La ecuación más bella de las matemáticas

Resulta imposible ponernos de acuerdo sobre quién es nuestro escritor favorito o la escritora más admirada, o sobre cuál ha sido el mejor libro que hemos leído. Lo mismo ocurre si intentamos alcanzar un consenso acerca de quién es el mejor cantante o el más grande compositor de música clásica. Igualmente arduo es lograr unanimidad entre los matemáticos sobre quién merece el título de ser el más importante de la historia. Sin embargo, no cabe duda de que, si se realizara una encuesta, en los primeros cinco lugares de la lista de nuestros matemáticos predilectos aparecería Leonhard Euler, el suizo nacido en la ciudad de Basilea en 1707.

Euler desarrolló la mayor parte de su vida académica en dos ciudades: San Petersburgo y Berlín. Perdió la visión de un ojo mientras realizaba estudios de cartografía y, posteriormente, durante sus últimos doce años de vida, quedó completamente ciego. Ha sido el matemático más prolífico de la historia: solo en los 25 años que residió en Berlín —una tercera parte de su vida— publicó alrededor de 380 artículos. El ritmo vertiginoso, nunca más visto, con el que produjo matemáticas del más alto nivel fue tal que muchos de sus trabajos no pudieron darse a conocer sino décadas después de su fallecimiento. En efecto, tras su muerte en 1783, a la edad de 76 años, las Academias de Berlín y de San Petersburgo continuaron publicando escritos inéditos de Euler durante medio siglo.

Si me dedicara únicamente a mencionar cada semana algún aporte de Euler a las matemáticas, tendría material suficiente para más de veinte años.

Y aunque resulta difícil —como decía al comienzo— ponernos de acuerdo sobre un autor, un libro o una composición, en el ámbito matemático sí existe consenso en torno a la ecuación más bella: la identidad de Euler. Esta fórmula reúne, como si se tratara de un encuentro de grandes estrellas, a cinco números sobre los que también hay acuerdo: cinco protagonistas insustituibles de las matemáticas que, en apariencia, no guardan relación especial entre sí.

Estos cinco son: en primer lugar, el módulo de la suma, la gran estrella: el cero. En segundo lugar, el módulo del producto, pieza clave de la aritmética: el número uno. A ellos se suman dos célebres irracionales y trascendentes, ambos con infinitas cifras decimales: el número $\pi$, fundamental en la geometría, y el número de Euler $e$, esencial en el cálculo y el análisis matemático. Completa este quinteto maravilloso el número imaginario $i$, definido como la raíz cuadrada de -1, sin el cual no existiría el conjunto de los números complejos, auténtica celebridad del álgebra y de la ingeniería.

Antes de escribir la ecuación más bella que les estoy anunciando, conviene dar un breve contexto que permita admirarla y maravillarse. Euler logró encontrar una fórmula fundamental para expresar las potencias complejas, relacionando la función exponencial con las funciones trigonométricas. De este modo, cualquier número con exponente complejo podía escribirse de manera sencilla como otro número complejo.

La fórmula de Euler permite expresar la parte imaginaria de la función exponencial en la forma:

$e^{ix} = \cos x + i \,\text{sen }x$.

Aquí $x$ es un número real, y el exponente complejo se traduce en la representación conocida de un número complejo 

$z = a + ib$, donde 

$a = \cos x$ y $b = \text{sen } x$.

Y ahora, la identidad de Euler. Obsérvese que si $x=\pi$, sabemos desde el colegio —gracias a la trigonometría— que 

$\cos(\pi) = -1$ y $\text{sen}(\pi) = 0$.

Entonces, la fórmula de Euler se convierte en:

$e^{i\pi} = \cos(\pi) + i \,\text{sen}(\pi) = -1 + i \cdot 0$

o lo que es lo mismo:

$e^{i\pi} = -1$.

Y al trasladar este resultado al otro lado de la igualdad, obtenemos la célebre identidad:

$e^{i\pi} + 1 = 0$.

Y esta es la célebre identidad de Euler: la ecuación más bella de las matemáticas, que reúne a esas cinco estrellas mencionadas antes y las presenta en un único objeto, tan fantástico como simple.

@MantillaIgnacio