpleaños no coincida con ninguno del de las otras dos será: 363/365, por la misma razón explicada antes.
Tercer paso: al elegir una cuarta persona, la probabilidad de que no tenga cumpleaños en alguna fecha de las personas antes elegidas será entonces: 362/365.
Cuarto paso: continuando en esta forma, la probabilidad de que ninguna persona elegida del grupo coincida en el cumpleaños con el de las demás será el producto:
P = (364/365) x (363/365) x (362/365) x … x (365 – 22)/365
= [364 x 363 x 362 x … x (365 – 22)] / [365²²]
= [365 x 364 x 363 x … x (365 – 22)] / [365²³]
Quinto paso: por lo anterior, la probabilidad de que haya dos personas del grupo con el mismo día de cumpleaños es (1 – P); es decir:
(1-P) = 1- [365 x 364 x 363 x … x (365 – 22)] / [365²³]
≈ 0,507297
> 1/2.
Conclusión: con el quinto paso se ha demostrado que, en efecto, basta un grupo de 23 para que sea más probable que improbable encontrar dos personas con la misma fecha de cumpleaños.
Puede demostrarse en la misma forma que si el grupo es de 30 personas, la probabilidad de encontrar dos con la misma fecha de cumpleaños es mayor al 70 %. En un grupo de 40 personas es casi del 90 % y, como ya se dijo, cuando el grupo es de 60 personas la probabilidad es mayor al 99 %.
Debe advertirse que lo demostrado no indica que haya una alta probabilidad de encontrar en un grupo de 23 personas a alguna que cumpla años el mismo día que usted cumple. Esa probabilidad es en realidad muy pequeña, de apenas:
1 – (364/365)²², es decir inferior al 7 %.
Pero con la paradoja del cumpleaños sí puede usted confiar en que tiene más del 99% de posibilidades de ganar una apuesta como la siguiente a cualquier amigo:
“Si tienes 60 o más contactos en tu celular, al menos dos de ellos cumplen años en la misma fecha”.
@MantillaIgnacio