La imposibilidad de Arrow: cuando la democracia enfrenta sus propios límites

El estadounidense Kenneth Arrow ha sido considerado uno de los economistas más importantes del siglo XX. Falleció en 2017, a los 95 años de edad, y había recibido el Premio Nobel de Economía en 1972.

El resultado por el que Arrow es más conocido se denomina teorema de imposibilidad de Arrow, enmarcado en un campo de investigación situado entre las matemáticas y la economía: la teoría de la elección social, desarrollada a partir de su libro de 1951 Social Choice and Individual Values.

El teorema de imposibilidad de Arrow aborda el problema de elegir una opción dentro de un conjunto de alternativas mediante métodos basados en las preferencias individuales, que se transforman en una única preferencia colectiva. Un ejemplo típico es la elección de un representante de una comunidad cuando existen tres o más candidatos.

El significado fundamental del resultado de Arrow es que, sean cuales sean los detalles precisos del mecanismo de selección, resulta imposible que el procedimiento satisfaga simultáneamente ciertas condiciones que, consideradas de manera aislada, parecen naturales e irrenunciables. Esto implica que no existe sistema de elección capaz de evitar, en algún caso, resultados abiertamente contrarios a los fines que el propio diseño del mecanismo pretendía alcanzar.

Estas consecuencias pueden aparecer en determinadas situaciones, y aunque podamos evitarlas mediante una modificación del sistema de selección, al desaparecer las que se pretendía eliminar, inevitablemente surgen otras consecuencias indeseables.

Ante la pregunta de si es posible encontrar un sistema óptimo para establecer la preferencia colectiva —donde cada individuo debe poder ordenar, según su criterio, las opciones de su preferencia—, el teorema de Arrow ofrece una respuesta categórica: no existe sistema alguno capaz de satisfacer simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Universalidad: el sistema produce siempre un resultado para la preferencia colectiva, sean cuales sean las preferencias individuales.
   
2. Unanimidad (eficiencia de pareto): Si para todos los electores A es preferible a B, entonces la elección no puede recaer en B.
   
3. Independencia de alternativas irrelevantes: el resultado no debe depender de las preferencias de los electores por alternativas que ya no están en juego. Si se elimina una opción, el orden de las demás, no excluidas, debe mantenerse.
   
4. Ausencia de dictadores: el sistema garantiza que no exista ningún elector —denominado en este contexto “dictador”— cuyas preferencias coincidan siempre con el resultado, independientemente de las preferencias de los demás.

Originalmente, el enunciado del teorema de Arrow afirma lo siguiente:

“Todo sistema de establecimiento de preferencias colectivas que satisfaga las propiedades 1, 2 y 3 anteriores necesariamente tiene un dictador.”

Esto significa que las condiciones 1, 2 y 3 constituyen requerimientos mínimos de democracia.

Naturalmente, el teorema de imposibilidad de Arrow conduce a paradojas. Consideremos el siguiente ejemplo: los votantes, integrantes de un congreso compuesto por 99 miembros, ordenan sus preferencias entre tres proyectos de desarrollo vial A, B y C, clasificándolos de mejor a peor para decidir cuál de los tres será aprobado. Supongamos que el resultado es el siguiente:

33 votos: A > B > C. Es decir, un tercio del congreso prefiere el proyecto A sobre B, y B sobre C.

33 votos: B > C > A. Otro tercio prefiere B sobre C, y C sobre A.

33 votos: C > A > B. Finalmente, el último tercio prefiere C sobre A, y A sobre B.

En este escenario, al comparar por pares:

A es preferido sobre B (66 votos contra 33).

B es preferido sobre C (66 votos contra 33).

C es preferido sobre A (66 votos contra 33).

Esto presenta un resultado paradójico: 

A > B > C > A.

Es decir, no existe un ganador claro, y el sistema de votación arroja un desenlace contradictorio con la idea de una preferencia colectiva coherente.

No obstante, las paradojas solo aparecen cuando existen tres o más alternativas. A pesar de las implicaciones del teorema, los métodos de votación entre dos opciones no presentan dificultad; y esta es una de las razones por las que se recurre con frecuencia a la eliminación de múltiples alternativas hasta reducir la decisión únicamente a dos. Decidir entre múltiples candidatos cuál goza de mayor favorabilidad conduce a situaciones paradójicas que no se producen cuando únicamente se enfrentan dos candidatos.

El teorema de imposibilidad de Arrow revela los desafíos inherentes a los sistemas de votación basados en el orden de las preferencias, al mostrar que ningún método puede satisfacer simultáneamente todas las condiciones clave de equidad, y pone de relieve las paradojas que entraña la búsqueda de un sistema de elección colectiva perfecto. Se trata de un concepto fundamental en la teoría de la elección social, que subraya la complejidad y los desafíos de la toma de decisiones colectivas.

Gracias a esta investigación, en 1972 Arrow se convirtió en la persona más joven en recibir el Premio Nobel de Economía.

@MantillaIgnacio