La leyenda del ajedrez en una partida con dos finales

El ajedrez tuvo su origen en la India y data del siglo VI. Originalmente fue conocido como Chaturanga, o juego del ejército. El juego llegó a Europa entre los años 700 y 900. Pero existe una difundida historia acerca de la invención del ajedrez, según la cual, el joven Sessa le presentó al rey Belkib el juego de ajedrez y luego de lograr la fascinación del rey por tan extraordinario invento, el astuto joven Sessa aprovechó la oportunidad para darle una lección al soberano cuando el poderoso rey de Oriente, maravllado con el juego, le ofreció la recompensa que quisiera. 

Sessa le pidió entonces al rey algo que parecía bastante humilde: que por el primer cuadro de la perimera fila del tablero le diera un grano de trigo, que por el segundo cuadro de la fila le diera dos granos, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, y así sucesivamente hasta el último cuadro de la última fila con el doble de granos del penúltimo cuadro.

Cuenta la leyenda que el rey ordenó que hicieran la cuenta y entregaran a Sessa un costal con el trigo que había pedido. Pero al rato, cuando los tesoreros del reino terminaron las cuentas, tuvieron que llamar en secreto al rey para informarle que era imposible satisfacer a Sessa con esa recompensa, lo que molestó al rey.

Hago un paréntesis para examinar la cantidad solicitada. En efecto, el inventor del juego pedía lo correspondiente a la suma de potencias de 2, desde 2° = 1 hasta 2 elevado a la potencia 63. Esa suma es igual a:

2⁶⁴  – 1 = 18 446 744 073 709 551 615

Si escribimos en palabras esta cantidad, debemos decir: dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y uno mil seiscientos quince granos de trigo.

Para tener una idea de la cantidad de trigo solicitado, vamos a estimarlo en toneladas métricas (Tm), aceptando que en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 20 000 granos. Entonces, dividiendo la cantidad de granos entre 20 000 obtenemos la cifra en kilogramos y dividiendo esa cifra entre 1000 pasamos a toneladas métricas. El resultado es el siguiente: 

922 337 203 685 Tm.

Pero, para tener una mejor apreciación de esta cifra, hay que saber que, de acuerdo con la Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (FAO), la producción mundial de trigo actualmente es de aproximadamente 800 millones de toneladas métricas al año; es decir que si tomamos esta cifra como producción mundial anual, entonces el tiempo necesario para reunir el trigo pedido por el joven Sessa, destinando para su recompensa toda la producción mundial cada año, sería de

922 337 203 685 / 800 000 000 ≈ 1152 años.

Este es un claro ejemplo de lo que es el crecimiento exponencial, un ejemplo de cómo a partir de un solo grano de trigo y duplicando en cada paso la cifra anterior hasta llegar a 2⁶³, se obtiene una cantidad inimaginable de trigo, que no podría recolectarse en un milenio ni siquiera destinando toda la producción mundial cada año. 

Ahora, habiendo ya apreciado la cantidad de trigo solicitada por el inventor Sessa, y suponiendo que él era consciente de la imposibilidad del rey para compensarle, continuamos con esta bella historia que se ha convertido en leyenda y que bien puede terminar aquí reafirmando la impotencia del rey para cumplir su promesa.

Pero la historia puede tener otro final, pues al igual que en una partida de ajedrez, tras una jugada audaz, la posición de un jugador que parecía derrotado puede ser victoriosa; y es así como la historia también se puede presentar con un final feliz para el rey, pues al fin de cuentas, en el ajedrez también el rey puede atacar. 

Y es que habiendo sido muy formado en matemáticas, el rey, aprovechándose de la ignorancia y la ambición del buen calculista Sessa, como si este solo fuese un peón en el juego, decide darle ahora una lección y lo hace en los siguientes términos:

“Joven Sessa eres muy listo y por eso quiero ahora premiarte sin límite. Te equivocas si has llegado a pensar que no tengo en el reino trigo suficiente para compensarte, y te daré aún más de lo que pides. Aumentaré vuestra recompensa si lo aceptas de la siguiente manera: por el primer cuadro de la primera fila del tablero te daré un grano, como has pedido, por el segundo dos granos, como has indicado, por el tercero el doble del anterior, o sea 4, como bien lo has mencionado y así sucesivamente, pero esto no parará en el último cuadro de la última fila, el 64, con el doble del anterior, hasta donde has pedido, sino que sumaremos hasta el infinito estas cantidades”. 

Sessa no lo podía creer y sonrió triunfador manifestando su satisfacción por esa recompensa que de antemano sabía que sería imposible de cumplir. Sin embargo, tomando una tiza el buen rey volteó el tablero y sobre el respaldo calculó la cantidad de granos, que llamó S, que debía entregar al incrédulo Sessa. Esta fue la operación que hábilmente hizo el rey delante de Sessa y los contadores del reino para calcular cuánto trigo debía ser entregado:

Y finalmente dijo el rey:

«Como ves querido Sessa, te voy a compensar con creces como lo quisiste y esa recompensa que deseas arroja como resultado una deuda de un grano a mi favor, pero como soy un rey magnánimo, al marcharte, de ese grano me olvidaré».

@MantillaIgancio